高一數(shù)學(xué)教材的學(xué)生改編陳題方法研究

洪冰虹

【摘 要】 十九大報告提倡要給學(xué)生提供有質(zhì)量的教育，數(shù)學(xué)教學(xué)如何引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)有質(zhì)量的自主學(xué)習(xí)？近幾年一線教師推行一系列學(xué)生改編數(shù)學(xué)陳題的變式教學(xué)活動，以期提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率.改編數(shù)學(xué)陳題旨在促進(jìn)學(xué)生自主思考，生成知識遷移與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率的提高.本文以人教版A版（2019）高一數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題為陳題，結(jié)合學(xué)生改編成果，探討引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行改編數(shù)學(xué)陳題的方法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);變式教學(xué);數(shù)學(xué)陳題

十九大報告指出，“努力讓每個孩子都能享有公平而有質(zhì)量的教育”.對于數(shù)學(xué)教育來說，何謂有質(zhì)量的教育？《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）強(qiáng)調(diào)：“教師需要引導(dǎo)學(xué)生積累發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的經(jīng)驗，養(yǎng)成獨立思考與合作交流的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).”簡而言之，數(shù)學(xué)教學(xué)中秉持教師為輔，學(xué)生為主的理念，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)效率，讓教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用碰撞出知識的火花，使教學(xué)效果最大化，進(jìn)而實現(xiàn)學(xué)生有質(zhì)量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).我國著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授曾提出：“數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從‘冰冷的美麗’中體驗‘火熱的思考’.”現(xiàn)代教學(xué)論亦指出教育的本質(zhì)是獲取而不是給予.那在平時的教學(xué)中，教師該如何引導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量？

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中，習(xí)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的核心工具之一.學(xué)生通過解題應(yīng)用鞏固知識，這是習(xí)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大價值.但習(xí)題的作用不應(yīng)止于此，作為教師的我們應(yīng)該去發(fā)掘習(xí)題的潛在價值，使習(xí)題的功能最大化，讓學(xué)生通過習(xí)題獲得更佳的學(xué)習(xí)效果.

學(xué)生解題，題從何而來？從課本來？從試卷來？解題人卻獨獨不是出題人.學(xué)生習(xí)慣以解題者自居，從解題者的立場思考.雖有所收獲，但對于大部分學(xué)生來說，解題過程未必是學(xué)生主動內(nèi)化的過程，稍不注意淪為解題機(jī)器，收效甚微.皮亞諾指出：“只有學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)的東西才能積極地被同化，從而產(chǎn)生深刻地理解.”改編數(shù)學(xué)陳題的目的就在于打破學(xué)生的思維定勢，以出題者的身份主動發(fā)現(xiàn)問題，主動思考知識的遷移聯(lián)結(jié)，從單一知識點輻射到相關(guān)知識點，化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí).

對于教師來說創(chuàng)編也有一定的難度，何況學(xué)生.故而筆者覺得可以先讓學(xué)生嘗試改編數(shù)學(xué)陳題，相當(dāng)于“半編題”.陳題是指學(xué)生在自己或他人的幫助下已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)習(xí)題，它的出處可以是課本、練習(xí)冊或者試卷.改編數(shù)學(xué)陳題是指高中生解決數(shù)學(xué)陳題后，結(jié)合自己以往學(xué)習(xí)積累的經(jīng)驗，以獨立或者合作的形式對陳題進(jìn)行數(shù)據(jù)、條件、設(shè)問或結(jié)構(gòu)等的改編，將陳題改編成新題.

改編數(shù)學(xué)陳題，對于高中生來說，雖然有難度但也能攻克，就需要學(xué)生墊墊腳尖努努力就能完成.而維果茨基也提出教師應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造“最近發(fā)展區(qū)”，不僅給予學(xué)生現(xiàn)階段水平能完成的學(xué)習(xí)任務(wù)，也要引導(dǎo)學(xué)生跨越“最近發(fā)展區(qū)”走在發(fā)展的前頭.

近幾年不少一線教師進(jìn)行學(xué)生改編數(shù)學(xué)陳題的嘗試，確信這一活動對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有促進(jìn)作用.金楊建老師說：“命制一道新題并不是憑空‘靈機(jī)一動’的原創(chuàng)，更多的是給予某些好題‘水到渠成’的改編.”王愛娣老師也同意：“學(xué)生學(xué)會改編課本中的題目，不僅可以使學(xué)生由解題人的角度變換為出題人的角度，提高駕馭題目的能力，而且這個過程中，通過運用知識，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).”可見，改編數(shù)學(xué)陳題對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一定的幫助.下面以人教版A版（2019）高中數(shù)學(xué)教科書的習(xí)題為陳題，結(jié)合學(xué)生改編數(shù)學(xué)陳題成果探討引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行改編數(shù)學(xué)陳題的方法，此處略去解題過程.

