函數(shù)主題教學(xué)下的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)探究
——以“函數(shù)的應(yīng)用（一）”為例

福建省三明市永安市第一中學(xué) 林藝婷 徐來(lái)艷

隨著科技發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，數(shù)學(xué)建模就顯得更加重要，它以多樣化的形式融入我們的教學(xué)。為了響應(yīng)新課程改革，實(shí)施新課程理念讓核心素養(yǎng)落地課堂，筆者錄制了一節(jié)指向高中數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)課。上課內(nèi)容為《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教A 版》第三章第四節(jié)“函數(shù)的應(yīng)用（一）”。本文旨在通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維去思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)世界，進(jìn)而超越本學(xué)科，實(shí)現(xiàn)培育核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

一、研究背景

數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界的紐帶，是建立數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的重要途徑。新課程改革將“數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)”列為數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)之一，同時(shí)將數(shù)學(xué)建模列入必修課程的一個(gè)模塊?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中指出：在高中階段，數(shù)學(xué)建模的主要目標(biāo)是：學(xué)習(xí)建模方法，提升探究能力，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

二、設(shè)計(jì)理念

1.教材分析。

在高中必修第一冊(cè)中，函數(shù)主題是非常重要的主題。本節(jié)課選自《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教A 版》第三章第四節(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)完函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容后，利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)和分段函數(shù)模型解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)有著指導(dǎo)意義，特別是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)在生活實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛。通過(guò)這節(jié)課讓學(xué)生初步建立建模意識(shí)，對(duì)于學(xué)生基本初等函數(shù)知識(shí)的整體建構(gòu)有著非常重要的指導(dǎo)意義。

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程。新課程改革把數(shù)學(xué)建模作為六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為必修課程的一個(gè)單元，這使得促進(jìn)學(xué)生建模素養(yǎng)的形成與發(fā)展變得尤為重要。

這節(jié)課是學(xué)生高中階段第一次利用建模思想解決實(shí)際問(wèn)題，一方面，可以加強(qiáng)學(xué)生的看圖識(shí)圖能力，探究函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用，另一方面，為后續(xù)更加復(fù)雜的、需要根據(jù)實(shí)際背景建立函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題做鋪墊。

2.學(xué)情分析。

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，高中學(xué)完了函數(shù)的概念以及分段函數(shù)，對(duì)這幾種函數(shù)的圖象及性質(zhì)有了一定的了解與把握。學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多與實(shí)際相關(guān)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)模型也有一定的認(rèn)知，但對(duì)于該建立怎樣的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題缺乏相關(guān)的實(shí)踐。而且高中數(shù)學(xué)與初中相比，邏輯性更強(qiáng)，語(yǔ)言更抽象，知識(shí)內(nèi)容整體數(shù)量劇增，需要有較高的抽象概括能力、整體駕馭能力和局部處理能力。而這個(gè)時(shí)期的學(xué)生思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，專(zhuān)注度不高，很難將所學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，這些對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了一定的困難。這就需要教師給學(xué)生足夠的思考時(shí)間和空間，更好地幫助學(xué)生借助形象的手段解決抽象的問(wèn)題。加之，本節(jié)課研究的是跟旅游有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，可以把生活融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，通過(guò)好的問(wèn)題展現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力和求知欲。

3.教學(xué)目標(biāo)。

（1）初步了解建模的思想及步驟，選擇合適的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題。

（2）根據(jù)題目提供的圖表和數(shù)據(jù)，通過(guò)觀察、思考，抽象出相應(yīng)的函數(shù)模型，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)對(duì)圖表以及數(shù)據(jù)的分析、推理、計(jì)算、比較，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)；經(jīng)歷解答實(shí)際函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：審題、建模、求解、還原等過(guò)程，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（3）在小組合作交流的過(guò)程中，培養(yǎng)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，形成團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神，樹(shù)立勤于思考的科學(xué)精神。

（4）體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，數(shù)學(xué)建模可以來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，指導(dǎo)生產(chǎn)生活，數(shù)學(xué)源于生活但又高于生活。

