例談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生解決問(wèn)題能力之策略

福建省莆田市秀嶼區(qū)東嶠珠江小學(xué) 胡旭初

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“能在教師的引導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。了解同一問(wèn)題可以有不同的解決辦法。有與同伴合作解決問(wèn)題的體驗(yàn)，初步學(xué)會(huì)表達(dá)解決問(wèn)題的大致過(guò)程和結(jié)果?！苯鉀Q問(wèn)題是新課改后從傳統(tǒng)應(yīng)用題的基礎(chǔ)上衍生出來(lái)的新題型，著重培養(yǎng)、提升和考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。全國(guó)模范教師、特級(jí)教師吳正憲老師認(rèn)為，與傳統(tǒng)的應(yīng)用題相比，解決問(wèn)題更為強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決過(guò)程，更強(qiáng)調(diào)針對(duì)具體的真實(shí)的情景和綜合解決問(wèn)題的過(guò)程，更強(qiáng)調(diào)具體問(wèn)題具體分析；問(wèn)題從兒童經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，具有生活性、社會(huì)性、開放性和多元性?？梢?，解決問(wèn)題與傳統(tǒng)應(yīng)用題相比，內(nèi)容和形式上更為豐富、更為深刻，更注重學(xué)生解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，是提升小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。

一、深度審題是提高解決問(wèn)題能力的基礎(chǔ)

解決問(wèn)題首先需要理清需要解決什么問(wèn)題，這就涉及到審題問(wèn)題?，F(xiàn)實(shí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生因?yàn)閷忣}不清而導(dǎo)致的錯(cuò)誤屢見不鮮，常常由于忽視了重要信息或隱藏信息，導(dǎo)致“差之毫厘，謬以千里”。因此，提高小學(xué)生解決問(wèn)題能力，首先就要從基礎(chǔ)的審題著手。

一是理清解決問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。解決問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的關(guān)鍵所在，要引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)找數(shù)量關(guān)系的審題習(xí)慣，借助符號(hào)語(yǔ)言表示題中的基本數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而正確列出算式，水到渠成地解決問(wèn)題。如六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)除法》的解決問(wèn)題：“小紅家所在小區(qū)共30 層，高度為100m，小紅家住14 樓，那么她家距離地面多少米？”

這個(gè)解決問(wèn)題中，需要理清楚其中的兩組數(shù)量關(guān)系：①小紅家的高度占到整棟樓的比例為，②整層樓的高度為100m。由此列出算式：100×46.67（m）。此外，可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行邏輯推理：30 層樓高度為100 米，則15層高度為100÷2=50 米，又每一層的高度為米，那么，14 樓的高度為≈46.67（m）。同樣可以求得正確結(jié)果。可見，從數(shù)量關(guān)系出發(fā)進(jìn)行審題，能找到解決問(wèn)題的多種策略。

二是挖掘解決問(wèn)題中的隱性信息。解決問(wèn)題逐漸淡化數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查，而更側(cè)重于學(xué)生邏輯思維的考查，因此解決問(wèn)題中的陷阱到處存在，這也要求學(xué)生在審題過(guò)程中條分縷析、抽絲剝繭，挖掘出隱藏在圖片或文字中的重要信息。如解決問(wèn)題：“甲乙兩車同時(shí)從A 地出發(fā)，其中甲車速度為85 千米/小時(shí)，乙車速度為100千米每小時(shí)，那么2.5 小時(shí)后兩車相距多少千米？”很多學(xué)生的答案為2.5×（100-85）=37.5（千米）。而沒(méi)有考慮另一種潛在的可能——背向行駛，當(dāng)甲乙兩車背向行駛時(shí)，2.5 小時(shí)后兩車相距2.5×（100+85）=462.5（千米）。學(xué)生需要從題干中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題陷阱，然后通過(guò)分類討論，列出所有可能的情況，做到全面分析問(wèn)題，進(jìn)而正確解答問(wèn)題。

