高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)

周金強

【摘 要】 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中重要的素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要注重對學(xué)生理論知識的傳授，還要強化學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的形成和發(fā)展.本文從數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵和意義出發(fā)，簡要論述了數(shù)學(xué)抽象的認知過程，以及基于核心素養(yǎng)大背景，提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的有效策略，旨在促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的養(yǎng)成，為學(xué)生核心素養(yǎng)和綜合能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);抽象能力

1 前言

核心素養(yǎng)的提出加快了教育改革的步伐，同時給高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新要求.數(shù)學(xué)抽象既是數(shù)學(xué)的基本思想，也是數(shù)學(xué)思維形成和發(fā)展的根本.因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力具有重要意義，需要教師根據(jù)數(shù)學(xué)抽象的認知過程，采取行之有效的策略，以促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)與發(fā)展.

2 數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵和意義

2.1 數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵

能力從心理學(xué)角度來說是對活動效果能夠產(chǎn)生影響的心理特征，可以說是一種滿足活動要求的本領(lǐng)，而數(shù)學(xué)能力則是可以相對容易且徹底的掌握數(shù)學(xué)知識、方法以及習慣的特殊心理特征.數(shù)學(xué)抽象能力作為數(shù)學(xué)能力中最主要的核心部分之一，是人腦在對具體實例進行觀察、分析、整合的過程中將探究對象的本質(zhì)屬性進行抽象化，并針對大量材料進行相應(yīng)概括得出結(jié)論，最終將其推廣和應(yīng)用于解決實際問題或做出論斷的過程.

2.2 培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力對數(shù)學(xué)學(xué)習的意義

高度抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科特點之一，正是由于數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容不易理解和應(yīng)用，學(xué)生極易對數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生抵觸情緒，這就要求學(xué)生具備相應(yīng)的抽象思維能力.在高中數(shù)學(xué)實際教學(xué)過程中，教師要運用行之有效的方法以提高學(xué)生的積極主動性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，靈活數(shù)學(xué)知識解決遇到的難題的能力，既從整體上促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習能力的提升，又有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 數(shù)學(xué)抽象的認知過程

數(shù)學(xué)的學(xué)習過程一般是經(jīng)由概念引入內(nèi)涵，系統(tǒng)性的獲得理論知識，然后形成自身技能，從而發(fā)展思維，最終理論與實踐相結(jié)合并靈活運用于實踐當中.數(shù)學(xué)抽象大致可分為三個階段：

第一，情境認識階段，認識階段是學(xué)習者對數(shù)學(xué)內(nèi)容中的概念和數(shù)學(xué)方法初步了解的階段.在高中數(shù)學(xué)實際教學(xué)中，為使學(xué)生加強對理論知識的認識，教師會將抽象的理論具象化，結(jié)合學(xué)生已有的理解能力和認知水平建立具體化的情境，情境認識階段就是由抽象到具象的過程.

第二，消化適應(yīng)階段，在課堂教學(xué)中，通過教師的講授或?qū)W生的自主閱讀，運用自己的方法經(jīng)驗對所學(xué)內(nèi)容進行消化理解，將新知識與已經(jīng)內(nèi)化的舊知識進行關(guān)聯(lián)性比較，將新知識的關(guān)鍵要素、應(yīng)用條件以及適用范圍進行解析，并在這一過程中將新知識進行抽象化處理，從而融入自己已有的知識體系當中.消化適應(yīng)階段，會使新舊知識有聯(lián)系、有沖突，同時也會觸發(fā)自己知識體系的盲區(qū)，這些有助于學(xué)生對新知識的理解，消化適應(yīng)階段指的是從具體轉(zhuǎn)為抽象的過程.

第三，轉(zhuǎn)化實踐階段數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標是為了利用數(shù)學(xué)能力解決實際問題.學(xué)生在實際生活中遇見問題首先應(yīng)將具體問題進行抽象化轉(zhuǎn)換，然后在已有認知的基礎(chǔ)上進行判斷，從自己知識框架中進行調(diào)配適合相關(guān)情境的知識內(nèi)容.在轉(zhuǎn)換應(yīng)用階段，要經(jīng)過具體到抽象，再由抽象到具體的過程，在抽象與具體的反復(fù)轉(zhuǎn)化中達到解決問題的目的.

