一種相位截斷傅里葉變換非對稱光學(xué)壓縮加密系統(tǒng)

郭媛，吳蘭蘭，敬世偉

（齊齊哈爾大學(xué)計算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

0 引言

美國學(xué)者REFREGIER P 和JAVIDI B［1］于1995年提出雙隨機(jī)相位編碼（Double Random Phase Encoding，DRPE）光學(xué)加密系統(tǒng)，使光學(xué)圖像加密技術(shù)得到快速發(fā)展。最近，JMV A［2］提出一種使用非線性聯(lián)合變換相關(guān)因子來實現(xiàn)雙隨機(jī)相位編碼的光學(xué)安全技術(shù)。TAO Yuanchun［3］提出一種明文關(guān)聯(lián)鬼成像加密系統(tǒng)，將參數(shù)密鑰用橢圓曲線加密，降低密鑰空間且提高系統(tǒng)抗攻擊能力。ABD-EL-ATTY B［4］提出一種基于量子游走和雙隨機(jī)相位編碼技術(shù)的新型光學(xué)加密，在兩個加密階段使用替代量子漫游（Alternate Quantum Walks，AQW）抵抗來自數(shù)字和量子計算機(jī)攻擊。WW A［5］提出一種通過相位優(yōu)化生成可信的純相位全息圖方法，用于隱寫光學(xué)圖像加密；利用菲涅爾域優(yōu)化隨機(jī)相位和相位約束下改進(jìn)的兩步迭代傅里葉變換算法，計算出全息圖，為光學(xué)圖像提供了一種全息加密新方法。傳統(tǒng)DRPE 系統(tǒng)是線性對稱光學(xué)加密系統(tǒng)，加密密鑰和解密密鑰相同，安全性得不到保障。PENG W Q［6］于2010年提出一種基于PTFT 的非對稱密碼體制，在加密過程中采用相位截斷方式得到解密密鑰，打破算法的線性運(yùn)算，實現(xiàn)了加密密鑰與解密密鑰的分離，系統(tǒng)安全性有了很大提高。2011年WANG X 提出基于PTFT 圖像加密算法的安全增強(qiáng)算法［7］，在原來的光學(xué)加密系統(tǒng)頻譜域中加入一個振幅掩膜。2012年WANG X 等［8-9］利用密文和兩個公鑰這兩個約束條件，僅需兩步迭代傅里葉變換，便可恢復(fù)PTFT 系統(tǒng)的私鑰信息，攻破PTFT 加密系統(tǒng)。針對這個問題，有很多學(xué)者對PTFT 系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，2013年DING Xiangling 等［10］在原來PTFT 系統(tǒng)的輸入圖像前添加一塊不公開的隨機(jī)相位掩膜，達(dá)到擾亂輸入圖像空間的效果，破壞傅里葉迭代算法的約束條件。2014年WANG X 用一種新的攻擊算法振幅-相位迭代恢復(fù)算法［11］攻破了2011年的安全增強(qiáng)算法［7］，2015年GAO Xiong［12］針對幅相迭代恢復(fù)算法提出對原來的振幅模板的分布進(jìn)行調(diào)整，設(shè)計一種特殊的振幅掩膜板，在原來PTFT 加密系統(tǒng)中將調(diào)整后的振幅模板放在傅里葉頻譜面上來提高抗攻擊性。此算法雖然安全性提升了，但密文的直方圖和相鄰相關(guān)性分布圖不均勻，系統(tǒng)統(tǒng)計特性不好。同時以上加密算法密文體積大，特別是非對稱加密，解密密鑰與明文一樣大小，且無法運(yùn)用混沌代替，使得傳輸量進(jìn)一步加大。2021年XU Zhao 等針對基本PTFT 系統(tǒng)提出一種深度學(xué)習(xí)攻擊算法［13］，通過以殘差網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)訓(xùn)練大量的明密文對使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合明文和密文之間的對應(yīng)關(guān)系，訓(xùn)練大量手寫數(shù)字圖像后攻破PTFT 加密系統(tǒng)，使密文圖像基本恢復(fù)。