二、數(shù)形結(jié)合是提高解決問(wèn)題能力的法寶

小學(xué)生形象思維較為敏捷，對(duì)抽象的語(yǔ)言文字的理解缺乏敏感度，而直觀形象的圖形能起到化抽象為直觀的效果。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，很好地將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，以形助數(shù)，幫助學(xué)生理解問(wèn)題，尋找解決問(wèn)題思路，迅速又準(zhǔn)確地解好題。

如在《有余數(shù)的除法》的解決問(wèn)題中，有如下問(wèn)題：

星期天，紅星幼兒園28 名學(xué)生來(lái)到西湖公園乘船，公園規(guī)定每艘船最多乘坐5 名兒童，每一條小船的價(jià)格為45 元，那么一共需要租多少條小船，需要花費(fèi)多少租船費(fèi)用？

解題中，學(xué)生可以用如下的簡(jiǎn)圖來(lái)幫助分析：一共28 名兒童，那么租5 條船后，還有3 名孩子沒(méi)船坐，故而需要增加一條，即 28÷5=5……（3），需要租 5+1=6（條）船。則一共需要花費(fèi)租船費(fèi)用為45×6=270（元）。

又如解決問(wèn)題：“三年級(jí)的小記者社團(tuán)中有女同學(xué)12 人，女同學(xué)比男同學(xué)多，那么男同學(xué)有多少人？”在解決問(wèn)題中，借助如下的線段圖幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系：

三、合理想象是解決問(wèn)題的竅門

數(shù)學(xué)解決問(wèn)題側(cè)重于解決問(wèn)題的過(guò)程，而不偏重解決問(wèn)題的結(jié)果，注重學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維、創(chuàng)新能力的考查和培養(yǎng)。因此在解決問(wèn)題過(guò)程中，不要對(duì)學(xué)生的解題方法做過(guò)多干預(yù)，只要能達(dá)到解決問(wèn)題的目標(biāo)，就要允許和鼓勵(lì)學(xué)生用另辟蹊徑的解題方法。

一是運(yùn)用假設(shè)法輔助解決問(wèn)題。如常見的工程問(wèn)題：“一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)完成需要12 天，乙單獨(dú)完成需要18 天，那么甲乙合作完成，需要多少天？”常規(guī)的解題為運(yùn)用單位“1”來(lái)解題，列式為=7.2（天）；還可以通過(guò)假設(shè)法來(lái)進(jìn)行解題，假設(shè)：該項(xiàng)工作為生產(chǎn)360套（取12 和18 的倍數(shù)，以簡(jiǎn)化計(jì)算）服裝，那么甲工作效率為360÷12=30 套/天，乙工作效率為360÷18=20 套/天，工作總效率為50 套/天，因此，兩人合作完成此項(xiàng)工作任務(wù)的時(shí)間為360÷50=7.2（天），也得到了正確的問(wèn)題答案。通過(guò)賦值獲得清晰的解題思路，也是一種可取的能夠達(dá)到殊途同歸效果的解決問(wèn)題策略，當(dāng)學(xué)生思維受限時(shí)，通過(guò)假設(shè)法輔助解決問(wèn)題能夠達(dá)到柳暗花明的效果。

二是運(yùn)用轉(zhuǎn)化法輔助解決問(wèn)題。轉(zhuǎn)化是小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中常用的一種方法，能把較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，能把未知的問(wèn)題變?yōu)橐阎膯?wèn)題。

如問(wèn)題：“媽媽買了2 千克柑橘和5千克鴨梨，共花了28.6 元。每千克柑橘的價(jià)格是鴨梨的4 倍，每千克柑橘和鴨梨各多少元？”分析：“每千克柑橘的價(jià)格是鴨梨的4 倍”，這句話就是轉(zhuǎn)化的條件。可以引導(dǎo)學(xué)生這樣想：買1 千克柑橘的價(jià)錢可以買4 千克鴨梨，那么買2 千克柑橘的價(jià)錢可以買2×4=8 千克鴨梨。所以總共花了28.6 元相當(dāng)于買了（8+5）千克鴨梨所花的錢。通過(guò)轉(zhuǎn)換，問(wèn)題就得以解決了。

