數(shù)學(xué)演繹推理能力測(cè)評(píng)研究——以八年級(jí)學(xué)生為例

郝連明

數(shù)學(xué)演繹推理能力測(cè)評(píng)研究——以八年級(jí)學(xué)生為例

郝連明

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

數(shù)學(xué)演繹推理是邏輯推理的重要組成部分，數(shù)學(xué)演繹推理能力直接影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就．基于數(shù)學(xué)教育的研究視角，從推理形式、認(rèn)知水平、推理情境、推理內(nèi)容4個(gè)維度構(gòu)建了數(shù)學(xué)演繹推理能力測(cè)評(píng)框架．結(jié)合IRT理論對(duì)超過(guò)5萬(wàn)名學(xué)生的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)存在顯著的性別差異，女生表現(xiàn)好于男生；城鄉(xiāng)學(xué)校學(xué)生之間也存在差異，城市學(xué)校學(xué)生表現(xiàn)明顯好于縣鎮(zhèn)和農(nóng)村學(xué)校學(xué)生，這種差異在測(cè)試的不同維度上均有所體現(xiàn)．學(xué)生在反思維度表現(xiàn)不佳，需要引起重視．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中需要關(guān)注性別差異和城鄉(xiāng)差異，重視數(shù)學(xué)演繹推理培養(yǎng)的重要性．

演繹推理；邏輯推理；推理能力；數(shù)學(xué)推理；測(cè)評(píng)框架

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)推理能力是學(xué)生重要的數(shù)學(xué)能力之一，從三大能力到核心素養(yǎng)，從教學(xué)大綱到課程標(biāo)準(zhǔn)[1–2]，再到世界性的大規(guī)模數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)項(xiàng)目，都不同程度地關(guān)注了學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力發(fā)展情況．?dāng)?shù)學(xué)演繹推理作為數(shù)學(xué)推理的重要組成部分，一直以來(lái)也同樣受到密切關(guān)注．回顧以往有關(guān)數(shù)學(xué)演繹推理的研究，可以發(fā)現(xiàn)單純以演繹推理為主題的研究并不多，演繹推理往往作為重要的組成部分包含在數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)推理等研究主題當(dāng)中．?dāng)?shù)學(xué)演繹推理的研究與數(shù)學(xué)推理研究思路基本相同，一種是從形式邏輯視角進(jìn)行劃分，依照演繹推理的不同邏輯形式進(jìn)行分類(lèi)．另一種是從認(rèn)知視角進(jìn)行劃分，考察學(xué)生達(dá)到了什么樣的推理水平[3]，這種思路在國(guó)外更加普遍，一些學(xué)者往往借助證明和論證來(lái)探索學(xué)生的演繹推理表現(xiàn)[4–5]．20世紀(jì)末期，中國(guó)學(xué)者徐龍炳、田中等就在全國(guó)性的調(diào)查中開(kāi)展了包含演繹推理的研究[6]，之后一些學(xué)者針對(duì)不同年級(jí)，使用不同的評(píng)價(jià)框架繼續(xù)開(kāi)展相關(guān)研究．整體看這些研究主要基于CTT測(cè)量理論，調(diào)查樣本量較小，測(cè)試工具更強(qiáng)調(diào)知識(shí)層面[7–8]．最近也有學(xué)者開(kāi)始應(yīng)用IRT理論開(kāi)展研究[9]，不過(guò)并非從純粹的演繹推理能力視角．國(guó)外同樣有很多學(xué)者開(kāi)展演繹推理的相關(guān)研究，這些研究往往是伴隨著對(duì)推理（reasoning）、證明（proving）、論證（argument）的研究而展開(kāi)．英國(guó)在一項(xiàng)有關(guān)解釋與證明（justifying and proving）的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在構(gòu)建證明過(guò)程中很少使用演繹推理[10]．Reiss應(yīng)用三水平測(cè)試框架，對(duì)八年級(jí)學(xué)生幾何證明進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在事實(shí)性問(wèn)題上的表現(xiàn)好于復(fù)雜多步演繹證明問(wèn)題，而應(yīng)用該框架進(jìn)行的縱向研究表明七、八、九年級(jí)之間差異明顯[11]．另外在PISA、TIMSS、NAEP測(cè)試中，數(shù)學(xué)框架中也包含了數(shù)學(xué)推理內(nèi)容[12–14]，但是并沒(méi)有明確給出數(shù)學(xué)演繹推理的評(píng)價(jià)框架，只是在數(shù)學(xué)素養(yǎng)或者能力的評(píng)價(jià)中將數(shù)學(xué)推理看成不可分割的部分．從教育研究的發(fā)展看，學(xué)術(shù)研究需要不斷地從宏觀走向微觀，從廣泛走向深化，需要逐漸關(guān)注更為細(xì)節(jié)的內(nèi)容．這里將從數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)的視角關(guān)注數(shù)學(xué)演繹推理能力的表現(xiàn)情況，開(kāi)展針對(duì)性的測(cè)評(píng)研究．為此，主要解決兩個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)演繹推理能力的測(cè)評(píng)框架如何，以及現(xiàn)階段中國(guó)八年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)如何．