陳題1 已知|a|=2，|b|=1，且a-b與a+2b互相垂直，求證a⊥b.（必修二22頁練習(xí)2）

1 同構(gòu)改編

1.1 概念同義改編

教師進(jìn)行學(xué)生改編數(shù)學(xué)陳題活動時應(yīng)遵循由易到難的原則，明確活動的目的是為了促進(jìn)學(xué)生思考，自主生成知識的遷移與應(yīng)用，不宜一開始就設(shè)置過高的目標(biāo)，打擊學(xué)生的積極性.學(xué)生剛接觸改編，一切都很陌生，不知從何入手.此時可以引導(dǎo)學(xué)生從通俗易懂的角度入手--概念同義改編，讓學(xué)生把陳題中出現(xiàn)的概念換另一種形式描述，也就是改編該知識點的表達(dá)方式.這種形式的改編簡單易操作，也能促進(jìn)學(xué)生強(qiáng)化鞏固該知識點.以下就是學(xué)生對陳題1進(jìn)行概念同義改編的新題.

生1 已知|a|=2，|b|=1，-b與a+2b互相垂直，求a與b的夾角.

生2 已知|a|=2，|b|=1，-b與a+2b互相垂直，求a·b.

和陳題相比變化不大，只是改了設(shè)問的表述，變成一道熟悉的新題.對設(shè)問同義改編可以加深學(xué)生對知識點的印象，比如此處改編加深學(xué)生對向量垂直的相關(guān)概念與公式的掌握，特別在學(xué)完向量的坐標(biāo)運算后，大部分學(xué)生總習(xí)慣用坐標(biāo)判定向量垂直：a→⊥b→x1x2+y1y2=0，卻忽視了最初的通用通法，即a→⊥b→a→·b→=0.

1.2 數(shù)據(jù)等價改編

數(shù)據(jù)改編之于學(xué)生也是一個可操作性強(qiáng)的方法，但數(shù)據(jù)改編的方向不是單一的.進(jìn)行數(shù)據(jù)改編教師要提醒學(xué)生取值的合理性，結(jié)果是否符合實際.數(shù)據(jù)改編僅換數(shù)值，對陳題思路沒有多大變化，這是浮于表面的改編，只能強(qiáng)化鞏固知識點.若是數(shù)據(jù)改編引起陳題解題思路轉(zhuǎn)變，乃至知識點的拓展，那就是深度挖掘了.下面針對陳題1進(jìn)行數(shù)據(jù)等價改編，深度挖掘則放到后面再詳談.

生3 已知|a|=2|b|，-b與a+2b互相垂直，證明a⊥b.

學(xué)生在此處側(cè)重于改編數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式，與概念同義改編異曲同工.雖然思路不變，但能觀察數(shù)據(jù)得出此類結(jié)果，學(xué)生也是下了一番功夫.不同的學(xué)生有不同的數(shù)學(xué)造詣，作為教師，我們要因材施教，新課改也點明，讓每個學(xué)生在數(shù)學(xué)上有自己的發(fā)展.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，在改編數(shù)學(xué)陳題活動中可能大多淺嘗輒止，僅僅進(jìn)行更改數(shù)據(jù)等很小的改編，前后差別不大.雖然這是比較淺顯的改編，但學(xué)生能自主思考發(fā)現(xiàn)問題提出問題，比起被動做題這就是在進(jìn)步了.

1.3 互逆法

學(xué)生掌握了同義和數(shù)據(jù)改編后，教師可以開始在改編教學(xué)中融合逆向思維，實施逆命題改編.把條件和結(jié)論互換，這對學(xué)生來說是輕而易舉的事.雖然容易，但能在一定程度上能轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維定勢，提高學(xué)生處理數(shù)學(xué)問題的靈活性，而不是一條路走到黑.以下是學(xué)生用互逆法改編陳題1得出的：

生4 ?已知|a|=2，|b|=1，向量a與b的夾角為π2，求

（a-b）·（a-2b）.

條件和設(shè)問互逆，題目的知識點沒有變化，但對于學(xué)生的刺激未必不大.學(xué)生在平時的解題過程中思維容易定勢，同一個知識點，用逆向思維的角度考察，反而懵了.如能引導(dǎo)學(xué)生打破慣性思維多進(jìn)行逆向改編，也不失為是對學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的初步鍛煉.雖然互逆法簡單易操作，但教師也要提醒學(xué)生注意逆命題是否為真.