合理想象，是等價(jià)轉(zhuǎn)換思想的具體應(yīng)用，反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維品質(zhì)。大膽運(yùn)用假設(shè)和轉(zhuǎn)化方法，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，能幫助學(xué)生輕松解決問(wèn)題。

四、數(shù)學(xué)模型是提高解決問(wèn)題能力的捷徑

數(shù)學(xué)建模是高階數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要求從數(shù)學(xué)問(wèn)題中抽象出能反映一類數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)、解決同類型數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到舉一反三、觸類旁通、精準(zhǔn)化解決問(wèn)題的目的。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模在于解決問(wèn)題，故而數(shù)學(xué)建模是促進(jìn)解決問(wèn)題的重要途徑。

如數(shù)量關(guān)系的解決問(wèn)題：

1.已知兩數(shù)的和為96，大數(shù)比小數(shù)大6，求這兩個(gè)數(shù)是多少？

2.已知兩數(shù)的和為96，大數(shù)是小數(shù)的7 倍，求這兩個(gè)數(shù)是多少？

這類數(shù)量關(guān)系的解決問(wèn)題是中年級(jí)數(shù)學(xué)中常見的重要題型，如果生硬地窮舉計(jì)算，則耗費(fèi)極大的時(shí)間，難度也很大，而通過(guò)建立模型，則能夠迅速地實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

問(wèn)題一中，已知兩數(shù)的和以及兩數(shù)的差，求兩數(shù)，我們可以將其歸為“和差問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型。由于小數(shù)加上兩數(shù)差就是大數(shù)，兩數(shù)和加上兩數(shù)差便是大數(shù)的2倍；大數(shù)減去兩數(shù)差就是小數(shù)，兩數(shù)和減去兩數(shù)差是小數(shù)的2 倍。因此，我們可以提煉出一個(gè)計(jì)算公式：大數(shù)=（和+ 差）÷2，小數(shù)=（和- 差）÷2，既可以先求大數(shù)，也可以先求小數(shù)，問(wèn)題便迎刃而解了。通過(guò)代入“和差問(wèn)題”模型，迅速解得大數(shù)為（96+6）÷2=51，小數(shù)為（96-6）÷2=45。

問(wèn)題二中，已知兩數(shù)的和以及大數(shù)與小數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩數(shù)，我們不妨將其歸為“和倍問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用方程思想，假設(shè)小數(shù)為x，則大數(shù)為7x，所以8x=96，得出小數(shù)為12，大數(shù)為84。因而可以提煉出一個(gè)計(jì)算公式：小數(shù)= 和÷（倍數(shù)+1），大數(shù)= 小數(shù)×倍數(shù)。通過(guò)代入“和倍問(wèn)題”模型，迅速求得小數(shù)=96÷（7+1）=12，大數(shù) =12×7=84。

其他類似的模型問(wèn)題數(shù)不勝數(shù)，包括教材中典型的“雞兔同籠”模型、“植樹問(wèn)題”模型等等。要從邏輯推理出發(fā)，讓學(xué)生親歷模型建立的過(guò)程，知其然并且知其所以然，這樣就能夠理解和記憶模型，熟練地代入公式和計(jì)算方法，輕松地解決問(wèn)題。

五、同伴合作是提高解決問(wèn)題能力的橋梁

解決問(wèn)題的結(jié)構(gòu)性、復(fù)雜性是傳統(tǒng)應(yīng)用題所不具備的特點(diǎn)，尤其是進(jìn)入中高年級(jí)，很多解決問(wèn)題呈現(xiàn)出項(xiàng)目化特征，需要學(xué)生花費(fèi)較多的時(shí)間和智力來(lái)解決問(wèn)題，這些問(wèn)題常常因?yàn)檎n時(shí)緊張、力量單薄、操作不便等現(xiàn)實(shí)困難而無(wú)法施展開。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求“有與同伴合作解決問(wèn)題的體驗(yàn)”，在學(xué)習(xí)共同體理論之下，以同伴合作為橋梁來(lái)建立解決問(wèn)題的合作學(xué)習(xí)小組，則讓項(xiàng)目化的解決問(wèn)題有了現(xiàn)實(shí)的可能。