4 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的有效策略

4.1 加強數(shù)學(xué)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是最能反映事物本質(zhì)的理論，也是對事物的高度抽象和概括.但是，在高中數(shù)學(xué)實際教學(xué)中，有些教師可能不太注重概念的教學(xué)，覺得概念是一段文字的論述，只做簡單的介紹而沒有花費時間重點剖析，這樣就會造成學(xué)生對概念的理解不透徹.因此，教師在教學(xué)中要加強對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生體驗對事物本質(zhì)經(jīng)過抽象概括從而提煉形成概念的，教師要設(shè)置有啟發(fā)性的問題以符合學(xué)生的現(xiàn)有水平和潛在發(fā)展能力，促使學(xué)生將新舊知識相互聯(lián)系，從而探索數(shù)學(xué)學(xué)習內(nèi)容的本質(zhì).

教師在概念教學(xué)時，可以提倡學(xué)生進行自主學(xué)習，讓學(xué)生經(jīng)過獨立思考對概念有初步的認識，或設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生思考或是通過小組合作的形式進行討論加強對概念的理解，教師還可以讓學(xué)生通過自己的語言來說明對概念理解的過程和結(jié)論.這種多元化的學(xué)習過程，能夠促進學(xué)生抽象概括能力的形成，從而達到事半功倍的教學(xué)效果.

4.2 搭建知識與知識之間的橋梁

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力要貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中.數(shù)學(xué)學(xué)科各個章節(jié)其實都存在著聯(lián)系，教師在教學(xué)時要挖掘各個章節(jié)知識點之間的聯(lián)系，將知識點之間的關(guān)系進行串聯(lián)以提高數(shù)學(xué)抽象能力.在這一過程中，教師還要側(cè)重于學(xué)生自主總結(jié)能力的養(yǎng)成，使學(xué)生在總結(jié)時尋找規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以達到鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的目的.

教師要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)規(guī)律進行挖掘和總結(jié)，并從中得出結(jié)論.

在三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)過程中，教材（蘇教版必修第一冊7.2.3）給出了六組誘導(dǎo)公式，以正弦為例分別是：

sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）（公式一）;

sin（-α）=-sinα（公式二）;

sin（π-α）=sinα（公式三）;

sin（π+α）=-sinα（公式四）;

sin（π2-α）=cosα（公式五）;

sin（π2+α）=cosα（公式六）;

教師在講解了這六組誘導(dǎo)公式以后，可以進一步引導(dǎo)學(xué)生歸納探究sin（kπ2±α）與sinα的關(guān)系，從六組誘導(dǎo)公式歸納抽象得到“奇變偶不變，符號看象限”的一般性結(jié)論，使學(xué)生能夠更好的理解、記憶和運用誘導(dǎo)公式.

4.3 在應(yīng)用中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力

廣泛應(yīng)用性是數(shù)學(xué)學(xué)科的又一特點，數(shù)學(xué)學(xué)科的實踐應(yīng)用可以有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力學(xué)生在實踐過程中，把新問題、新情境和自身已有的知識體系搭建關(guān)系，將實際的問題抽象為數(shù)學(xué)模型從而使新問題得以解決.為提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力，教師可以在開放性問題、數(shù)學(xué)建模和變式練習中來構(gòu)建相關(guān)應(yīng)用情境.

開放型問題：也就是具有探索和探究性的問題，這種類型的問題對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有很大的促進作用.教師設(shè)置相關(guān)開放型題目，學(xué)生通過對已知條件的觀察、探究、想象進行推理，并進行最后的驗證.寫出一個同時具有性質(zhì)對任意0<x1<x2， 都有f（x1）>f（x2）;f（1）=1的函數(shù)f（x）=?? . 這類問題需要學(xué)生抓住題目的抽象條件，具象出滿足條件的數(shù)學(xué)模型.所以，解決開放型問題能對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進行有效的訓(xùn)練，也是對學(xué)生抽象概括能力的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模：這里所說的數(shù)學(xué)建模與一般意義上的數(shù)學(xué)建模不同，一方面要對數(shù)學(xué)解題模型進行總結(jié)，建立同類型題目解答的典型模板.這需要學(xué)生針對足夠多的題目進行解決，然后在問題有效解決后總結(jié)出通用的方法步驟，并形成相應(yīng)題目解決的模型，在應(yīng)用這類模型中，要明確模式中的變量和不變量，明確哪些內(nèi)容是核心內(nèi)容.

