高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題三步曲

曹黎星

【摘 要】 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)才有的新內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn).因此在教學(xué)中教師要提升學(xué)生的數(shù)列解題能力，以促進(jìn)他們在數(shù)列上的邏輯推理和運(yùn)算能力.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);解題能力;邏輯推理

數(shù)列解題的規(guī)律首先要能理解概念與公式，其次就是要能運(yùn)用公式;在運(yùn)用的時候，能注重基礎(chǔ)能力的提升就可能了.運(yùn)用時的基礎(chǔ)能力，一是計算能力，二是分類討論能力，三是逐步推理的能力.

1 充分理解公式，運(yùn)用公式解題

數(shù)列這一章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要掌握的基本公式就是等差數(shù)列求和公式與等比數(shù)列求和公式.因此教師首先要讓學(xué)生理解公式，進(jìn)而再運(yùn)用公式.兩個常用的公式，一個是1+2+3+…+n=12n（n+1）;另外一個是12+22+…+n2=16n（n+1）×（2n+1），13+23+33+…+n3=[n（n+1）2]2.

例1 等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列.求{an}的公比q;求a1-a3=3，求Sn.學(xué)生依據(jù)題目的意思就能得出，a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）;再由 a1≠0，故2q2+q=0 又q≠0，進(jìn)而得出q=-12.對于第二問學(xué)生由已知可得a1-a1（-12）2=3，進(jìn)而 推出a1=4.從而Sn=4（1-（-12）n）1-（-12）=83（1-（-12）n） .解決這題的關(guān)鍵就是要先理解公式，再將公式化為數(shù)學(xué)素養(yǎng).教師可另設(shè)一題，進(jìn)一步提升他們運(yùn)用公式的能力.題目為，甲？厲 乙兩人分別從相距315m的兩處同時相向行走，甲第一分鐘走20m，以后每分鐘比前1分鐘多走2m;乙第一分鐘走30m，以后每分鐘比前1分鐘少走1m，問甲？厲 乙開始行走后，經(jīng)過幾分鐘相遇.對于這樣的題目，學(xué)生要能從“以后每分鐘比前1分鐘多走2m”、“以后每分鐘比前1分鐘少走1m”看出這是數(shù)列問題，進(jìn)而找尋相應(yīng)的公式.學(xué)生發(fā)現(xiàn)可利用等差數(shù)列求和公式分別表示出甲、乙走的路程，再由Sn+Tn≥315可得到關(guān)于n的不等式，最后結(jié)合n∈N進(jìn)而求得結(jié)果.有了這樣的分析之后，學(xué)生先是依據(jù)題目的表述，將相關(guān)的信息以數(shù)列的語言展現(xiàn)出來.他們設(shè)甲第n分鐘走的路程為an，則an是以20為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和Sn=20n+nn-12×2=n2+19n.接著教師指定班上的一個學(xué)生問，那么乙怎么設(shè)，學(xué)生想到設(shè)乙第n分鐘走的路程為bn，則bn是以30為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和Tn=30n-nn-12=-n22+612n.“從相距315m的兩處同時相向行走”得出，Sn+Tn=12n2+992n≥315，即n2+99n-630≥0;n≤-105或n≥6，又n∈N，所以經(jīng)過6分鐘他們相遇.

2 ?規(guī)范解題過程，關(guān)注計算步驟和轉(zhuǎn)化依據(jù)

規(guī)范解題過程就是讓學(xué)生的思考遵循一定的程序，關(guān)注計算步驟能讓學(xué)生在復(fù)核時更容易糾正問題，進(jìn)而提升反思能力;關(guān)注轉(zhuǎn)化依據(jù)就是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，進(jìn)而也促進(jìn)他們解題能力的發(fā)展.

例2 已知函數(shù)fn=n-1+n-2+n-3+…+n-20，其中n是自然數(shù).分別計算f1，f5，f20的值;當(dāng)n為何值時，fn取得最小值？最小值是多少.

