以轉(zhuǎn)化思想為核心 打開學(xué)生主動學(xué)習(xí)的一扇門
——以“平行四邊形的面積”教學(xué)為例

方 勇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了整體設(shè)計和系統(tǒng)完善，其中特別提到課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)的調(diào)整，提出要圍繞發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，精選和設(shè)計課程內(nèi)容。筆者試圖就小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域中有代表性的“平行四邊形的面積”一課為例，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。平行四邊形的面積計算方法是在學(xué)生掌握了長方形、正方形面積計算方法之后學(xué)習(xí)的，也為之后學(xué)習(xí)三角形、梯形、圓形等圖形面積計算公式奠定了基礎(chǔ)，在圖形面積公式教學(xué)中起著承上啟下的重要作用。在平行四邊形面積計算的學(xué)習(xí)探究過程中，學(xué)生第一次運用轉(zhuǎn)化的方法探索面積計算公式，學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)思想、活動經(jīng)驗對學(xué)生下一步探索其它圖形面積公式具有很高的引領(lǐng)價值，因此轉(zhuǎn)化方法的習(xí)得和轉(zhuǎn)化思想的滲透無疑成為本課教學(xué)的重要目標(biāo)，筆者試圖以轉(zhuǎn)化思想為核心，培養(yǎng)積累學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、運算能力和個人修養(yǎng)方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，打開學(xué)生主動學(xué)習(xí)的一扇門。

一、“問題生成單”——導(dǎo)學(xué)激疑促主動思考，初步感受轉(zhuǎn)化

（一）回顧舊知

教師首先出示“問題生成單”，見圖1?！皢栴}生成單”首先讓學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的圖形面積計算方法——數(shù)方格的方法計算出平行四邊形和長方形的面積，以小組為單位進(jìn)行測量計算，小組內(nèi)可以互相交流，同時記錄在此過程中遇到的問題，最后，在全班同學(xué)前進(jìn)行匯報。在數(shù)方格的過程中，教師可以提示學(xué)生將不足一格的按半格計算，兩個半格合成一個整格進(jìn)行測量，并展示了最終的測量結(jié)果（見圖2）。學(xué)生通過數(shù)方格的方法計算圖形的面積，不僅復(fù)習(xí)了長方形面積的計算公式及計算過程，也為平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程做了一個參考和對比。

圖1

圖2

（二）引發(fā)思考

學(xué)生通過觀察、比較平行四邊形和長方形面積的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的底和高分別與長方形的長和寬相等，而且兩個圖形的面積也是相等的，這會引起學(xué)生的進(jìn)一步思考和猜想：平行四邊形與長方形有著什么樣的密切聯(lián)系，平行四邊形的面積計算公式= 底× 高是否成立呢，是否可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，怎樣轉(zhuǎn)化呢等，引起了學(xué)生接下來驗證猜想的興趣。

通過問題生成單，教師讓學(xué)生主動去嘗試并尋找規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的思考，同時學(xué)生也會在解決問題過程中，會產(chǎn)生一些疑問和問題，于是學(xué)生會帶著問題和思考走進(jìn)新知，成為了學(xué)生主動思考的催化劑。我們都認(rèn)同讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)、經(jīng)歷數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最佳方式，因此在教學(xué)之初把課堂還給學(xué)生，利用“問題生成單”貫穿全課，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的時間和空間。