數(shù)學(xué)演繹推理能力（competence）為數(shù)學(xué)推理能力的一種，是個(gè)體在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的一種能力表現(xiàn)．結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版》中對(duì)演繹推理的描述，將其界定為在不同情境下，依據(jù)演繹推理形式規(guī)則對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等）進(jìn)行證明、計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的心理特征[15]．結(jié)合對(duì)已有研究的分析，研究者嘗試構(gòu)建一個(gè)更加豐富的數(shù)學(xué)演繹推理能力測(cè)評(píng)框架，并依托此框架開(kāi)展大規(guī)模測(cè)試，進(jìn)而分析學(xué)生的表現(xiàn)情況．

2 框架構(gòu)建

測(cè)評(píng)框架，也稱(chēng)測(cè)驗(yàn)框架（framework），從廣義說(shuō)是對(duì)測(cè)驗(yàn)內(nèi)容的界定與說(shuō)明，從狹義說(shuō)是對(duì)測(cè)驗(yàn)框架組成維度的說(shuō)明[16]．從具體操作角度看測(cè)評(píng)框架是開(kāi)展測(cè)評(píng)工作的首要任務(wù)，只有明確了測(cè)評(píng)框架才能編制測(cè)驗(yàn)工具，進(jìn)而開(kāi)展測(cè)試和后續(xù)的數(shù)據(jù)分析．而這個(gè)測(cè)驗(yàn)過(guò)程并不簡(jiǎn)單，所以韋伯（Webb）認(rèn)為測(cè)量學(xué)生所掌握的內(nèi)容既是一門(mén)科學(xué)也是一種藝術(shù)．科學(xué)在于其擁有概念性框架、數(shù)學(xué)模型及可重復(fù)的程序方法，藝術(shù)則是最終還要以專(zhuān)家判斷為基礎(chǔ)[17]．因此，學(xué)科專(zhuān)家的判斷在構(gòu)建測(cè)評(píng)框架時(shí)具有核心作用．在研制測(cè)評(píng)框架方面主要采用文獻(xiàn)分析和專(zhuān)家評(píng)定方法，先后邀請(qǐng)了11位數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家和5位數(shù)學(xué)教育方向博士生經(jīng)過(guò)5輪討論確定．專(zhuān)家分別來(lái)自美國(guó)德克薩斯農(nóng)工大學(xué)、北京師范大學(xué)、首都師范大學(xué)、北京教育學(xué)院等單位．研究者認(rèn)為數(shù)學(xué)演繹推理能力的評(píng)價(jià)需要在數(shù)學(xué)教育研究的范式下，從能力視角進(jìn)行關(guān)注，應(yīng)該考慮學(xué)生在推理內(nèi)容、推理形式等多方面的表現(xiàn)情況，而不能單純地關(guān)注形式邏輯或者數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握．通過(guò)前期基于文獻(xiàn)的思考，以及多輪專(zhuān)家評(píng)定，最終形成了數(shù)學(xué)演繹推理能力測(cè)評(píng)框架．框架包含推理形式、推理內(nèi)容、推理情境和認(rèn)知水平4個(gè)維度，這4個(gè)維度并不是推理能力的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，而是考察推理能力的4個(gè)評(píng)價(jià)維度．4個(gè)維度之間并不存在從屬、包含關(guān)系．為了更好地展現(xiàn)測(cè)評(píng)框架的結(jié)構(gòu)，通過(guò)四面體的形式進(jìn)行表述，并給出了4個(gè)維度的操作性定義．（見(jiàn)圖1和表1）

圖1 數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)測(cè)評(píng)框架

推理形式．推理的表現(xiàn)依賴(lài)于對(duì)推理形式的掌握[18]，這種觀點(diǎn)受到普遍認(rèn)可．所以，推理形式是研究演繹推理所必須關(guān)注的重要內(nèi)容．從邏輯學(xué)角度看，推理形式是演繹推理的最直觀表現(xiàn)．在形式邏輯學(xué)中有很多關(guān)于推理形式的分類(lèi)，由于邏輯學(xué)關(guān)注的是形式本身，導(dǎo)致分類(lèi)十分龐雜．在有關(guān)數(shù)學(xué)演繹推理形式的研究中學(xué)者們往往基于邏輯學(xué)的分類(lèi)進(jìn)行探究，很多分類(lèi)并沒(méi)有形成嚴(yán)格的界限，不同的稱(chēng)謂可能指代相同的研究?jī)?nèi)容，相同的稱(chēng)謂卻可能指代不同的內(nèi)容．史寧中從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)角度出發(fā)進(jìn)行了深入討論，認(rèn)為在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)演繹推理本質(zhì)上只有兩種類(lèi)型，一是性質(zhì)傳遞，二是關(guān)系傳遞，并指出“傳遞性”為推理的本質(zhì)屬性．性質(zhì)傳遞的最基本形式是三段論，關(guān)系傳遞有兩種基本形式，一種是滿足>，>則>的類(lèi)型，可以稱(chēng)之為“關(guān)系推理”，另外一種是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)運(yùn)算[19]．運(yùn)算在數(shù)學(xué)中是確定的，也是嚴(yán)格的，并且是應(yīng)用了數(shù)學(xué)的定義、法則等進(jìn)行的一種關(guān)系推演，滿足數(shù)學(xué)演繹推理的定義．為此，將數(shù)學(xué)演繹推理形式維度分為三段論、關(guān)系推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算3個(gè)維度進(jìn)行測(cè)評(píng)．