三、數(shù)學(xué)建模的三重追求

追求一：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

一般來(lái)說(shuō)，提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，每個(gè)學(xué)生可以根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)并通過(guò)查詢(xún)等手段發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題。本節(jié)課以“旅行中的數(shù)學(xué)問(wèn)題”為主線，以學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的形式展開(kāi)，學(xué)生提前去搜集與旅行相關(guān)的題目，或者通過(guò)改編設(shè)計(jì)一系列符合情境的實(shí)際問(wèn)題。以下是學(xué)生以旅行中的飲食、交通、租車(chē)問(wèn)題設(shè)計(jì)的三個(gè)相關(guān)的問(wèn)題情境。

情境1：哈爾濱的紅腸可謂遠(yuǎn)近馳名，是當(dāng)?shù)刂禺a(chǎn)。由于它的肉質(zhì)鮮美，口感佳，營(yíng)養(yǎng)豐富，所以一直是酒宴的上等佳肴，也是送禮的佳品。哈爾濱商委紅腸是典型的代表，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，紅腸的口感與肉的烘干時(shí)間有很大關(guān)系，時(shí)間太短，肉質(zhì)太肥膩，時(shí)間太長(zhǎng)，肉質(zhì)太老。把肉風(fēng)干后的口感程度稱(chēng)為“可食用率p”，經(jīng)試驗(yàn)，在特定條件下，記錄了幾次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并繪制成如下的散點(diǎn)圖：

請(qǐng)根據(jù)上述的圖象以及數(shù)據(jù)構(gòu)建出可食用率p 與時(shí)間t 的函數(shù)模型，計(jì)算出紅腸最佳的加工時(shí)間。

情境2：哈爾濱有個(gè)著名的網(wǎng)紅打卡點(diǎn)——俄羅斯風(fēng)情小鎮(zhèn)，必須途徑哈爾濱松浦大橋，由于車(chē)流量較大，所以經(jīng)常發(fā)生交通堵塞。據(jù)調(diào)查，車(chē)流速度v（千米/時(shí)）與車(chē)流密度x（輛/千米）在一定程度上滿足函數(shù)的表達(dá)式。當(dāng)x=200 時(shí)，此時(shí)v=0，交通會(huì)造成堵塞；當(dāng) x≤20 時(shí)，v=60。研究表明：當(dāng)20≤x≤200 時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x 的一次函數(shù)。

（1）當(dāng) 0≤x≤200 時(shí)，求函數(shù) v(x)的表達(dá)式；

（2）定義單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)為車(chē)流量（輛/小時(shí)），當(dāng)車(chē)流密度 x 等于多少時(shí)，f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值。（精確到1輛/小時(shí)）

情境3：為了節(jié)約能源，倡導(dǎo)綠色環(huán)保。哈爾濱文化公園有六十輛電動(dòng)觀光車(chē)供租賃使用，不管車(chē)輛是否租賃，每天需要花費(fèi)120 元的管理費(fèi)用。 根據(jù)以往數(shù)據(jù)分析，如果每日租金不超過(guò)5 元，則當(dāng)日的觀光車(chē)可以全都租出去；如果當(dāng)日租金超過(guò)5 元，則租金每增加1 元，租出去的電動(dòng)車(chē)就減少2 輛。 為了資金的計(jì)算方便，每輛電動(dòng)觀光車(chē)的日租金x（元）取整數(shù)，并且要求一天的收入必須高于支出，設(shè)電動(dòng)車(chē)的日凈收入為y（元）：y= 收入- 管理費(fèi)用。

請(qǐng)你幫老板計(jì)算一下，當(dāng)日租金x 等于多少時(shí)，凈收入能達(dá)到最大值？

【設(shè)計(jì)意圖】以“旅行中的數(shù)學(xué)問(wèn)題”為主線展開(kāi)，學(xué)生很踴躍地分享他們?cè)诼眯兄械乃崽鹂嗬?。一方面，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；另一方面，旅行問(wèn)題是學(xué)生比較熟悉的實(shí)際場(chǎng)景，與學(xué)生生活息息相關(guān)，因而能較快速的編制與一次、二次、分段函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題。