綜上，PTFT 算法提出至今，雖然實現(xiàn)了非線性光學(xué)加密，但仍然存在抗攻擊性差的問題，特別是隨著深度學(xué)習(xí)算法的出現(xiàn)，使PTFT 系受到了更大的攻擊威脅。另外，PTFT 加密系統(tǒng)在信息傳輸時，除了傳輸一組密文信息外，還需傳輸兩組截取的振幅（相位）信息，信息的傳輸量增大三倍，傳輸效率大大降低，運(yùn)算時間復(fù)雜度高。

針對上述問題，本文設(shè)計的系統(tǒng)一方面在原來的PTFT 加密系統(tǒng)第一塊相位掩膜后又加了一塊特殊閾值設(shè)定的振幅掩膜，用部分振幅截斷后保留的相位角作為最終密文，破壞了迭代直接得到全部振幅的可能，使加密系統(tǒng)安全性得到了保證，且密文直方圖和相鄰相關(guān)性分布均勻。另一方面本文提出用壓縮感知［14-17］對明文圖像進(jìn)行預(yù)處理，運(yùn)用離散小波變換將圖像高低頻信息分離，將待加密圖像壓縮至明文圖像的1/4，且有效保留高頻信息，減小密文密鑰傳輸體積，縮小傳輸量節(jié)省加密時間。

1 壓縮加密原理

可加密系統(tǒng)由圖像壓縮和PTFT 非對稱加密兩部分構(gòu)成，如圖1。

圖1 PTFT 光學(xué)壓縮加密系統(tǒng)工作原理Fig.1 Working principle of PTFT optical compression encryption system

圖像壓縮部分先將明文圖像進(jìn)行離散小波變換，分為低頻系數(shù)和高頻系數(shù)，再將高頻部分用壓縮感知壓縮至原大小的1/3，并以相位形式融入低頻系數(shù)，構(gòu)造大小為明文圖像1/4 的待加密復(fù)數(shù)圖像。圖像高低頻的分離及高頻信息壓縮以相位形式共同構(gòu)造復(fù)圖像，不但可以更好地保存明文圖像有效信息，高質(zhì)量重構(gòu)圖像，而且有效減少圖像傳輸量，用時更少、效率更高。

本文PTFT 非對稱加密部分在基本PTFT 系統(tǒng)基礎(chǔ)上于第一塊相位模板后增加一塊振幅模板。復(fù)數(shù)圖像經(jīng)過相位-振幅模板雙重調(diào)制后經(jīng)過透鏡進(jìn)行一次傅里葉變換，取得部分振幅用作私鑰一，相位角作為中間值受到第二塊相位掩膜的調(diào)制后再進(jìn)行一次傅里葉逆變換，取得振幅用作私鑰二，相位角作為最終密文，有效抵抗兩步迭代傅里葉變換等多種算法攻擊，抗攻擊性好，灰度直方圖及相鄰像素相關(guān)性分布更均勻。

2 算法描述

本文加密系統(tǒng)工作流程如圖2。

圖2 基于壓縮感知的PTFT 系統(tǒng)加密流程Fig.2 Encryption flowchart of PTFT system based on compressed sensing

1）首先對明文圖像f(x，y)進(jìn)行離散小波變換，將圖像分為低頻系數(shù)fL(x，y)和高頻系數(shù)fH(x，y)，用壓縮感知將高頻系數(shù)壓縮為原來的1/3 并以相位形式融入低頻系數(shù)，構(gòu)造一個大小為明文圖像1/4 的待加密復(fù)圖像f'(x，y)，即

2）設(shè)(x，y)為空域坐標(biāo)系，(α，β)為頻域坐標(biāo)系，f'(x，y)經(jīng)相位模板M1(x，y)和振幅模板MA(x，y)的雙重調(diào)制，再進(jìn)行傅里葉變換后截取部分振幅D1用作私鑰給用戶保存，保留相位g(u，v)作為中間值進(jìn)一步調(diào)制。

式中，f'(x，y)為壓縮后的復(fù)數(shù)圖像，M1(x，y)=exp{j2πφ(x，y)}和M2(α，β)=exp{j2π?(α，β)}為兩個相位模板，PT{ }為截取振幅操作，PR{ }為相位保留操作，F(xiàn)T{ }表示傅里葉變換，MA(x，y)是根據(jù)M1(x，y)而產(chǎn)生的閾值thr再進(jìn)行賦值而得到的振幅模板，r設(shè)定為0.8。