認(rèn)知水平．認(rèn)知方面的關(guān)注開(kāi)始于認(rèn)知心理學(xué)對(duì)教育的影響，很多測(cè)評(píng)框架都被應(yīng)用于對(duì)評(píng)價(jià)任務(wù)認(rèn)知要求的評(píng)價(jià)分析[20]．現(xiàn)階段眾多的測(cè)評(píng)研究中出現(xiàn)了不同的認(rèn)知測(cè)評(píng)框架，有類(lèi)似布盧姆的學(xué)習(xí)過(guò)程分類(lèi)[21]，也有針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的認(rèn)知測(cè)評(píng)框架，像威爾遜、青浦實(shí)驗(yàn)等[22]，也有更適合大規(guī)模測(cè)評(píng)的框架，例如PISA．研究中主要是針對(duì)數(shù)學(xué)演繹推理能力進(jìn)行評(píng)價(jià)，因此希望能夠讓評(píng)價(jià)框架與測(cè)評(píng)目的更加契合．通過(guò)與多位專(zhuān)家的討論，最終確定采用再現(xiàn)、聯(lián)結(jié)、反思的認(rèn)知分類(lèi)，該框架在一些有關(guān)數(shù)學(xué)推理的研究中均有應(yīng)用[23]．

推理情境．根據(jù)Weinert（2001）的觀點(diǎn)，能力被定義為認(rèn)知能力和技能，個(gè)體可以通過(guò)學(xué)習(xí)獲得．這種能力可以使他們能夠解決特殊的問(wèn)題，包括動(dòng)機(jī)、意志品質(zhì)和社會(huì)準(zhǔn)備，以及應(yīng)用能力成功的、負(fù)責(zé)的在各種環(huán)境去解決[24]．Niss認(rèn)為掌握數(shù)學(xué)意味著擁有數(shù)學(xué)能力，而數(shù)學(xué)能力是指能在不同的數(shù)學(xué)背景與情境內(nèi)外理解、判斷、使用數(shù)學(xué)，能被清晰識(shí)別的主要數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)成分即數(shù)學(xué)能力成分[25]．在研究者看來(lái)在不同情境下考察學(xué)生的表現(xiàn)更符合學(xué)生真實(shí)的數(shù)學(xué)能力表現(xiàn)．有關(guān)情境的研究以PISA最受關(guān)注，PISA的分類(lèi)原則是情境本身與學(xué)生的距離，分為個(gè)人、社會(huì)、職業(yè)、科學(xué)4個(gè)方面．這種分類(lèi)受到很多學(xué)者的認(rèn)可，例如在高中數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)中也參考了這個(gè)分類(lèi)方法[26]．研究中考慮到測(cè)試工具開(kāi)發(fā)等方面的原因，將情境劃分為無(wú)情境、熟悉情境、陌生情境．

推理內(nèi)容．?dāng)?shù)學(xué)演繹推理雖然是依據(jù)固定的邏輯形式在進(jìn)行邏輯推演，但是在推演的過(guò)程中呈現(xiàn)的是實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)內(nèi)容．這一點(diǎn)往往與心理學(xué)的研究不同，心理學(xué)中多是去除了推理的內(nèi)容或者設(shè)定特殊的內(nèi)容，然后關(guān)注學(xué)生在推理過(guò)程中的表現(xiàn)．而從數(shù)學(xué)教育的視角去研究演繹推理能力，必須要考慮數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)．針對(duì)八年級(jí)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)內(nèi)容相對(duì)較少，處在基礎(chǔ)階段．根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)初中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容的分類(lèi)，可以分成4個(gè)方面，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率和綜合實(shí)踐，很多八年級(jí)的測(cè)評(píng)都基于此設(shè)計(jì)內(nèi)容分類(lèi)[27-28]．演繹推理在八年級(jí)數(shù)學(xué)中都廣泛存在，具體而言在數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何方面有更多的表現(xiàn)，特別是結(jié)合測(cè)試的實(shí)際開(kāi)展，最終確定了兩個(gè)大的方面，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何．

3 研究過(guò)程及工具開(kāi)發(fā)

3.1 測(cè)試過(guò)程

該次測(cè)試借助了中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心的監(jiān)測(cè)平臺(tái)，為測(cè)試提供了良好的保障．測(cè)試主要基于IRT理論進(jìn)行，采用了錨題技術(shù)，提高了測(cè)試的精準(zhǔn)性和內(nèi)容的豐富性．測(cè)試工具在開(kāi)發(fā)中嚴(yán)格按照教育測(cè)量學(xué)要求，經(jīng)過(guò)了多輪訪談和預(yù)測(cè)試，最終結(jié)合測(cè)量學(xué)指標(biāo)刪除部分試題后形成了30道測(cè)試題的測(cè)試工具，并分別構(gòu)建了A、B、S幾套試卷，其中S卷為錨題試卷．題型分為選擇題和解答題兩種，3套試卷信度均在0.8以上（A：0.81，B：0.81，S：0.89），利用RASCH模型獲得試題MNSQ值也均處在0.7～1.3的合理區(qū)間．另外，所有測(cè)試題均得到測(cè)量專(zhuān)家的審定，確保良好的專(zhuān)家效度．測(cè)試的客觀題為計(jì)算機(jī)自動(dòng)閱卷，主觀題采用人工方式閱卷．主觀題閱卷過(guò)程中進(jìn)行二次評(píng)分，如果兩位評(píng)分者給分不一致將進(jìn)入第三次評(píng)分．通過(guò)嚴(yán)格的閱卷程序保證了閱卷的準(zhǔn)確率，提高了測(cè)試結(jié)果的有效性．由于軟件輸出分?jǐn)?shù)有負(fù)值、小數(shù)，不便于比較分析．根據(jù)通行做法將測(cè)試結(jié)果改為CEET分?jǐn)?shù)形式，即將CONQUEST軟件得到的學(xué)生數(shù)學(xué)演繹推理能力值乘以100再加上500．測(cè)試地區(qū)分別來(lái)自中國(guó)中部?jī)蓚€(gè)地區(qū)，采用分層整群抽樣方法，確保樣本有效性．經(jīng)數(shù)據(jù)清理，剔除無(wú)效被試后共獲得有效樣本58?532人．

