基于深度學習的高中數(shù)學建模教學實踐與思考

摘要：《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》指出，當今教育背景下，高中教師要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)“知識主導”的教學架構(gòu)，明確數(shù)學建模能力對學生思維、素養(yǎng)提升的重要意義。深度學習理念作為新課標的內(nèi)在要求，不僅要求教師重新審視教學與育人工作的關(guān)系，還應(yīng)秉持“以生為本”的教育方針，深度解讀教學內(nèi)容、課程標準，將數(shù)學建模能力作為學生核心素養(yǎng)提升的關(guān)鍵?；诖耍恼铝⒆闵疃葘W習理念，分析數(shù)學建模能力內(nèi)涵及應(yīng)用價值，并從內(nèi)容、方式等層面給予滲透，提升課堂深度與廣度的同時，強化學生知識運用能力，以此推動我國高中數(shù)學教育事業(yè)的蓬勃發(fā)展。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;深度學習;數(shù)學建模;應(yīng)用價值;融合策略

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1673-8918（2022）24-0086-04

一、 引言

隨著高中新課標的實施，數(shù)學建模在高中課程設(shè)置中的要求的逐漸加強，數(shù)學建模素養(yǎng)作為數(shù)學六大素養(yǎng)的重要組成部分，它是基于數(shù)學學科的知識技能而形成的重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。如何更好地在高中實施數(shù)學建模，是當下教師教學工作開展的重要課題。為此，一線教師紛紛展開探索，從其內(nèi)容、原則、教學方式等層面進行解讀。然而，在實際教學過程中，由于教學內(nèi)容、教師能力等因素的限制，使得成效難以達到預(yù)期，加之數(shù)學知識的抽象性與復(fù)雜性，導致教學方案缺乏趣味性與針對性，學生難以明確其本質(zhì)。深度學習作為當下重要的教育理念，其體現(xiàn)在學生自主思考、自我反思兩個基本環(huán)節(jié)，將其融入數(shù)學建模教學中，能夠很好地彌補傳統(tǒng)教學存在的短板，促進學生能力、素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展。對此，文章將從以下幾個方面進行闡述。

二、 深度學習概念

深度學習源于人工智能，起初是對機器學習樣本數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律和表示層次的綜合概括。隨著技術(shù)、手段的日漸成熟，使得深度學習開始向各個領(lǐng)域滲透。教育界中，許多學者發(fā)現(xiàn)了深度學習的邏輯關(guān)系與教學工作的出發(fā)點、落腳點存在一定聯(lián)系，并開始探索其與教育工作的契合點。大多數(shù)學者認為，深度學習的主要作用對象為學生，重在引導學生結(jié)合已學知識構(gòu)建特定的思維框架，通過這種方式也能使學生將各個知識點按照某一線索串聯(lián)起來，在此基礎(chǔ)上也能使自身的思維由淺層向深層過渡。從本質(zhì)上看，深度學習重在引導學生深度挖掘知識的形成過程，在此基礎(chǔ)上深化對學科概念、知識的理解，進而形成完整的知識框架，促進學生綜合學習能力提升。同時，深度學習還注重鼓勵學生主動構(gòu)建知識網(wǎng)，同時還要促進自身價值觀的形成，激發(fā)學生攻克難關(guān)的決心，進而向高階思維邁進?？傊?，深度學習是一個接收、反思、批判的過程，學生既要做到“學”與“知”，又要明確學習的本質(zhì)及目的，以此進一步完善自身知識建構(gòu)，建立良好的知識互通關(guān)系。

三、 高中數(shù)學深度學習特征

（一）注重思維傳遞

深度學習在各個教學環(huán)節(jié)中均有所體現(xiàn)，不僅能培養(yǎng)學生良好的自主思考、自主探究能力，而且能喚醒他們的學習熱情，使其主動參與到學習活動中。同時，深度學習能夠促進學生個體間思維的交互與傳遞，彌補傳統(tǒng)學習模式存在的短板，提高學習成效。