教學(xué)反思：回顧、遷移、探尋。教師要充分利用學(xué)生已有的活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的方法展開有效的探究。在課堂上，老師先讓學(xué)生“回顧”用數(shù)方格方法測量平行四邊形的面積，方格紙形象直觀地提示了剪拼的一般方法，也為絕大多數(shù)同學(xué)理解“等積變形”提供了可靠的基礎(chǔ)。在觀察、比較、填表的基礎(chǔ)上，很多學(xué)生驚奇發(fā)現(xiàn)，“長方形的面積= 長×寬，而平行四邊形的面積也正好等于底乘以高”，從而形成猜想“平行四邊形的面積是否等于底乘以高呢？”抓住這一猜想，激發(fā)了學(xué)生脫離方格紙的個例來操作驗證這一猜想是否成立就成為了當(dāng)務(wù)之急。有了“數(shù)方格”的活動經(jīng)驗，加之對剪拼整合的直觀感受，學(xué)生們潛意識地聯(lián)想到剪一剪、拼一拼，把一個平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個與它面積相等的長方形，把新知向舊知進(jìn)行“遷移”，使學(xué)生明確平行四邊形與長方形的內(nèi)在聯(lián)系，這也便于從已有圖形面積計算公式“探尋”新的圖形面積計算公式，使學(xué)生明確面積計算公式的意義和來源。

圖3

二、“學(xué)路建議”——問題引領(lǐng)促主動猜想驗證，逐步引入轉(zhuǎn)化

平行四邊形是否可以轉(zhuǎn)化成長方形、平行四邊形的面積是不是等于底乘以高這還只是一個猜想，僅僅通過一個例子就下結(jié)論，顯然沒有說服力。教師需要鼓勵學(xué)生們進(jìn)一步驗證。事實上，學(xué)生對于平行四邊形的操作經(jīng)驗，是伴隨著對平行四邊形認(rèn)識的過程逐步積累起來的，在探究平行四邊形面積時，實現(xiàn)兩種圖形的轉(zhuǎn)化就成為學(xué)生的自覺需要和自然發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生自主探究的過程中，教師要幫助學(xué)生理清：一是為什么要這樣轉(zhuǎn)化，使學(xué)生清楚地意識到轉(zhuǎn)化的目的是什么，即探究驗證平行四邊形的面積等于底乘以高；二是轉(zhuǎn)化是否會引起測量結(jié)果的變化，即平行四邊形的面積與長方形的面試是否還相等。針對以上思考，教師要引導(dǎo)學(xué)生回答下面三個問題：拼出來的長方形與原來的平行四邊形相比，面積變了嗎；拼出長方形的長和寬與原來的平行四邊形的底和高有什么關(guān)系；能根據(jù)長方形的面積計算公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式嗎。針對這些問題，老師提出了本節(jié)課的“學(xué)路建議”，即研究內(nèi)容和方法（見圖4）。

圖4

接下來學(xué)生以小組為單位開展了五個步驟的學(xué)習(xí)活動：選擇問題——獨立思考——小組合作——記錄過程——組間互訪。小組合作學(xué)習(xí)讓學(xué)生經(jīng)歷從未知向“已知”轉(zhuǎn)化的探索過程，但這一過程的有效性很大程度上取決于教學(xué)視角與學(xué)生的“已知”狀態(tài)是否匹配。因此，在小組合作學(xué)習(xí)探究的過程中，有三個問題是值得我們思考的：

其一，引發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)化意識的切入點在哪里?

其二，轉(zhuǎn)化后如何探求平行四邊形面積的計算方法?

其三，圖形轉(zhuǎn)化的探索過程留給學(xué)生什么樣的活動經(jīng)驗?

學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和抽象能力在對這些問題的思考中得以發(fā)展，面積公式的推導(dǎo)在豐富的體驗中逐漸明晰并自覺應(yīng)用?？梢哉f，著眼于實踐層面的意義解釋和反復(fù)體驗，雖然會拉長知識的抽象過程，但也會使這一過程更具自覺性和穩(wěn)固性。學(xué)生共分4 組開始了驗證猜想的探究過程。

三、主動探究——小組合作學(xué)習(xí)促多元思維，正式經(jīng)歷轉(zhuǎn)化

（一）問題選擇：研究平行四邊形面積大小與底和高的關(guān)系

探究方法：數(shù)方格的方法、制作可以拉伸的四邊形框架

探究過程：第1 組在釘子板上圍出了幾個底和高都不同的平行四邊形，用幾個不同大小的平行四邊形來說明面積與底和高的關(guān)系。這幾個底和高都不同的平行四邊形，通過數(shù)方格的方法，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)它們的面積與底乘高計算的結(jié)果是一樣的。