3.2 典型試題

測(cè)試工具在開(kāi)發(fā)過(guò)程中嚴(yán)格按照教育測(cè)量的基本規(guī)范進(jìn)行，經(jīng)過(guò)了6人發(fā)聲分析、30人測(cè)試、300人預(yù)測(cè)試、外審機(jī)構(gòu)的獨(dú)立評(píng)審等環(huán)節(jié)，保證了試題的基本質(zhì)量．最后，綜合運(yùn)用經(jīng)典測(cè)量理論（CTT）和項(xiàng)目反應(yīng)理論（IRT）分別計(jì)算試卷（包括試題）的指標(biāo)參數(shù)和學(xué)生的能力參數(shù)[29]．工具在開(kāi)發(fā)過(guò)程中不斷修訂，經(jīng)過(guò)了評(píng)審專(zhuān)家對(duì)測(cè)試維度的標(biāo)定．以M8AO111為例，該題最初畫(huà)出了4個(gè)相同的矩形，并標(biāo)識(shí)了不同的角度和長(zhǎng)度，要求學(xué)生判斷哪一個(gè)圖形是平行四邊形．在討論中專(zhuān)家們認(rèn)為雖然4個(gè)圖形都標(biāo)注了不同角度和長(zhǎng)度，但從直觀看4個(gè)圖形是完全相同的矩形，很容易給學(xué)生帶來(lái)干擾．因此，在視圖的呈現(xiàn)角度上進(jìn)行了變化，修改后各個(gè)圖形以空間形式呈現(xiàn)，解決了圖形表征與數(shù)據(jù)矛盾的問(wèn)題．題干也進(jìn)一步優(yōu)化，降低了文字閱讀量．在對(duì)試題進(jìn)行維度標(biāo)定中，認(rèn)為該題屬于推理形式中的三段論，推理情境中的無(wú)情境，認(rèn)知水平中的再現(xiàn)水平，推理內(nèi)容屬于圖形與幾何領(lǐng)域知識(shí)．（見(jiàn)圖2）

圖2 試題

4 結(jié)果表現(xiàn)

4.1 總體表現(xiàn)

通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行清理，獲得了八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)的完整數(shù)據(jù)庫(kù)，最終有效數(shù)據(jù)58?532份．利用SPSS20.0軟件從多個(gè)角度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，主要包括性別，地域等常規(guī)人口學(xué)變量．具體情況如圖3和表2所示．

圖3 數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)對(duì)比情況

表2 數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)情況

在該次調(diào)查中，其中一個(gè)被測(cè)試地區(qū)獲得了學(xué)生是否是寄宿學(xué)生，是否是外來(lái)務(wù)工家庭的變量信息，通過(guò)對(duì)這兩個(gè)變量的分析也發(fā)現(xiàn)了值得關(guān)注的結(jié)果．首先，數(shù)據(jù)表明外來(lái)務(wù)工家庭學(xué)生的數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)明顯弱于非外來(lái)務(wù)工子女，(11?951)=-5.65，=0.000<0.01．其次，寄宿生的數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)明顯弱于非寄宿生，(11?951)=-8.64，=0.000<0.001．不過(guò)寄宿生的表現(xiàn)并非在全部群體中保持一致，將兩個(gè)變量交叉分析卻發(fā)現(xiàn)外來(lái)務(wù)工子女中寄宿生表現(xiàn)要好于非寄宿生，而在非外來(lái)務(wù)工子女中非寄宿生表現(xiàn)好于寄宿生．從這一結(jié)果可以推測(cè)外來(lái)務(wù)工家庭學(xué)生選擇寄宿學(xué)習(xí)可能更有利于成績(jī)提高．至于這種差異形成的原因可能是多樣的，需要結(jié)合家庭的內(nèi)部和外部多種因素進(jìn)行分析，甚至已經(jīng)不能是教育內(nèi)部所能給予回答．這一結(jié)果也給開(kāi)展相關(guān)教育研究提供了新的視角，同時(shí)也表明了教育系統(tǒng)的復(fù)雜性．

4.2 各維度表現(xiàn)