1.4 新瓶裝舊酒

學(xué)生掌握基本的改編方法后，教師可以鼓勵學(xué)生做更多的嘗試--重塑題目，用不同的角度來考察同一個知識點，獲得似曾相識的新題，比如下面由陳題1改編而來的：

生5 已知|a|=2，|b|=1，向量a與b的夾角為45°，且ka-b與a+2b互相垂直，求k？

生6 ?已知|a|=3，|b|=4，向量a+34b與a-34b

的夾角為？

題目和前面的幾類新題相比變化較大，但本質(zhì)上考察的知識點還是圍繞向量的數(shù)量積和運算展開，只是解題思路發(fā)生了變化了.前面的幾種改編改的僅僅是題目的呈現(xiàn)形式，不觸及題目中心-解題思路.此處知識點沒變，換的是知識的切入點.學(xué)生對經(jīng)常遇到的模式敏感，若遇到罕見的考察方向，比如生6這道題，可能一開始也會無從下手.借助改編，幫助學(xué)生加深理解數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化和知識點的考察，提高學(xué)生審題能力，促進(jìn)學(xué)生主動消化知識點的同構(gòu)異現(xiàn).

2 異構(gòu)改編

2.1 重組整合

同構(gòu)改編，基本上在陳題的知識圈里徘徊，學(xué)生上手了，教師就該提高要求，引導(dǎo)學(xué)生跳出原有的“知識圈”，以陳題的知識點為中心向外觸碰 “細(xì)枝末節(jié)”，進(jìn)行相關(guān)知識點改編，促進(jìn)學(xué)生對該知識的遷移應(yīng)用.

生7 已知|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角為π6，求|a-2b|：

生8 已知a=（2，5），b=（1，t），且b在a方向上的投影為2+153，求t：

這幾道改編新題和陳題1關(guān)系不大，屬于相關(guān)知識點改編：向量的模、投影和坐標(biāo)運算.重組整合在一定程度上能促進(jìn)學(xué)生加快熟悉知識板塊的脈絡(luò)，完善知識體系.平時復(fù)習(xí)課的模式大多是學(xué)生做題教師講題，學(xué)生處于相對被動的學(xué)習(xí)狀態(tài).加入改編元素的復(fù)習(xí)課，迫使學(xué)生主動梳理、應(yīng)用和聯(lián)結(jié)知識點.一道改編新題，輻射到其他知識點，收獲知識之間的聯(lián)結(jié)應(yīng)用，那是學(xué)生做幾道習(xí)題才能有的收獲，從一定程度上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，保證學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量.

2.2 深度挖掘

知識點的改編可以是橫向知識點的拓展，比如重組整合將向量的數(shù)量積拓展到向量的模、投影和坐標(biāo)運算等相關(guān)知識點，由知識點的A面輻射到知識點的B、C面.改編也可以縱向，向知識點深挖進(jìn)行探究，從知識點A深究到知識點A1、A2 ……，比如下面的改編：

陳題2 ?求-x2+2x-3>0的解集（必修一52頁例3）.

改編1 ?求x2-（1-a）x+a>0的解集.

改編2 求1+a-2x-3x2>0的解集.

改編3 求ax2-2x+a>0的解集.

這幾道針對陳題2的改編重在系數(shù)的修改，也就是前面說的數(shù)據(jù)改編帶來知識點的深度挖掘.由常規(guī)一元二次不等式遷移到含參數(shù)不等式，層層遞進(jìn).進(jìn)行縱向深度的改編，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力有一定的要求，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，我們不做過多的要求;但是有能力的學(xué)生，我們教師還是應(yīng)該鼓勵他們克服懶惰情緒，敢于挑戰(zhàn)嘗試.幫助他們走出學(xué)習(xí)的“舒適圈”，跨過“最近發(fā)展區(qū)”，走在發(fā)展前端.

改編數(shù)學(xué)陳題的方法很多，此處未能一一闡述，僅講述幾種平時學(xué)生常用的方法，其中以數(shù)據(jù)、條件和設(shè)問的改編最為常見和高效.教師若能發(fā)掘更多適合學(xué)生的改編方法，指導(dǎo)學(xué)生有效改編數(shù)學(xué)陳題，讓學(xué)生轉(zhuǎn)化角色：以出題人的角度分析題目，找出隱含的數(shù)學(xué)信息，對題型做深度的思考，促進(jìn)知識點聯(lián)結(jié)和遷移.如此將能使學(xué)生適應(yīng)多變的習(xí)題，提高學(xué)生駕馭題目的能力和解題效率，獲得抽象，運算等多方面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，實現(xiàn)學(xué)生有質(zhì)量的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

【本文受汕頭市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃項目（2021GHB031）資助】

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