以六年級(jí)上冊(cè)《確定起跑線》的解決問(wèn)題為例，教師以數(shù)學(xué)綜合性學(xué)習(xí)的方式拋出現(xiàn)實(shí)的解決問(wèn)題：“下月將要舉行學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在4×100m 的接力比賽項(xiàng)目中，需要在1~8 跑道畫起跑線。我們學(xué)校的田徑場(chǎng)跑道是由兩條直道和兩個(gè)半圓形彎道組成，其中直道為85.96m，半圓直徑為72.6m，每一條跑道的寬度是1.25m，那么，應(yīng)該怎樣畫起跑線？”這是一個(gè)現(xiàn)實(shí)解決問(wèn)題的典型問(wèn)題，既考查了圓周長(zhǎng)知識(shí)，又體現(xiàn)了真實(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用場(chǎng)景。從問(wèn)題的解讀，到條件的分析，到思路的探討，再到計(jì)算與確定起跑線，是一個(gè)系統(tǒng)復(fù)雜的學(xué)習(xí)項(xiàng)目，學(xué)生個(gè)人完成難度很大。教師讓學(xué)生以前后座次的四人建立合作學(xué)習(xí)小組，各小組認(rèn)真討論、形成方案、解決問(wèn)題。第一組四名學(xué)生進(jìn)行了如下分析和討論：

生1：“如果在同一水平起跑線上跑，那越到外道肯定是越吃虧的。”（大家一致認(rèn)可）

生2“：關(guān)鍵是要算出每一道的周長(zhǎng)是多少，這樣就很容易算出每一道的全長(zhǎng)了。”

生3“：那我們一步步來(lái)，先算出每一道的直徑是多少，再算出每一道所在的圓的周長(zhǎng)，最后加上同一的直道?！保ù蠹乙恢峦獠⒎止ず献饔?jì)算）

生4“：為了精確一些，我們把π 定為3.1416，周長(zhǎng)保留小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)吧！”

經(jīng)過(guò)同伴合作尋求思路并精細(xì)計(jì)算，得出下表：

跑道 1 2 3 4 5 6 7 8直徑（m） 72.6 75.1 77.6 80.1 82.6 85.1 87.6 90.1圓周長(zhǎng)（m） 228.08 235.93 243.79 251.64 259.50 267.35 275.20 283.06跑道全長(zhǎng)（m） 400 407.85 415.71 423.56 431.42 439.27 447.12 454.98

如此，分別計(jì)算出第1~8 道的跑道總長(zhǎng)度，就得出了各跑道的長(zhǎng)度之差，只需要相鄰跑道長(zhǎng)度相減，即可計(jì)算出后一道需要比前一道向前移動(dòng)多少米。學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)，相鄰跑道的長(zhǎng)度差是一個(gè)固定值，約7.85～7.86m。通過(guò)同伴合作學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜解決問(wèn)題的有效解決，促進(jìn)了學(xué)生之間的互學(xué)互促，提升了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

綜上所述，解決問(wèn)題作為小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)主要題型，著重考查學(xué)生知識(shí)應(yīng)用與解決問(wèn)題的能力，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和核心素養(yǎng)的橋梁。教無(wú)定法，貴在得法，解決問(wèn)題同樣沒(méi)有固定的模式，其關(guān)鍵一方面在于多做——在做中積累各種題型，開闊視野，發(fā)散思維；另一方面在于多思考——如何根據(jù)具體的解決問(wèn)題選擇最佳的解題方法，做到因題制宜。通過(guò)深度審題、數(shù)形結(jié)合、合理想象、數(shù)學(xué)模型、同伴合作等方法，提高學(xué)生解決問(wèn)題能力，是十分有效的途徑。