對于第一問，教師可指導(dǎo)學(xué)生分別將n=1，n=5，n=20代入fn中即可得到結(jié)果;

n=1時，f1=0+1+2+…+19=20×0+192=190;

n=5時，f5=4+3+2+1+0+1+2+3+…+15=10+15×1+152=130;

n=20，f20=19+18+17+…+0=f1=190.對于第二問，學(xué)生需要分別在0≤n≤20和n>20兩種情況下整理得到fn，也就是說，學(xué)生要有具體的步驟，要有最大值、最小值形成的轉(zhuǎn)化依據(jù).教師引導(dǎo)他們結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)單調(diào)性可確定最小值..當(dāng)0≤n≤20且n∈N時，fn=n-1+n-2+…+2+1+0+1+2+…+20-n=n-1n-1+12+20-n1+20-n2=n2-21n+210=n-2122+3994，因?yàn)閚∈N，當(dāng)n=10或11時，fn取得最小值100.接著他們討論當(dāng)n>20且n∈N時的情況：fn=n-1+n-2+…+n-20=20n-20×1+202=20n-210≥20×21-210=210.所以當(dāng)n=10或11時，fn取得最小值100.同樣地，教師可設(shè)這題，已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.求an及Sn;令bn=1a2n-1 （n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.通過這題進(jìn)一步地提升學(xué)生規(guī)范解題的能力，提升計算能力、轉(zhuǎn)化問題的能力.

對于第一問，學(xué)生首先要規(guī)范化地將題目表述轉(zhuǎn)化，即，設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.其次要規(guī)范計算過程，他們由a3=7，a5+a7=26，進(jìn)而推得a1+2d=7，2a1+10d=26;解得a1=3，d=2;最終得，an=2n+1，Sn=n（n+2）.對于最后一問，他們要規(guī)范轉(zhuǎn)化，他們由第一問，轉(zhuǎn)化出這樣的式子：bn=14n（n+1）=141n-1n+1，接著他們用利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果.

3 ?逐步提升邏輯推理能力

在數(shù)列學(xué)習(xí)的過程中，教師需要進(jìn)一步地提升學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生從已知條件一步步地推理出結(jié)論的能力.推理能力是重要的數(shù)學(xué)能力，是高階思維的一種，教學(xué)中教師要強(qiáng)化學(xué)生這方面的能力，也提升他們的思維品質(zhì).

例3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+n2，數(shù)列bn滿足bn=1an，若bn，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差數(shù)列，則k的值不可能是4、6、8還是10？這題學(xué)生需要進(jìn)行這樣的推理，他們先是要利用an與Sn的關(guān)系，推理出an，進(jìn)而再推理出bn，然后根據(jù)bn，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差數(shù)列，展示出n與k的關(guān)系.具體地，一學(xué)生是這樣推理的，當(dāng)n=1時，a1=S1=22=1;當(dāng)n≥2an=Sn-Sn-1=n2+n2-n-12+n+12 ，故an=n（n∈N），bn=1an=1n（n∈N）.因?yàn)閎n，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差數(shù)列，所以2bn+2=bn+bn+k，即2n+2=1n+1n+k，所以k=4nn-2=4+8n-2，（k>2，k∈N）.學(xué)生的推理很嚴(yán)謹(jǐn)，他將n分成不同的情況，進(jìn)而得出n-2的取值為1，2，4，8，則對應(yīng)的k的值為12，8，6，5，所以他們推理出k的值不可能是4，10.

提升學(xué)生的推理能力就是將能力的發(fā)展放在重要的位置.強(qiáng)化計算能力就是讓學(xué)生不但知道為什么出發(fā)，還要知道為什么出發(fā)，即，從回到原點(diǎn)，提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]高考中關(guān)聯(lián)數(shù)表的數(shù)列問題的研究與創(chuàng)新[J]. 劉胡良，宋寶和.數(shù)學(xué)通報. 2019（11）

[2]2020年高考全國Ⅰ卷數(shù)列試題分析及備考建議[J]. 鄭勝文.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版）. 2020（17）