（二）鼓勵深度參與

高中階段數(shù)學知識內(nèi)容繁多、邏輯性強，對學生思維、認知等方面的提升有著十分重要的現(xiàn)實意義。在實際教學中，教師不僅要注重知識的簡化，而且也要貫徹素質(zhì)教育的基本要求，從多個角度進行有效切入，確保學生能夠通過深度學習整合教學知識。同時，當學生遇到困難時，教師要扮演好“領(lǐng)路人”這一角色，通過情境、問題的追問，鼓勵學生深度參與，提高課堂主體地位的同時，促進核心素養(yǎng)的培育與形成。

（三）主張知識建構(gòu)

當下高中學生面臨高考的壓力，學業(yè)任務(wù)繁忙，多數(shù)學生難以抽出時間思考、理解知識背后的核心思想。為此，為了促進學生能力、思維的全面發(fā)展，教師必須轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)“知識主導”的教學架構(gòu)，注重數(shù)學思維的培養(yǎng)，并通過實際案例、教學情境的引導，提高他們知識獲取、知識運用的基本能力，以此最大限度地發(fā)揮深度學習的優(yōu)勢。

四、 數(shù)學建模的含義與價值

（一）數(shù)學建模的含義

數(shù)學源于生活，用于生活，在對問題進行分析、思考的過程中，就是數(shù)學模型構(gòu)建的過程。從古希臘“地心說”與“日心說”之爭到如今的人工智能，數(shù)學建模都發(fā)揮了十分重要的角色地位。一些數(shù)學家認為，數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學的語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題。它是處理各種實際問題的一般方法。

（二）數(shù)學建模的價值

建模重在提高學生對知識的歸納整理能力，高中數(shù)學教學中，通過引導學生建模能夠使學生將瑣碎的知識串聯(lián)起來，同時也能有效串聯(lián)學生碎片化的學習時間，使學生把握學習主旨，在此基礎(chǔ)上開展高效的學習活動。同時，通過建模，能夠提升學生用數(shù)學語言表達生活中的數(shù)學的愿望，也能使學生置身于實際的生活情境中，在生活中發(fā)現(xiàn)并解決問題，拉近數(shù)學與生活之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學，進而提高自身的實踐能力。同時，學生也要善于尋找模型中的多個相關(guān)關(guān)系，并發(fā)揮模型的知識整合作用，逐步攻克數(shù)學學習中的難題。

（三）數(shù)學建模素養(yǎng)的含義

數(shù)學建模素養(yǎng)能夠間接體現(xiàn)學生的數(shù)學思維，通過這一素養(yǎng)的提升，學生能夠更好地理解抽象的數(shù)學知識，進而了解數(shù)學符號的妙用。學生結(jié)合相關(guān)內(nèi)容搭建相應(yīng)的數(shù)學框架也能從一定程度上簡化數(shù)學問題，從未知到已知，逐步挖掘題目中的隱含信息，將復(fù)雜的知識簡單化，通過這種方式也能強化自身的知識應(yīng)用能力。此外，數(shù)學建模素養(yǎng)聚焦學生四項關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，第一種能力為問題轉(zhuǎn)化能力，第二種能力為知識應(yīng)用能力，第三種能力為創(chuàng)新能力，第四種能力為合作能力。

（四）數(shù)學建模素養(yǎng)的特征

數(shù)學建模素養(yǎng)具有引導性，能夠引導學生深入思考學習內(nèi)容，進而獲得良好的學習體驗。同時，該素養(yǎng)還具有探究性，注重引導學生探究知識的關(guān)聯(lián)點，從實際問題入手，探討解決問題的對策，同時也強調(diào)學生要運用數(shù)學語言、數(shù)學思維解決實際問題。

五、 當下教學中數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)情況

采用“板書+習題+測驗”的方式進行授課，枯燥乏味的教學氛圍阻礙了學生學習興趣的養(yǎng)成，對數(shù)學建模的認知流于表面，難以運用到實際中。同時，學業(yè)的繁重，使學生難以抽出時間進行建模研究，進而導致學生數(shù)學建模能力薄弱。對此，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)尤為必要。

六、 基于深度學習的高中數(shù)學建模教學策略

（一）在建模活動中培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)

為進一步培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)，教師要注重教學方式的轉(zhuǎn)變，全面解讀教材內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)有效情境進行建?；顒咏虒W，引導學生深度學習。