另一方面，將學(xué)生在實際生活中遇到的問題抽象成數(shù)學(xué)建模，學(xué)生可以根據(jù)個人差異，選擇自己擅長或感興趣的內(nèi)容，結(jié)合自己所處的環(huán)境，選擇探究的對象進行問題的提煉、分析和解決.遇到具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程，也就數(shù)學(xué)抽象進行應(yīng)用實踐的過程.

學(xué)生在所建立的抽象模型下，運用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題時，可能涉及的不只數(shù)學(xué)學(xué)科的單個章節(jié)和知識點，運用多種個知識點同時來解決問題時，也是對學(xué)生抽象根據(jù)能力的鞏固，同時也可以促進學(xué)生創(chuàng)新和探究能力的發(fā)展.

變式練習：教師可以在學(xué)生已有認知的基礎(chǔ)上做變式訓(xùn)練，讓學(xué)生對知識內(nèi)容進行再認識、再思考，以鞏固提高學(xué)生的認知能力.在數(shù)學(xué)理論中，教師可以對概念的特征、內(nèi)涵或者對象加以改變，讓學(xué)生進行辨析，從而學(xué)生對數(shù)學(xué)理論知識的認識和理解;在習題中，教師可以轉(zhuǎn)換相關(guān)條件，讓學(xué)生在類似的情境下體會題意的主旨，以選擇適合的模型來解決問題.

教師還可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度和思路來認識問題，從而達到一題多解，也可以在多題一解中培養(yǎng)學(xué)生歸納和概括的能力.

例如 已知log0.5a<1，則實數(shù)a的取值范圍為_________.

本題還可作如下變式：

變式1已知log0.5a<1，則實數(shù)a的取值范圍為_________.

變式2已知log0.5a>1，則實數(shù)a的取值范圍為_________.

變式3已知log2a<1，則實數(shù)a的取值范圍為_________.

變式4已知loga0.5<1，則實數(shù)a的取值范圍為_________.

通過變式練習，學(xué)生的學(xué)習興趣得到激發(fā)，解題思維得到訓(xùn)練，解題能力得到提升.

4.4 強化學(xué)生抽象與具體的轉(zhuǎn)化能力

從抽象到具體，能夠使抽象物得到確認和鞏固，是在已有知識體系中建立與新的抽象物之間聯(lián)系的過程，這一過程，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.從具體到抽象，是對所學(xué)內(nèi)容的認識和深化的過程，是通過問題看到本質(zhì)的過程，是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力的過程.抽象與具體是相對的，每一個抽象物在思維訓(xùn)練之后，相對于新的抽象物變換成具體，可見，抽象和具體的相互轉(zhuǎn)化，是促進學(xué)生抽象能力進一步發(fā)展的重要手段，因此，教師要強化學(xué)生抽象與具體的轉(zhuǎn)化能力.

教師從具體到抽象時要基于具體但不能被具體所限，在具體中抽象進行本質(zhì)屬性的概括，促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng).同時，教師在知識內(nèi)容講解完畢后，需要從抽象到具體，使抽象物滲透進學(xué)生的知識體系，與學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)相互融合或滲透.

例如 已知f（x-2）=x2-3x+2，x∈R，求f（x）.

本題給出的是一個具體函數(shù)，但是我們需要了解本題實質(zhì)是已知復(fù)合函數(shù)及其內(nèi)函數(shù)解析式，求外函數(shù)的解析式，即已知y=f（g（x）），求y=f（x）.我們只有掌握了這種抽象復(fù)合函數(shù)求解析式的方法，才能在具體問題中應(yīng)用換元法或湊配法解決問題.

在對具體函數(shù)問題訓(xùn)練的過程中，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，學(xué)生在已有的知識結(jié)構(gòu)中能夠?qū)Τ橄蟮暮瘮?shù)概念進行同化，在抽象與具體的轉(zhuǎn)化過程中，既是對原有知識體系的鞏固，又是對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng).

5 結(jié)語

綜上所述，核心素養(yǎng)大背景，要將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)是一個長期的過程，教師要以學(xué)生數(shù)學(xué)抽象認知過程為依據(jù)，實施有效的策略對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力加以培養(yǎng)，以達到學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，為學(xué)生成為社會所需的綜合人才提供保障.

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