從測(cè)試結(jié)果（表3）可以看出，在數(shù)學(xué)演繹推理能力測(cè)評(píng)的各個(gè)維度上，表現(xiàn)結(jié)果具有一定的一致性．從性別角度看，女生要好于男生，并且這種表現(xiàn)在測(cè)試的各個(gè)維度上均存在，推理形式、推理內(nèi)容、認(rèn)知水平、推理情境4個(gè)維度上女生的表現(xiàn)均好于男生．在經(jīng)過(guò)與地域變量的交叉分析后發(fā)現(xiàn)這種趨勢(shì)仍然存在，無(wú)論是城市學(xué)校，還是縣鎮(zhèn)學(xué)校，亦或是農(nóng)村學(xué)校，在測(cè)試的4個(gè)維度上女生表現(xiàn)均好于男生，且達(dá)到顯著性程度．從學(xué)校地域角度看，城市學(xué)校學(xué)生表現(xiàn)好于縣鎮(zhèn)學(xué)校學(xué)生，縣鎮(zhèn)學(xué)校學(xué)生表現(xiàn)好于農(nóng)村學(xué)校學(xué)生，且這種差異均達(dá)到了顯著性程度．進(jìn)一步從測(cè)試的4個(gè)一級(jí)維度，以及11個(gè)二級(jí)子維度去分析，仍然可以發(fā)現(xiàn)這種比較明顯的地域差異．例如，在圖形與幾何維度上，城市學(xué)校學(xué)生的平均分為512.15，縣鎮(zhèn)學(xué)校為493.76，而農(nóng)村學(xué)校學(xué)生僅為468.23，相差非常大．在初中階段學(xué)習(xí)中，幾何內(nèi)容擁有非常重要的地位．平面幾何的學(xué)習(xí)為高中立體幾何學(xué)習(xí)具有不可替代的基礎(chǔ)作用，所以這種幾何表現(xiàn)上的差異對(duì)學(xué)生后面的數(shù)學(xué)表現(xiàn)將帶來(lái)巨大影響．

表3 各維度表現(xiàn)匯總

除了在平均分上所明顯表現(xiàn)出的性別和地域差異外，在標(biāo)準(zhǔn)差表現(xiàn)上也出現(xiàn)了比較一致的結(jié)果，男生在各個(gè)維度上的得分標(biāo)準(zhǔn)差均大于女生．一般情況下，從統(tǒng)計(jì)學(xué)視角看標(biāo)準(zhǔn)差可以用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的變異程度，標(biāo)準(zhǔn)差越大表明數(shù)據(jù)變異越大．基于此可以發(fā)現(xiàn)男生的得分表現(xiàn)變異程度較大，并且這種變異在測(cè)試的各個(gè)子維度上均有所體現(xiàn)，這說(shuō)明男生分化較為嚴(yán)重．至于產(chǎn)生這種差異的原因應(yīng)該是多方面的，可能不僅僅是學(xué)習(xí)習(xí)慣、傳統(tǒng)觀念等影響，還可能涉及到生理結(jié)構(gòu)，認(rèn)知發(fā)展周期等因素的影響．

另外，在不考慮性別和地域變量的影響下，通過(guò)對(duì)測(cè)試的二級(jí)維度進(jìn)行分析也發(fā)現(xiàn)了一些需要引起密切關(guān)注的結(jié)果．嚴(yán)格意義上同一個(gè)一級(jí)維度內(nèi)的不同二級(jí)維度不能夠進(jìn)行能力值比較，因?yàn)樗鼈兎謱俨煌S度，所得結(jié)果不具有可比性．但是從不同試題的得分率情況還是能夠獲得一些非常有價(jià)值的信息．例如在認(rèn)知維度方面，結(jié)果顯示反思維度試題的總得分率僅為0.49，聯(lián)結(jié)類(lèi)問(wèn)題得分率為0.63，表現(xiàn)略好，再現(xiàn)類(lèi)問(wèn)題得分率為0.78，表現(xiàn)最佳．從認(rèn)知角度看，反思類(lèi)問(wèn)題主要是對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容進(jìn)行證明和評(píng)價(jià)，并在問(wèn)題解決過(guò)程中表現(xiàn)出一定的創(chuàng)造性．顯然，反思水平不是簡(jiǎn)單的知識(shí)遷移和理解應(yīng)用，是一種高水平的認(rèn)知能力．這一結(jié)果也可以看出學(xué)生在高水平認(rèn)知能力上的表現(xiàn)并不理想，需要給予加強(qiáng)．另外，除了在認(rèn)知維度上的表現(xiàn)明顯不同外，在推理情境維度也需要給予一定的關(guān)注，從得分率角度看無(wú)情境維度得分率表現(xiàn)最好，達(dá)到0.74，熟悉情境為0.63，陌生情境為0.55．可見(jiàn)，相比之下學(xué)生在陌生情境問(wèn)題中的表現(xiàn)最弱．情境對(duì)學(xué)生進(jìn)行推理時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生重要影響，雖然學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)推理過(guò)程中是一個(gè)完全數(shù)學(xué)內(nèi)容的推理認(rèn)知加工過(guò)程，而從問(wèn)題解決的過(guò)程來(lái)看，學(xué)生需要從一個(gè)較為復(fù)雜的情境過(guò)渡到純數(shù)學(xué)情境，然后再將所得到的結(jié)果反饋回復(fù)雜情境．因此，從數(shù)學(xué)演繹推理能力的視角看，需要關(guān)注學(xué)生對(duì)復(fù)雜情境的理解和分析能力，這是以往在數(shù)學(xué)演繹推理培養(yǎng)過(guò)程中容易忽視的方面．在推理形式方面，3種形式表現(xiàn)相差不大．運(yùn)算維度表現(xiàn)略好，平均得分率為0.68，關(guān)系推理得分率為0.67，三段論推理得分率為0.64．3種推理形式屬于不同的推理類(lèi)型，通常情況三段論對(duì)學(xué)生的要求較高，學(xué)生往往需要給出具有一定嚴(yán)格性的證明作答，一些學(xué)生在作答過(guò)程中只能部分作答正確，沒(méi)有形成一個(gè)完整的推理過(guò)程．三段論推理為高中階段非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅?shū)面證明、論證提供基礎(chǔ)，這需要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生梳理推理?xiàng)l件的習(xí)慣，不斷明確推理過(guò)程中大前提、小前提和結(jié)論，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．