結(jié)論：平行四邊形的面積與底和高有一定的聯(lián)系。

圖5

第2 小組制作一個可以拉伸活動的四邊形框架（圖6），它的4 條邊是不變的，但是把它拉扁一點，面積就變小了，再拉扁一點，面積就更小了，

圖6

結(jié)論：底邊不變，但是高變矮了，所以我們認(rèn)為平行四邊形的面積與它的底和高有著密切的聯(lián)系。

（二）問題選擇：研究平行四邊形怎樣轉(zhuǎn)化成長方形

探究方法：割補(bǔ)法。

探究過程：第3 小組沿著頂點的高剪開，然后把它平移到另一邊，就割補(bǔ)成了長方形，原來平行四邊形的底變成了長方形的長，原來平行四邊形的高變成了長方形的寬，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形面積=底×高。

圖7

結(jié)論：平行四邊形面積=底×高。

第4 小組提出，不一定要沿著頂點的高剪開，沿著中間的任意一條高剪開，都可以把平行四邊形割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成長方形。沿著任意一條高剪都能成功。但必須有直角，沒有直角是不能拼成長方形的。

圖8

圖9

師生共同總結(jié)：沿著頂點的高剪開，然后把它平移到另一邊，就割補(bǔ)成了長方形，形狀變了，面積不變。原來平行四邊形的底變成了長方形的長，原來平行四邊形的高變成了長方形的寬，因為長方形的面積= 長× 寬，所以平行四邊形面積=底×高。

教學(xué)反思：

1.研究“平行四邊形的面積與底和高有關(guān)嗎？”這個問題，第1 小組選擇了幾個不同大小的平行四邊形來說明這一點，而第2 個小組則選擇了一個“平行四邊形活動框架”，拉動后面積變小是因為高變矮了，由此說明面積與底和高有關(guān)。

2.研究“平行四邊形怎樣轉(zhuǎn)化成長方形”這個問題，第3 小組沿頂點的高剪開，第4 個小組沿中間的任意一條高剪開、沿斜邊中點剪開交叉平移等。學(xué)生通過各個小組的匯報演示，展示著自己不同的思維方式。

這一系列真實的探究活動，讓我們看到學(xué)生對轉(zhuǎn)化方法的理解從感性提升到理性，把概括公式過程的學(xué)習(xí)材料從個例推向一般。基于圖形特征運用“樸素證明”的過程，讓學(xué)生體會到知識的聯(lián)系與應(yīng)用，而且在追根溯源的討論中培養(yǎng)了數(shù)學(xué)的理性精神。

四、“課末檢測單”——分層作業(yè)完善課堂評價，積淀學(xué)生核心素養(yǎng)