以“必修一中的數(shù)學建模專題：茶水最佳飲用問題”為例，針對問題特點，教師可圍繞“家鄉(xiāng)茶文化”進行情境創(chuàng)設(shè)，為學生介紹茶葉的六個類型，同時讓學生思考“泡好一杯茶，等多久喝口感最好？”。隨后，教師可從室內(nèi)溫度、茶葉沖泡溫度等方面設(shè)置不同導學問題，并根據(jù)牛頓冷卻模型，設(shè)置思考任務(wù)，鼓勵學生設(shè)計相應(yīng)的實驗方案與流程，并通過模型建立與分析，完成實驗報告。這樣一來，在問題的引導下，學生既掌握了問題發(fā)現(xiàn)、問題分析的基本能力，又熟悉了數(shù)學建模的一般步驟，促進了數(shù)學建模核心素養(yǎng)的培育。

（二）優(yōu)化課堂教學過程，提升數(shù)學建模素養(yǎng)

1. 在新課講授環(huán)節(jié)中滲透建模思想

數(shù)學概念、定理、公式是學習的基礎(chǔ)，但由于這些內(nèi)容的枯燥乏味，多數(shù)學生難以快速融入課堂學習中。為此，教師可針對不同教學內(nèi)容，通過情境、問題的雙重引導，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，幫助學生更好地理解概念、定理、公式的內(nèi)涵，滲透數(shù)學建模思想。

以“幾何概型”為例，開展教學前，教師可結(jié)合已學的古典概型的相關(guān)知識，通過對其特點的總結(jié)，明確其與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系。在講解過程中，教師可引入截竹竿（準備一根長度固定的竹竿，隨機截取，試求截出的兩段長度不小于竹竿長度1/3的概率）;取水（已知容量為1升的水杯中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取0.1升的水，求小杯水中含有這個細菌的概率）等問題，并通過動畫演示，輔助學生思考，培養(yǎng)其從特殊到一般的認知方法，進一步感受數(shù)學建模思想的應(yīng)用。

2. 在習題講授環(huán)節(jié)中滲透建模思想

深度學習視角下，習題講授既是促進學生知識深化、能力提升的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是培育數(shù)學建模素養(yǎng)的搖籃。在實際教學中，教師要精選典型例題，提高學生數(shù)學建模能力。

對此，教師可引入2021年新高考Ⅰ卷的16題：某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙張的某條對稱軸把紙對折。規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次一共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次一共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推。則對折4次一共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2。

引導學生：（1）找出重要變量及其關(guān)系：長方形的長與寬，面積=長×寬;

（2）將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題：

設(shè)長方形紙的規(guī)格xdm，ydm對應(yīng)點（xn，yn），其中x0=20，y0=12。

起始狀態(tài)，P（20，12）;對折1次，P1（10，12），P1（20，6）;對折2次，P2（5，12），P2（10，6），P2（20，3）;對折3次，P3（2.5，12），P3（5，6），P3（10，3），P3（20，1.5）。

（3）問題情境模型化：每對折一次，可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)比上一類多一種;設(shè)對折k次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為ak，它們的面積之和為Sk，則得到數(shù)列{ak}與{Sk}。

（4）解決問題并加以抽象概括：ak+1=ak+1，{ak}是公差為1的等差數(shù)列，因為a0=1，所以ak=k+1，繼而利用數(shù)列知識求出∑nk=1Sk=2403-n+32n。

這樣，學生通過例題學習，經(jīng)歷了“實際問題通過直觀想象、數(shù)學抽象找出變量，應(yīng)用數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再經(jīng)過數(shù)學運算、邏輯推理求解問題”的過程，讓學生深入思考問題的本質(zhì)，并在逐步探究過程中提升數(shù)學建模能力。

3. 在綜合復(fù)習環(huán)節(jié)中滲透建模思想

綜合復(fù)習環(huán)節(jié)是學生知識深化、能力提升的重要階段，教師不僅要對學生整體知識框架進行梳理，而且還要做到查缺補漏，以此保證學生學習效率。

為此，針對復(fù)習課的特點，教師可設(shè)計以下例題：

小張想用一筆錢投資，現(xiàn)有以下三種方案，

方案一：每天回報20元;