4.3 典型試題表現(xiàn)

在試題M8AO111中，剔除多選和無(wú)效作答后剩余有效作答為52?601份．其中選擇A選項(xiàng)有17?484人，選擇B選項(xiàng)有2?280人，選擇C選項(xiàng)有1?245人，選擇D選項(xiàng)有31?459人，正確率為59.8%．從該題的測(cè)試維度可知，題目屬于無(wú)情境，是學(xué)生熟悉的純粹數(shù)學(xué)背景．認(rèn)知水平維度為再現(xiàn)，是對(duì)平行四邊形判定定理的直接應(yīng)用．推理形式為三段論，三段論形式可以分成4種格，而后3種格都可以歸為第一種．第一種格又有4種型，全稱(chēng)肯定型（AAA）、全稱(chēng)否定型（EAE）、特稱(chēng)肯定型（AII）和特稱(chēng)否定型（EIO）．上述4種類(lèi)型的推理在中學(xué)數(shù)學(xué)中非常常見(jiàn)，但是全稱(chēng)肯定、全稱(chēng)否定、特稱(chēng)否定在數(shù)學(xué)教育的視角下是有意義的，而特稱(chēng)肯定型并沒(méi)有多大意義．因?yàn)榍?種推理形式都可以進(jìn)行很好地論證，但特稱(chēng)肯定型所得出的結(jié)論往往不具有很強(qiáng)的有效性，所以在數(shù)學(xué)論證中較少使用此種類(lèi)型．事實(shí)上，在學(xué)生解決具體問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)多次使用不同型的推理．例如，在該題中學(xué)生的主要思維過(guò)程是應(yīng)用全稱(chēng)肯定型三段論進(jìn)行判斷，“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)A是（或者B、C、D）一組對(duì)邊平行且相等，所以選項(xiàng)A（或者B、C、D）是平行四邊形”．如果能夠判斷出某個(gè)圖形滿足“一組對(duì)邊平行且相等”就可以得到結(jié)論．?dāng)?shù)據(jù)顯示有33%的學(xué)生選擇了錯(cuò)誤選項(xiàng)A，學(xué)生的主要錯(cuò)誤在于認(rèn)為該圖形是矩形或者是正方形，進(jìn)而通過(guò)“矩形是特殊的平行四邊形”得出結(jié)論，但是在矩形判斷過(guò)程中需要應(yīng)用“有3個(gè)角是90°的四邊形是矩形”這個(gè)判斷條件，顯然，學(xué)生忽視了90°角的數(shù)量，屬于小前提判斷錯(cuò)誤．在選項(xiàng)B和C中，學(xué)生的主要錯(cuò)誤在于沒(méi)有判斷出一組對(duì)邊平行這個(gè)結(jié)論，誤將同旁?xún)?nèi)角相同看作是兩直線平行的判定前提，大前提判斷錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)果判斷錯(cuò)誤．事實(shí)上，在一個(gè)具體問(wèn)題的解決過(guò)程中很難判斷出學(xué)生究竟使用了多少次推理．因此，該研究在框架設(shè)計(jì)時(shí)并沒(méi)有采用一步推理、兩步推理的評(píng)價(jià)框架，而是依據(jù)學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中所用到的最主要推理形式．

該題在認(rèn)知維度上屬于再現(xiàn)水平，是將課堂所學(xué)內(nèi)容的重復(fù)應(yīng)用，并且該題的情境并不復(fù)雜，屬于無(wú)情境維度．但是可以看到學(xué)生在該題上的表現(xiàn)并不理想，只有約60%的正確率．一方面說(shuō)明試題的難易程度和認(rèn)知水平并沒(méi)有絕對(duì)關(guān)系，即使是低認(rèn)知水平的問(wèn)題也可以具有較大難度．另一方面也表明學(xué)生在進(jìn)行推理過(guò)程中并沒(méi)有嚴(yán)格執(zhí)行三段論的判斷模式，沒(méi)有認(rèn)真思考大前提、小前提是否成立，再進(jìn)行結(jié)果判斷，致使A選項(xiàng)嚴(yán)重干擾了學(xué)生的作答．結(jié)合前期對(duì)學(xué)生的訪談可以發(fā)現(xiàn)，此題中所涉及的主要內(nèi)容性知識(shí)學(xué)生完全掌握，并沒(méi)有構(gòu)成認(rèn)知障礙．這也說(shuō)明數(shù)學(xué)演繹推理能力的衡量并不能簡(jiǎn)單地用知識(shí)掌握程度來(lái)判斷，需要在一個(gè)綜合性問(wèn)題解決體系中進(jìn)行考量．

