夯實(shí)基礎(chǔ)重規(guī)范拓展思維應(yīng)變化

孟憲良

【摘 要】 縱觀近兩年高考，試卷命題整體以全國(guó)教育大會(huì)精神為指引，全面貫徹落實(shí)“五育并舉”的教育方針，突出學(xué)科核心素養(yǎng)，著重考查考生的閱讀能力、思維能力以及綜合運(yùn)用能力.本文以近兩年高考天津卷中的數(shù)列題型為例，提出幾點(diǎn)教學(xué)思考.

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng);立德樹人;課程評(píng)價(jià)

1 2021年天津卷整體結(jié)構(gòu)分析

試卷秉承“穩(wěn)中有新，穩(wěn)中有變”的命題原則，在知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、難度結(jié)構(gòu)上完整統(tǒng)一，考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力，以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，將知識(shí)、能力、素養(yǎng)融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

第1題集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，第2題充分必要條件，這兩道題注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).第3題考查圖象辨析，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)的基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢(shì).

第4題統(tǒng)計(jì)中頻率分布直方圖，以大家熟悉的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推送影視作品為選材，以實(shí)際生活為背景，需要學(xué)生能從具體生活實(shí)際中抽象出數(shù)學(xué)模型，從統(tǒng)計(jì)圖表中發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵信息，處理生活中的概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題.第5題比較大小，借助指對(duì)函數(shù)圖像及指對(duì)函數(shù)性質(zhì)，題型穩(wěn)定，變化不大.第6題球的接切問(wèn)題，注重學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).第7題為一道指對(duì)運(yùn)算的題目.第8題為圓錐曲線的考查，雙曲線與拋物線的結(jié)合.第9題是以函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題為背景，考查學(xué)生分析函數(shù)的方法，強(qiáng)調(diào)從代數(shù)化簡(jiǎn)推導(dǎo)到幾何作圖，充分考查了考生的數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化化歸思想，考驗(yàn)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合能力.

填空第10題和11題仍然是復(fù)數(shù)與二項(xiàng)式定理的考查，旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).第12題是直線與圓的考查，注重幾何與代數(shù)結(jié)合的考查，難度適中.第13題基本不等式的考查，注重學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用和綜合分析能力的考查.第14題作為概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查.第15題是平面向量知識(shí)的考查，同樣是采用了雙空的形式，面向全體學(xué)生.

解答題第16題是利用正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基礎(chǔ)性應(yīng)用.第17題立體幾何知識(shí)的考查.第18題圓錐曲線橢圓解答題的考查，本題意在考查學(xué)生題目的綜合分析能力以及計(jì)算能力，從提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā).第19題數(shù)列，第一問(wèn)還是等差等比數(shù)列的基本量運(yùn)算;第二問(wèn)為數(shù)列求和問(wèn)題;在第三問(wèn)加大了難度，尤其是放縮方法的結(jié)合，求和時(shí)需要先放縮去除根號(hào)，才能用錯(cuò)位相減法求和，提高了數(shù)列題型的技巧性.第20題，作為試卷的最后一題，綜合了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)，既有對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)方法的考查，又有對(duì)導(dǎo)數(shù)與不等式綜合能力的考查.

2 夯實(shí)基礎(chǔ)，注重解題規(guī)范

例如 2020年、2021年天津卷的數(shù)列題，我們要注重解題規(guī)范，首先獲得基礎(chǔ)分值.例如第一問(wèn)：求an和bn的通項(xiàng)公式，屬于對(duì)學(xué)生基本公式和基礎(chǔ)能力的考查.

2020年19題 已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b1=1，a5=5a4-a3，b5=4b4-b3.

（Ⅰ）求an和bn的通項(xiàng)公式;

（Ⅱ）記an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：SnSn+2<S2n+1n∈N*;

（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)n，

設(shè)cn=3an-2bnanan+2，n為奇數(shù)，an-1bn+1，n為偶數(shù).

求數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和.

思路分析 （Ⅰ）由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論首先求得數(shù)列an前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可;

（Ⅲ）分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算∑nk=1c2k-1和∑nk=1c2k的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和即可.

詳解過(guò)程 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.

由a1=1，a5=5a4-a3，可得d=1.

從而an的通項(xiàng)公式為an=n.

由b1=1，b5=4b4-b3，

又q≠0，可得q2-4q+4=0，解得q=2，

從而bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得Sn=n（n+1）2，

故SnSn+2=14n（n+1）（n+2）（n+3），S2n+1=14n+12n+22，

從而SnSn+2-S2n+1=-12（n+1）（n+2）<0，

所以SnSn+2<S2n+1.

（Ⅲ）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，cn=3an-2bnanan+2=（3n-2）2n-1n（n+2）=2n+1n+2-2n-1n，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cn=an-1bn+1=n-12n，

對(duì)任意的正整數(shù)n，有

∑nk=1c2k-1=∑nk=122k2k+1-22k-22k-1=22n2n+1-1，

和∑nk=1c2k=∑nk=12k-14k=14+342+543+…+2n-34n-1+2n-14n ，①

由①得14∑nk=1c2k=142+343+544+…+2n-34n+2n-14n+1，②

由①②得34∑nk=1c2k=14+242+…+24n-2n-14n+1=241-14n1-14-14-2n-14n+1，

由于241-14n1-14-14-2n-14n+1=23-23×14n-14-2n-14n×14=512-6n+53×4n+1，

從而得：∑nk=1c2k=59-6n+59×4n.