方案二：第一天回報5元，以后每天比前一天多回報5元;

方案三：第一天回報0.4元，以后每一天的回報比前一天翻一倍。

試問，哪種方案利益更大？

講解過程中，教師要注重問題、情境的引導，鼓勵學生利用已學的函數(shù)知識進行思考。比如有的學生假設(shè)第x天所得回報是y元，整理出三個方案對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系：

方案一：y=20（x∈N）;

方案二：y=5x（x∈N）;

方案三：y=0.4×2x-1（x∈N）。

教師可借助互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，將學生的函數(shù)圖像具象化，輔助學生進行模型分析，如下圖。

通過圖像的觀察與數(shù)據(jù)的計算，學生得出：短期投資（投資天數(shù)（x）<7）可以選擇方案一;投資天數(shù)在7～9時選擇方案二;投資天數(shù)大于10時選擇方案三。這樣一來，在函數(shù)模型的幫助下，學生既復(fù)習了以前的知識，又鞏固了自身數(shù)學建模能力，而且在對問題分析過程中，學生逐漸掌握了問題分析的流程，實現(xiàn)深度思考的同時，促進了他們數(shù)學思維的躍遷與內(nèi)化。

（三）結(jié)合教材進行滲透教學

深度學習視角下，教師要注重教材知識的挖掘，通過對例題的綜合分析，提取有效信息，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，進一步提升教學成效。

以均值不等式一課為例，教師可引入教材例題：如某同學購買某一物品，購買方式有兩種，第一種方式不考慮物品在某一時間段價格變化的影響，且購買定量的物品。第二種情況為支出金額固定，這一期間物品價格可能出現(xiàn)輕微變化。如果兩次購買過程中，物品單價均不同，那么哪種購買方式更為劃算？

在講解這類題型前，教師可按照異質(zhì)成組原則，將學生分成多個小組，并鼓勵他們自行探討、分析例題，把握關(guān)鍵信息。同時，教師可準備不同的數(shù)學模型，鼓勵學生進行假設(shè)推導，并列出具體算式進行說明。比如，有的小組圍繞第一種策略，將平均價格作為經(jīng)濟對比，將第一次購物時價格設(shè)為p，購物量為m，第二次購物時價格為q，購物量仍為m，根據(jù)題意可知：

pm+qm2m=p+q2

有的小組以第二種策略為主，將第一次花n元錢，能夠買np個物品，第二次仍花n元錢，

2nnp+nq=21p+1q

之后各小組根據(jù)本組自述內(nèi)容，通過作差法進行經(jīng)濟比較，得出了相關(guān)結(jié)論：一般情況下，在不考慮物品價格升降的情況下，如果是n次購買同一種物品，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定比較經(jīng)濟。

這樣，通過不等式模型的建立，學生既深化了已學知識，又能明確數(shù)學知識在日常生活中的重要作用。同時，從實際問題中抽象出數(shù)學問題，能夠進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，使其積極參與，自主思考，促進自身數(shù)學建模能力的綜合提升。

七、 結(jié)語

總之，當今教育背景下，高中數(shù)學教師應(yīng)重新審視教學工作的出發(fā)點與落腳點，明確數(shù)學建模能力對學生數(shù)學思維、核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要價值。同時，在日后教學工作中，教師也要遵循教育規(guī)律，立足學生發(fā)展實際，以思維養(yǎng)成為根本，豐富教學形態(tài)，優(yōu)化教學手段，重燃學生數(shù)學學習熱情的同時，使其具備問題分析、模型建立、方法探究的基本學習思維，提高教學工作的深度與廣度，促進學生能力、素養(yǎng)的相互滲透與相互轉(zhuǎn)化。

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課題項目：文章系福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度教育教學改革專項課題“指向深度學習的高中數(shù)學建模教學實踐研究”（立項批準號：Fjjgzx20-055）的研究成果。

作者簡介：陶文平（1971～），男，漢族，福建福鼎人，福建省福州第二中學，研究方向：高中數(shù)學教學。