5 討論與啟示

5.1 關(guān)注性別差異

研究結(jié)果顯示，在性別方面存在顯著性的差異，只是這種差異與傳統(tǒng)的男性刻板印象不同，女生的成績(jī)表現(xiàn)好于男生[30]．不過(guò)也有學(xué)者得到不同的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)男生表現(xiàn)好于女生[31]，或者男生和女生并沒(méi)有顯著性的差異[32]．可見(jiàn)在一個(gè)相同的研究領(lǐng)域結(jié)論很可能不同，特別是在以量化研究為主的教育測(cè)評(píng)研究中，測(cè)評(píng)的框架、測(cè)評(píng)的工具、測(cè)試的任何一個(gè)環(huán)節(jié)不相同都可能引發(fā)結(jié)論的不一樣．除了這些在測(cè)試過(guò)程中產(chǎn)生的不同之外，測(cè)試的目的和被試的多樣性也會(huì)產(chǎn)生很大不同，一些學(xué)者在分析數(shù)學(xué)成就的差異原因時(shí)認(rèn)為不同的社會(huì)文化背景和測(cè)試本身的復(fù)雜性和目的性都會(huì)導(dǎo)致這些差異[33-34]．因此，Watt指出，很難發(fā)現(xiàn)一個(gè)比數(shù)學(xué)能力上的性別差異更具爭(zhēng)議性的內(nèi)容[35]．對(duì)于女生在八年級(jí)階段表現(xiàn)好于男生的原因，這可能主要基于兩點(diǎn)，一是在這個(gè)階段女生的計(jì)算能力普遍好于男生[36]．二是這個(gè)階段女生在學(xué)習(xí)中更能夠接受教師的指導(dǎo)信息，在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)得更具有規(guī)范性[37]，而此時(shí)數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容較為基礎(chǔ)，適合女生獲得更佳的表現(xiàn)．結(jié)合一些相關(guān)研究的關(guān)注角度，除了關(guān)注組間的差異外，也要關(guān)注性別組內(nèi)的差異變化．一些學(xué)者利用PISA等測(cè)試數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)在不同層次中男女生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)存在不同于整體的分布差異[38-39]．從男女生數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)看，男生的方差大于女生，說(shuō)明男生在分布上差異更大，這種變化結(jié)合水平標(biāo)定后將會(huì)獲得更加豐富的信息．可見(jiàn)，性別差異的研究不僅僅關(guān)注性別之間的比較，也要關(guān)注性別內(nèi)部的變化．

另外，幾乎所有的測(cè)評(píng)研究、教育監(jiān)測(cè)等工作都關(guān)注到性別上的差異，隨著這種差異研究的不斷累積，還需要進(jìn)一步思考這種研究的價(jià)值方向．例如，基本可以確定在初中階段女生表現(xiàn)好于男生，可這在現(xiàn)階段對(duì)實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中難以產(chǎn)生具體實(shí)質(zhì)影響．調(diào)查分析的結(jié)果需要面向教學(xué)，面向提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平．因此，在以班級(jí)為群體的整體性教學(xué)模式下無(wú)法按照性別去劃分不同群體開(kāi)展教學(xué)，那么在性別比較中的諸多信息往往看上去并沒(méi)有太大價(jià)值．不過(guò)，隨著人工智能技術(shù)的進(jìn)步，個(gè)性化教學(xué)逐漸成為現(xiàn)實(shí)．在這樣的背景下，學(xué)校面對(duì)的將不僅僅是如何開(kāi)展分層走班教學(xué)，如何開(kāi)展校本課程教學(xué)，更將面臨分群體、分能力、分特質(zhì)的差異化教學(xué)．所以，性別上的差異比較研究其意義不僅在當(dāng)下，更在于未來(lái)．雖然對(duì)于性別差異上的研究還難以有確定性的結(jié)論，不過(guò)相關(guān)研究的開(kāi)展將為中國(guó)數(shù)學(xué)教育積累寶貴的基礎(chǔ)性資料，對(duì)于數(shù)學(xué)教育研究的開(kāi)展有重要價(jià)值．

5.2 關(guān)注城鄉(xiāng)差異

城鄉(xiāng)之間的教育差異是教育研究的重要關(guān)注內(nèi)容，也是國(guó)家義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)的重要方面．從該次數(shù)學(xué)演繹推理能力的調(diào)查來(lái)看，城鄉(xiāng)學(xué)校學(xué)生在表現(xiàn)上存在顯著的差異，這種差異在調(diào)查的多個(gè)維度均普遍存在．這種差異與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)表現(xiàn)基本一致，城市學(xué)校學(xué)生表現(xiàn)好于縣鎮(zhèn)學(xué)校學(xué)生，縣鎮(zhèn)學(xué)生表現(xiàn)好于農(nóng)村學(xué)生，3類(lèi)地域呈現(xiàn)典型階梯型分布．對(duì)于城鄉(xiāng)之間的教育差異一些學(xué)者進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析，試圖解構(gòu)其中的多種原因．目前來(lái)看無(wú)論是學(xué)校、家庭還是學(xué)生個(gè)體均有諸多影響因素．例如，家庭的社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位、家長(zhǎng)的教育期望、學(xué)生的自我效能、師生關(guān)系，等等，有研究表明個(gè)體和家庭可以解釋學(xué)生77%的成績(jī)變異[40]，所以，關(guān)注個(gè)體和家庭對(duì)于改變這種差異具有重要意義．從教育的視角看，對(duì)學(xué)生個(gè)體因素的改變是最切合實(shí)際的操作措施．因?yàn)樗懻摰膫€(gè)體差異并不是先天認(rèn)知能力，而是后天的誘導(dǎo)性獲得[41]．這是教育系統(tǒng)所能夠達(dá)到的領(lǐng)域，對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)母深A(yù)將有助于縮小這種城鄉(xiāng)二元差距．另外，對(duì)教師的重視也尤為重要．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科并不像語(yǔ)文、外語(yǔ)等學(xué)科需要太多的環(huán)境支持，較為依賴(lài)學(xué)生個(gè)體和教師，如果教師能夠采取更為契合的方法，同樣會(huì)有助于縮小這種差距．