3）g(u，v)經(jīng)相位模板M2(α，β)的調(diào)制，再進(jìn)行傅里葉逆變換，截取部分振幅D2為私鑰二保存，相位保留取其相位角為最終密文C(x，y)。

式中，IFT{ }表示逆傅里葉變換，arg{ }為取相位角操作。

解密流程和加密流程相反，解密流程如圖3。

圖3 基于壓縮感知的PTFT 系統(tǒng)解密流程Fig.3 Decryption flow of PTFT system based on compressed sensing

1）密文C(x，y)轉(zhuǎn)化為相位形式后和私鑰二D2相乘，經(jīng)傅里葉變換后與M2(α，β)的復(fù)共軛M2*(α，β)=exp{-j2π?(α，β)}相乘保留相位g(u，v)。

2）g(u，v)與私鑰一D1相乘后經(jīng)傅里葉逆變換，乘以MA(x，y)的逆振幅調(diào)制器MA*(x，y)和M1(x，y)的復(fù)共軛M1*(x，y)得到正確的復(fù)圖像f'(x，y)。

3）復(fù)圖像f'(x，y)提取振幅和相位，相位角除以2π 后作為高頻系數(shù)fH'(x，y)，振幅作為低頻系數(shù)fL(x，y)，高頻系數(shù)通過正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit Algorithm，OMP）［18-19］進(jìn)行重構(gòu)恢復(fù)初始的高頻系數(shù)fH(x，y)。

4）再將恢復(fù)的高頻系數(shù)fH(x，y)和拆分的低頻系數(shù)fL(x，y)進(jìn)行離散小波逆變換，得到明文圖像f(x，y)。

3 系統(tǒng)特性實驗

為驗證加密系統(tǒng)的可行性和安全性，選用不同種類的5 幅灰度圖像在Python3.7 和Pycharm 環(huán)境下進(jìn)行實驗，加解密效果如圖4。

圖4 加密系統(tǒng)的加解密圖像Fig.4 Encryption and decryption image of the encryption system

由圖4可見，無論是二值圖像、醫(yī)學(xué)圖像，還是對比度不同的其他灰度圖像，密文圖像大小均為明文圖像的1/4，且加密圖像完全掩蓋明文圖像的信息，解密圖像恢復(fù)質(zhì)量好。

3.1 統(tǒng)計特性分析

3.1.1 灰度直方圖

灰度直方圖反映圖像像素值統(tǒng)計特性，加密圖像直方圖應(yīng)盡量均勻與明文圖像直方圖分布差異較大。本文對明文圖像，截斷振幅用作密文圖像，及相位角用作密文圖像和解密圖像對比，如圖5所示。

圖5 灰度直方圖Fig.5 Grayscale histogram

由圖5可見，明文圖像和解密圖像的灰度值分布不均勻，呈現(xiàn)出明顯的分布規(guī)律，不管是振幅作為密文還是相位角作為密文直方圖都和明文直方圖差距明顯，本文提出相位角作為密文直方圖分布更均勻，更好隱藏明文圖像信息。

3.1.2 相鄰像素相關(guān)性

好的加密方法應(yīng)對相鄰像素相關(guān)性具有較強(qiáng)的破壞作用，相鄰像素相關(guān)性越低，相鄰像素相關(guān)圖越散，系統(tǒng)越安全。

圖6是水平方向相鄰像素相關(guān)性分布圖，可見明文圖像和解密圖像明顯相關(guān)性較強(qiáng)，提出的以相位角作為密文的分布比以振幅為密文的分布圖更散，相關(guān)性破壞地更徹底。

圖6 相鄰像素相關(guān)性分布Fig.6 Correlation distribution of adjacent pixels

表1中明文圖像的水平、垂直和對角的相鄰系數(shù)都接近于1，而本文提出的相位角作為密文的相關(guān)系數(shù)更接近于0，效果比振幅作為密文好。

表1 相關(guān)系數(shù)分析Table 1 Correlation coefficient analysis

3.2 壓縮重構(gòu)質(zhì)量對比分析

為測試本文壓縮后重構(gòu)質(zhì)量，與文獻(xiàn)［14］壓縮方式作對比，具體效果如圖7。

圖7 不同壓縮方式不同比例重構(gòu)圖像Fig.7 The reconstructed image with different compression methods and different scales