追求二：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界。

現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行新知識(shí)的再構(gòu)建過(guò)程，只有學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，才是有效的教學(xué)。本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，首先，問(wèn)題情境都是建立在學(xué)生已有的知識(shí)水平的基礎(chǔ)上，確保大部分學(xué)生能夠有效地參與進(jìn)來(lái)；其次，能夠啟發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，學(xué)生通過(guò)思考、建構(gòu)、表述等一系列活動(dòng)，體現(xiàn)了自主性和活動(dòng)性。

針對(duì)上述提出的三個(gè)問(wèn)題，老師引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展小組合作探究活動(dòng)，通過(guò)自主探究、合作交流的形式，從不同的角度，不同的層次去探究問(wèn)題，體會(huì)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程和方法。通過(guò)觀察、思考，抽象出相應(yīng)的函數(shù)模型，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)對(duì)圖表以及數(shù)據(jù)的分析、推理、計(jì)算、比較，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)；經(jīng)歷討論、交流、表達(dá)的過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。最終，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)建?？梢杂脕?lái)解決實(shí)際問(wèn)題，指導(dǎo)生產(chǎn)生活，數(shù)學(xué)源于生活但又高于生活，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，從而獲得綜合運(yùn)用知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

【設(shè)計(jì)意圖】在問(wèn)題分析的過(guò)程中重在發(fā)展學(xué)生的閱讀理解、信息處理、語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯和表達(dá)等關(guān)鍵能力。

追求三：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。

本環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)在三個(gè)方面。

（一）學(xué)生以小組合作的形式展開(kāi)討論，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，養(yǎng)成與人交流的習(xí)慣，并獲得良好的情感體驗(yàn)。

（二）學(xué)生上臺(tái)匯報(bào)本小組的研究成果。

生1：通過(guò)觀察情境一的圖象可以得知本題應(yīng)該建立二次函數(shù)的模型，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可求出當(dāng)加工時(shí)間大約為7.5 小時(shí)，紅腸口感率最好。這個(gè)數(shù)據(jù)可以為商家制作符合大眾口感率的產(chǎn)品提供依據(jù)，提高銷(xiāo)售量。

生2：依題意可知情境二是分段函數(shù)的模型，先在0≤x≤20 上，求得一次函數(shù)的模型，車(chē)流量函數(shù)為增函數(shù)，得最大值為 v(20)=1200，然后在 20≤x≤200 上，車(chē)流量函數(shù)為二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的最大值問(wèn)題解答。最終可以得出當(dāng)車(chē)流密度為100 輛/千米時(shí)，車(chē)流量達(dá)到最大值，最大值約為3333 輛/小時(shí)。

以上的數(shù)據(jù)可以為游客出行提供指導(dǎo)，游客可以提前調(diào)查當(dāng)?shù)氐能?chē)流密度與車(chē)流量，從而知道何時(shí)出行不堵車(chē)，減少等待的時(shí)間。

生3：情境三也是一個(gè)分段函數(shù)的模型，分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值，但需要與實(shí)際情況相結(jié)合，取整數(shù)解，最終得出當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定在11元時(shí)，凈收入達(dá)到最大值。以上的分析可以為商家提供制定費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)，從而使利潤(rùn)達(dá)到最大化。

（三）學(xué)生進(jìn)行知識(shí)總結(jié)，談本節(jié)課的收獲。

生4：只要我們留心觀察，善于思考，其實(shí)生活中處處有數(shù)學(xué)，旅行中處處有數(shù)學(xué)，比如還有類(lèi)似租房、購(gòu)物等問(wèn)題等待著我們?nèi)ネ诰颉?/p>

生5：生活中許多最優(yōu)化問(wèn)題都能依靠數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決，我們應(yīng)該不斷吸收數(shù)學(xué)文化知識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以適應(yīng)日益增長(zhǎng)的物質(zhì)文化的需要。