因此，∑2nk=1ck=∑nk=1c2k-1+∑nk=1c2k=4n2n+1-6n+59×4n-49.

所以，數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和為4n2n+1-6n+59×4n-49.

命題意圖 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬于中等題.

命題方向 這類試題在考查題型上主要以解答題的形式出現(xiàn).多為中檔題，數(shù)列是歷年高考的熱點(diǎn)，主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.

方法總結(jié) 高考命制綜合題時(shí)，常將等差、等比數(shù)列結(jié)合在一起，形成兩者之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，破解這類問(wèn)題的方法是首先尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)之間的對(duì)偶與變式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

常見(jiàn)錯(cuò)誤解法及教學(xué)建議

第1問(wèn)常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：

錯(cuò)誤解法1 在第一問(wèn)中，出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.

錯(cuò)解 a5=5（a4-a3）

a1+4d=5（a1+3d-a1+2d），（此時(shí)的符號(hào)運(yùn)算已經(jīng)出現(xiàn)錯(cuò)誤）

21d=1，所以d=121.

錯(cuò)誤解法2：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的記憶錯(cuò)誤，很多學(xué)生把通項(xiàng)公式記成：bn=b1qn

從而，得到bn=2n的錯(cuò)解.

教學(xué)建議 注意基本公式的準(zhǔn)確性.

第2問(wèn)常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：

錯(cuò)誤解法1 等差數(shù)列前n項(xiàng)公式錯(cuò)誤

例如 錯(cuò)誤公式1：Sn=na1+n（n+1）2d

錯(cuò)誤公式2：Sn=n（an-a1）2=n（n-1）2

錯(cuò)誤解法2 證明方法隨意、不規(guī)范，對(duì)于作差、作商、分析法，沒(méi)有規(guī)范的書寫格式.

錯(cuò)誤解法3 把a(bǔ)n的前n項(xiàng)和為Sn誤當(dāng)做bn前n項(xiàng)和計(jì)算，

即Sn=1-2n1-2=2n-1，

在此時(shí)的情況下，Sn+1=2n+1-1;

Sn+2=2n+2-1，

SnSn+2=（2n-1）（2n+2-1）=22n+2-2n+2-2n+1，

S2n+1=（2n+1-1）2=22n+2-2n+2+1.

利用作差等方法比較大小.

教學(xué)建議 注意解題方法的規(guī)范性.

第3問(wèn)常見(jiàn)錯(cuò)誤解法：

錯(cuò)誤解法1 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，裂項(xiàng)形式錯(cuò)誤

高頻錯(cuò)誤方式有：

（1）3n-2·2n-1nn+2=（3n-2）·2n-2·（1n-1n+2）;

（2）3n-2·2n-1nn+2=（2n+2n+2-2nn）.

錯(cuò)誤解法2 不清楚前2n項(xiàng)最后一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)是哪一個(gè).

2021年19題

已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.{bn}是公比大于0的等比數(shù)列，b1=4，b3-b2=48.

（Ⅰ）求an和bn的通項(xiàng)公式;

（Ⅱ）記cn=b2n+1bn，n∈N.

（i）證明cn2-c2n是等比數(shù)列;

（ii）證明∑nk=1akak+1ck2-c2k<22（n∈N）.

詳解過(guò)程

（Ⅰ）解：記等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，由題意知d=2，S8=64，

代入公式Sn=na1+n（n-1）2d，解得a1=1，所以an的通項(xiàng)公式為an=2n-1.

設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，由b1=4，b3-b2=48，可得q2-q=12，又q>0，

解得q=4，所以bn的通項(xiàng)公式為bn=4n.

（Ⅱ）（i）證明：由（Ⅰ）可得cn2=（b2n+1bn）2=（42n+14n）2=44n+142n+2×4n，

cn2-c2n=44n+142n+2×4n-（44n+142n）=2×4n，

因?yàn)閷?duì)任意n∈N，有c2n+1-c2（n+1）cn2-c2n=2×4n+12×4n=4，所以cn2-c2n是等比數(shù)列.

（ii）證明：由（Ⅰ）和（Ⅱ）（i），有

akak+1ck2-c2k=（2k-1）（2k+1）2×4k=4k2-12×4k<4k22×4k=2·k2k，

則∑nk=1akak+1ck2-c2k<2∑nk=1k2k.

記Tn=∑nk=1k2k，即

Tn=12+222+323+…+n2n.?? （1）

由（1）得12Tn=122+223+…+n-12n+n2n+1. ??（2）

由（1）（2）得12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=12（1-12n）1-12-n2n+1，從而得

Tn=2-n+22n<2.

所以，∑nk=1akak+1ck2-c2k<2Tn<22（n∈N）.

3 拓展數(shù)學(xué)思維，應(yīng)對(duì)題型變化

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).在高考復(fù)習(xí)的過(guò)程，始終要堅(jiān)持思維有邏輯，知識(shí)常梳理，賦予學(xué)生獨(dú)立探索的過(guò)程，體會(huì)高考題中的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)“高考經(jīng)驗(yàn)”的形成，從而提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提高課堂復(fù)習(xí)效率，從容面對(duì)題型變化，獲得更加優(yōu)異的成績(jī).

參考文獻(xiàn)：

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