由圖7可見，壓縮相同比例，本文壓縮至明文圖像1/4 后重構(gòu)圖像比文獻(xiàn)［14］壓縮至明文圖像1/4 后重構(gòu)圖像質(zhì)量好很多，本文壓縮至1/4 甚至比文獻(xiàn)［14］壓縮至4/5 重構(gòu)質(zhì)量更好。

表2可見，本文壓縮至明文圖像的1/4 后重構(gòu)圖像與明文圖像的峰值信噪比（Peak Signal-to-noise Ratio，PSNR）比文獻(xiàn)［14］壓縮至明文圖像的4/5 后重構(gòu)圖像與明文圖像的PSNR 更高，說明本文壓縮方式圖像恢復(fù)質(zhì)量好。

表2 不同方式壓縮不同比例的峰值信噪比Table 2 Different methods of compressing different ratios of peak signal-to-noise ratio

3.3 加密時間及傳輸量對比分析

為測試本文系統(tǒng)加密時間與傳輸量，選取文獻(xiàn)［7，10，12］作對比，結(jié)果如表3。

由表3可見，本文加密系統(tǒng)耗時縮短了3～4 倍，壓縮加密使加密過程傳輸量大大減小，存儲空間縮小，運(yùn)算速度大幅提高。

表3 時間以及密鑰傳輸量對比分析Table 3 Comparative analysis of time and key transmission volume

4 抗攻擊實驗

4.1 抗兩步迭代傅里葉變換攻擊

傳統(tǒng)PTFT 非對稱加密系統(tǒng)不能抵御兩步迭代傅里葉變換的攻擊，當(dāng)?shù)螖?shù)為300 次時，加密圖像可破解。本文方法和傳統(tǒng)PTFT 加密方法抗兩步迭代傅里葉攻擊結(jié)果如圖8。

圖8 攻擊破解對比圖和均方誤差（MSE）對比圖Fig.8 Comparison diagram of attack cracking and Mean Square Error（MSE）comparison chart

圖8（a）為傳統(tǒng)PTFT 加密系統(tǒng)經(jīng)300 次迭代攻擊的破解結(jié)果，可分辨出明文“l(fā)ena”圖像，圖8（c）為本文增加振幅掩膜后的PTFT 加密系統(tǒng)，同樣經(jīng)過300 次迭代攻擊，無法得到原始圖像輪廓，說明本文算法可有效抵御兩步迭代傅里葉變換攻擊。圖8（b）和圖8（d）分別是為傳統(tǒng)PTFT 加密系統(tǒng)和本文加密系統(tǒng)迭代次數(shù)與MSE 值的關(guān)系曲線。圖8（b）MSE 值隨迭代次數(shù)的增加而趨向于平行，通過傅里葉變換的迭代運(yùn)算，逐步逼近私鑰信息的近似值，破解圖可以看出明文圖像“l(fā)ena”的輪廓，而圖8（d）在300 次迭代中MSE 曲線不收斂，獲取不到私鑰信息，破解圖完全看不出明文圖像的信息，本文PTFT 系統(tǒng)可有效抵抗兩步迭代傅里葉算法攻擊。

4.2 抗深度學(xué)習(xí)方法攻擊

文獻(xiàn)［13］提出了一種基于深度學(xué)習(xí)的PTFT 攻擊方法，用基于殘差網(wǎng)絡(luò)ResNet 的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練10 000張明密文對，網(wǎng)絡(luò)自動學(xué)習(xí)密文到明文的擬合過程，訓(xùn)練后用手寫數(shù)字圖像進(jìn)行測試，圖像基本恢復(fù)，表明可完全攻破傳統(tǒng)的PTFT 加密系統(tǒng)。此方法攻擊本文PTFT 系統(tǒng)，分別用10 000 張64×64 的二值圖像、醫(yī)學(xué)圖像和不同對比度灰度圖像進(jìn)行訓(xùn)練測試，結(jié)果如圖9。