生6：數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)可以用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，它源于生活但又高于生活，并且可以用來(lái)指導(dǎo)生產(chǎn)生活。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)課堂不應(yīng)該只是枯燥的學(xué)習(xí)和計(jì)算，讓學(xué)生進(jìn)行發(fā)言，一方面，可以提高學(xué)生的語(yǔ)言組織能力，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心；另一方面，學(xué)生通過(guò)發(fā)言和總結(jié)可以進(jìn)行數(shù)學(xué)方法和解題經(jīng)驗(yàn)的交流，實(shí)現(xiàn)靈魂與靈魂的交流。

上面的教學(xué)流程，教師注重知識(shí)的探究與形成過(guò)程，注重在教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這是我們所期待的，也是新課程改革所需要的。

四、教學(xué)反思

1.本節(jié)課的亮點(diǎn)。

（1）情境創(chuàng)設(shè)有新意。

本節(jié)課以學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)作為引入，提出“旅行中的數(shù)學(xué)問(wèn)題”這一主題。一方面，由于跟學(xué)生現(xiàn)階段的研究相吻合，更容易激發(fā)學(xué)生的興趣和探究欲望；另一方面，學(xué)生可以體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與生活的息息相關(guān)，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生仿佛也進(jìn)行了一場(chǎng)數(shù)學(xué)之旅。

（2）新課程的“三會(huì)”理念貫穿始終。

新課程提出立德樹(shù)人的總目標(biāo)，而立德樹(shù)人基本內(nèi)涵中提出：要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。本節(jié)課全程始終貫穿著這個(gè)理念。

首先，本節(jié)課以旅行中的數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)，讓學(xué)生感受到只要我們用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，那么生活中處處有數(shù)學(xué)；接著，通過(guò)求模、解模等一系列抽象和推理的過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去分析世界；最后，通過(guò)建模、交流、表達(dá)等過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)世界。

（3）落實(shí)以“學(xué)生為主體”的教學(xué)理念。

本節(jié)課采用小組合作的教學(xué)模式，探究韻味濃厚。從問(wèn)題的提出到問(wèn)題的解決都是學(xué)生自主完成的，教師起著引導(dǎo)者、合作者、參與者的作用；為學(xué)生創(chuàng)造了表達(dá)交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生上臺(tái)暢所欲言，把研究的過(guò)程與方法發(fā)表出來(lái)與同學(xué)共享，教師適時(shí)的進(jìn)行分析與總結(jié)。

2.本節(jié)課的思考。

（1）動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)少。

本節(jié)情境創(chuàng)設(shè)雖然新鮮有趣，但是所有的題目和數(shù)據(jù)都是學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)或者教材直接獲取的，缺乏自主創(chuàng)新的的機(jī)會(huì)。建議可以選擇一些跟學(xué)生生活更貼近的例子，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者實(shí)地測(cè)量獲取數(shù)據(jù)。

（2）關(guān)于建模能力的培養(yǎng)。

由于課時(shí)的原因，本節(jié)課的重點(diǎn)更多的是放在解題，離真正意義上的建模還有一段距離。真正的建模需要學(xué)生參與數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、計(jì)算、優(yōu)化的過(guò)程，一節(jié)課是無(wú)法完成的。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，也是解決實(shí)際問(wèn)題的重要途徑。真正的建?？繉W(xué)生一個(gè)人是無(wú)法完成的，其所運(yùn)用的知識(shí)不僅是數(shù)學(xué)本身，更是對(duì)學(xué)生綜合能力的考驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模的最終目的不是為了完成任務(wù)，而是通過(guò)建模來(lái)改變以往的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生發(fā)揮所長(zhǎng)，凸顯自我價(jià)值。教師要優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的探究，并針對(duì)學(xué)生的模仿建模進(jìn)行有效指導(dǎo)，使其在探究過(guò)程中培養(yǎng)初步建模能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)而真正理解建模思想方法的價(jià)值。