師：祝賀大家，終于推導(dǎo)出了平行四邊形的面積計算方法，我們可以下“結(jié)論”了。

生：平行四邊形的面積等于底乘高。

師：你們喜歡用字母來表示嗎？

生：。

師：相信大家已經(jīng)迫不及待地想利用這一計算公式來解決實際問題了，那就拿出課末檢測單。出示A 類基標(biāo)必做題。請看例1，獨立解決在檢測單上。

圖10

生：（板演例1）我們知道，然后用6×4=24（平方米）。

師：大家掌握得不錯，老師這里還有個問題。你能想辦法計算這個平行四邊形的面積嗎？上來演示一下。還有什么辦法？

生：這個平行四邊形的面積既可以用15×4 來計算，也可以用5×12 來計算，都等于60平方厘米。

師：能用15×12 來計算這個平行四邊形的面積嗎？在計算平行四邊形面積時需要注意什么？

生：找到對應(yīng)的底和高才能相乘，15 和12 不是平行四邊形對應(yīng)的底和高。

下面請同學(xué)們獨立解答A 類題練習(xí)1、2，教師巡視批改輔導(dǎo)。

出示B 類拓展選做題，由學(xué)生推薦或自薦來當(dāng)小老師進(jìn)行講解。

圖11

研究B 類第1 題。

生：這四個平行四邊形的面積相等，因為同底等高的平行四邊形面積相等。

師：那么不同底也不等高的平行四邊形面積有可能相等嗎？

生：當(dāng)然有可能，只要它們的底與高相乘的積相等，面積就相等。

研究B 類第2 題。

生：面積為12 的平行四邊形它的底和高可能是1 和12,2 和6,3 和4，還可以把底和高反過來，所以我想到了6 種不同的平行四邊形。

師:大家要注意這只是在整數(shù)范圍來考慮，如果拓展到小數(shù)范圍，那就有無數(shù)種情況了。

師：這節(jié)課我們運用割補(bǔ)法，把未知的平行四邊形轉(zhuǎn)化為已知的長方形，從而推導(dǎo)出平行四邊形面積的計算公式，祝賀大家。在后面我們研究三角形和梯形的面積時，是否還會用到轉(zhuǎn)化的思想，又會產(chǎn)生哪些新的問題呢？讓我們拭目以待。（鏈接下節(jié)課的“問題生成單”）請同學(xué)們認(rèn)真預(yù)習(xí)。

教學(xué)反思：練習(xí)環(huán)節(jié)，在“課末檢測單”中設(shè)計了彈性分層的作業(yè)，我們以A 類題和B 類題的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。A 類和B 類分別對應(yīng)課堂學(xué)習(xí)中的不同層次水平。

A 類基標(biāo)必做題：

（1）運用計算公式直接計算面積旨在知識與技能的鞏固；

（2）選擇對應(yīng)的底和高計算面積旨在解決問題能力的培養(yǎng)。這類題具有普遍檢測意義，是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課后應(yīng)達(dá)到的知識技能的底線標(biāo)準(zhǔn)，亦可作為教師檢測教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成的重要依據(jù)。

B 類拓展選做題：

（1）“同底等高的平行四邊形面積是否相等？”是知識性的拓展；

（2）思維游戲：“面積為12 的平行四邊形，它的底和高可能是多少？”是思維性拓展。在整數(shù)范圍討論有如上六種情況（圖12），如果拓展到小數(shù)范圍，那就有以下無數(shù)種情況了（圖13），這樣的逆向思維游戲很大程度上提升了學(xué)生的邏輯推理能力，這也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必備要素。

圖12

圖13

為了深度挖掘?qū)W生不同的思維層次資源，反復(fù)地將學(xué)生抽象出的“底乘高”算法引導(dǎo)到運用圖形進(jìn)行形象化的推理上。在思維拓展練習(xí)中不僅再次讓學(xué)生經(jīng)歷了圖形形象、表象模型與抽象公式的對照互動過程，更是讓其經(jīng)歷了運用計算公式反向思維圖形變化情況的學(xué)習(xí)過程?？梢哉f，學(xué)生正是在這種形象、表象和抽象的來回穿行與比照中，促進(jìn)了對面積計算公式的理解，提高了運用幾何圖形解釋和思考問題的意識能力，這應(yīng)該是眾多探究式學(xué)習(xí)所追求的價值取向。

綜上所述，筆者試圖以新發(fā)布數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)要求，在培育學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、運算能力和個人修養(yǎng)等方面，努力創(chuàng)造并帶給學(xué)生一個主動求知、合作學(xué)習(xí)、釋放潛能、多元發(fā)展的有效課堂，問題質(zhì)疑、問題探究、解疑分享、思維拓展、課末檢測，至始至終把課堂還給學(xué)生，給學(xué)生極大的自主學(xué)習(xí)時間和空間，讓學(xué)生動起來，課堂才能活起來，真正還學(xué)生以學(xué)習(xí)主人的地位，這樣的數(shù)學(xué)課堂才是靈動和學(xué)生喜聞樂見的。