圖9中，（a）～（d）為被攻擊明文圖像，（e）～（f）為密文圖像，（i）～（l）為各明文攻擊破解圖。（i）為傳統(tǒng)PTFT 系統(tǒng)經(jīng)深度學(xué)習(xí)攻擊破解后解密圖像，可見，解密圖像與明文圖像基本一致。（j）～（l）為本文PTFT 系統(tǒng)經(jīng)深度學(xué)習(xí)攻擊后解密圖像，可見，二值圖像、醫(yī)學(xué)圖像和灰度圖像經(jīng)深度學(xué)習(xí)方法攻擊后解密圖像與明文圖像相差甚大，解密圖像完全看不出明文圖像的信息，說明文獻(xiàn)［13］的深度學(xué)習(xí)的攻擊方法并不能攻破本文PTFT 加密系統(tǒng)。

圖9 攻擊破解圖Fig.9 Comparison diagram of attack cracking

4.3 抗噪聲攻擊

為測試本文加密系統(tǒng)的抗噪聲攻擊性能力，分別為密文添加不同強(qiáng)度的椒鹽噪聲和高斯噪聲，解密效果如圖10～11。

圖10四幅圖像分別是添加不同噪聲比例的椒鹽噪聲后的解密圖像，噪聲比例越大解密圖像越模糊，圖11四幅圖像分別是添加均值為0，不同方差的高斯噪聲后的解密圖像，方差越大，解密圖像越模糊，當(dāng)椒鹽噪聲比例為0.1 和高斯噪聲方差為0.3 時仍能分辨出明文圖像，可見本文加密系統(tǒng)抗噪聲攻擊高。

圖10 不同噪聲比例下椒鹽噪聲干擾的解密圖像Fig.10 Decrypted images of salt and pepper noise interference under different noise ratios

圖11 不同方差下高斯噪聲干擾的解密圖像Fig.11 Decrypted images with Gaussian noise interference under different variances

4.4 抗剪切攻擊

抗剪切攻擊也是衡量一個加密系統(tǒng)的抗攻擊性能高低的一個指標(biāo)，本文光學(xué)圖像加密系統(tǒng)進(jìn)行抗剪切攻擊能力測試，結(jié)果如圖12。

圖12 剪切不同尺寸的加密圖像和解密圖像Fig.12 Cut encrypted and decrypted images of different sizes

如圖12，圖（a）、（b）表明圖像不同位置任意剪切大小為1/16 或1/4，解密效果依舊好。圖（c）盡管剪切密文圖像的1/2，但還是能從解密圖像看出明文圖像“l(fā)ena”的輪廓，輸出圖像較好地保留了明文信息，本文的光學(xué)加密算法抗剪切攻擊能力高。

4.5 選擇明文攻擊

針對加密系統(tǒng)的攻擊主要有選擇明文攻擊、已知明文攻擊、選擇密文攻擊和唯密文攻擊。而選擇明文攻擊對加密系統(tǒng)最具有威脅性，若本文加密系統(tǒng)能抵抗此攻擊，那么完全可以抵抗另外三種攻擊。

圖13中P1為256×256 全0 的明文圖像，P2為只改變P1其中一個像素值的圖像，P3=|P1-P2|，C1和C2分別為P1和P2加密后的加密圖像，C3=|C1-C2|。從圖中可以看出C3完全獲取不到明文圖像的任何信息，可見本文提出的加密算法完全抵抗選擇明文攻擊。

圖13 選擇明文攻擊效果圖Fig.13 Selected plaintext attack effect diagram

5 結(jié)論

本文將壓縮感知與PTFT 非對稱加密相結(jié)合，用壓縮感知對明文圖像經(jīng)小波分離的高頻信息壓縮2/3，使其作為低頻信息的相位信息，最終將明文圖像壓縮至1/4，不僅縮短加密時間、減小密鑰傳輸量，且在相同重構(gòu)算法下重構(gòu)質(zhì)量提高5.2 dB。在原系統(tǒng)第一塊相位模板后增加一塊振幅模板，并保留相位信息作為中間傳輸信息且將相位角作為最終密文，將兩次截取的部分振幅作為兩組私鑰，有效提高系統(tǒng)對各種攻擊算法的抵抗能力，保障系統(tǒng)安全性。將相位信息作為密文，密文分布更加均勻，抗統(tǒng)計特性更好。