5.3 加強(qiáng)高認(rèn)知演繹推理能力培養(yǎng)

研究中從認(rèn)知的角度對(duì)演繹推理能力設(shè)定了3個(gè)認(rèn)知水平，分別是再現(xiàn)、聯(lián)結(jié)、反思，根據(jù)認(rèn)知類(lèi)型的界定可以認(rèn)為反思屬于較高水平的認(rèn)知要求，而高水平的認(rèn)知往往是教學(xué)中特別希望學(xué)生能夠達(dá)到的水平．該次測(cè)試中共計(jì)有10道問(wèn)題考察再現(xiàn)水平，15道問(wèn)題考察聯(lián)結(jié)水平，5道問(wèn)題考察反思水平．從得分率角度看反思類(lèi)問(wèn)題的總平均得分率不足50%，相對(duì)較低．學(xué)生整體在再現(xiàn)維度表現(xiàn)較好，從作答可以看出學(xué)生普遍對(duì)公式、定理有較好的掌握，并能夠基于此進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算．除了在個(gè)別試題上表現(xiàn)不佳外，整體表現(xiàn)較好．從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)演繹推理能力角度看，關(guān)注高認(rèn)知水平應(yīng)該是當(dāng)下的主要任務(wù)．高認(rèn)知水平能夠發(fā)展學(xué)生的高層次思維，尤其是問(wèn)題解決、創(chuàng)造性、批判性和自我反思[42]，這些思維非常有利于學(xué)生進(jìn)行自我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建構(gòu)，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)進(jìn)步．對(duì)于演繹推理來(lái)說(shuō)，能夠具有較好的反思能力是至關(guān)重要的，他超越了對(duì)固定公式、定理、法則的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是在此基礎(chǔ)上的分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造性運(yùn)用，從這個(gè)角度看，高水平演繹推理能力在一定程度上決定了學(xué)生能否在數(shù)學(xué)上獲得較好表現(xiàn)[43–44]．因此，培養(yǎng)學(xué)生高認(rèn)知演繹推理能力需要給予格外關(guān)注．

在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)不僅僅在性別、地域等主要人口學(xué)變量上存在差異，在校際之間也存在著差異．即使是相同的城區(qū)，不同學(xué)校之間學(xué)生表現(xiàn)也會(huì)出現(xiàn)相差很大的情況．這種校際之間的表現(xiàn)差異無(wú)法簡(jiǎn)單地用家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位來(lái)解釋?zhuān)嗟氖桥c學(xué)校環(huán)境和教師教學(xué)有關(guān)，但是在研究中并沒(méi)有設(shè)計(jì)教師的教學(xué)變量，教師的課堂教學(xué)雖然以數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)為載體進(jìn)行講授，而數(shù)學(xué)演繹推理能力的培養(yǎng)往往融入這個(gè)過(guò)程當(dāng)中．因此，在未來(lái)對(duì)教師教學(xué)過(guò)程的關(guān)注將更有助于分析學(xué)生的數(shù)學(xué)演繹推理能力表現(xiàn)．

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An Assessment Study of Mathematics Deductive Reasoning Competence——Taking Year 8 Students as an Example

HAO Lian-ming

(School of Mathematics, Jilin Normal University, Jilin Siping 136000, China)

Mathematics deductive reasoning is an important part of logical reasoning. The competence of deductive reasoning directly affects students’ mathematical academic achievement. Based on the research perspective of mathematics education, the evaluation framework of mathematical deductive reasoning competence is constructed from four dimensions: reasoning form, cognitive level, reasoning situation and reasoning content. Based on IRT theory, the test results of more than 50,000 students were analyzed, and it was found that there was a significant gender difference, with girls performing better than boys. There were also differences between urban and rural school students, with urban school students performing significantly better than county and rural school students and this difference was reflected in different dimensions of the test. The students did not perform well in the reflective dimension, which requires our attention. It is necessary to pay attention to gender differences and urban and rural differences in mathematics teaching activities and pay attention to the importance of mathematical deductive reasoning.

deductive reasoning; logical reasoning; reasoning ability; mathematical reasoning; evaluation framework

G632

A

1004–9894（2022）04–0014–07

郝連明．?dāng)?shù)學(xué)演繹推理能力測(cè)評(píng)研究——以八年級(jí)學(xué)生為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（4）：14-20．

2022–03–09

吉林省社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目——吉林省義務(wù)教育階段學(xué)校自主質(zhì)量監(jiān)測(cè)指標(biāo)體系構(gòu)建及反饋機(jī)制研究（2019c73）；吉林省教育廳“十三五”社會(huì)科學(xué)項(xiàng)目——義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)背景下中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科測(cè)評(píng)框架?chē)?guó)際比較研究（JJKH20191036SK）

郝連明（1985—），男，吉林四平人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]