半群作用的共軛性*

羌湘琦， 侯成軍

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 225002，江蘇省揚(yáng)州市)

0 引 言

算子代數(shù)與遍歷理論之間的聯(lián)系始于von Nuemann代數(shù)的群測度空間構(gòu)造[1]. 至今為止，有關(guān)可數(shù)無限群在概率測度空間上的自由遍歷保測作用在“共軛”“軌道等價”和“W*-等價”等意義下的分類與群測度空間構(gòu)造的有限因子理論的研究取得了豐富成果[2]. 平行于自由遍歷的保測作用，群在拓?fù)淇臻g上的同胚作用與相應(yīng)交叉積C*-代數(shù)理論的研究早期最著名的結(jié)果是由Giordano,Putnam和Skau[3]于1995年給出的，他們證明了Cantor集上的兩個極小同胚是強(qiáng)軌道等價的當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的交叉積C*-代數(shù)是同構(gòu)的. 1998年，此結(jié)果被Boyle和Tomiyama[4]推廣，證明了緊度量空間上兩個拓?fù)渥杂傻耐呤莊lip共軛的當(dāng)且僅當(dāng)交叉積C*-代數(shù)之間存在保典則函數(shù)子代數(shù)的*-同構(gòu). 后來，Lin和Matui[5]定義了Cantor極小系統(tǒng)的弱逼近共軛，逼近K-共軛等，通過K-理論研究了這類系統(tǒng)的分類與相應(yīng)的交叉積C*-代數(shù)之間的關(guān)系. 最近，Li[6]引入群同胚作用的連續(xù)軌道等價概念并借助于相應(yīng)交叉積C*-代數(shù)的同構(gòu)性質(zhì)對該理論進(jìn)行了刻畫. 此外，眾多學(xué)者也對Smale空間，雙邊Markov移位等同胚提出了漸近連續(xù)軌道等價，flow等價等概念，并用相關(guān)的Ruelle代數(shù)，Cuntz-Krieger代數(shù)和廣群C*-代數(shù)進(jìn)行了刻畫，得到了豐富且重要的結(jié)論. 相關(guān)研究成果可參見文獻(xiàn)[7-9].

2010年Matsumoto[10]引入單邊拓?fù)銶arkov移位的連續(xù)軌道等價概念，并建立了此與Cuntz-Krieger代數(shù)之間的聯(lián)系. Carlsen[11]等人又利用廣群技巧將Matsumoto和Matui[8]對不可約單邊拓?fù)銶arkov移位的軌道等價的研究推廣到單邊有限型移位上. 注意到單邊移位是緊度量空間上的局部同胚. 受上述研究的啟發(fā)，本文借助于變換廣群性質(zhì)和Ruelle算子理論研究半群作用的共軛性.

1 預(yù)備知識

本文中所涉及的半廣群、廣群及其C*-代數(shù)的相關(guān)定義參見文獻(xiàn)[12-15]. 對于半廣群Λ，用Λ(2)表示Λ的可乘元素對集. 給定半廣群Λ和Γ，映射Ψ：Λ→Γ被稱為半廣群同態(tài)，如果對(a,b)∈Λ(2)，有(Ψ(a)，Ψ(b))∈Γ(2)且Ψ(ab)=Ψ(a)Ψ(b). 進(jìn)一步，如果Ψ是雙射且Ψ-1也是半廣群同態(tài)，則稱Ψ是半廣群同構(gòu). 注意到任意的半群都可以自然地看做是半廣群. 對于拓?fù)鋸V群G，我們用G(2)和G(0)分別表示G的可乘元素對集和單位空間. 令x∈G，分別稱d(x)=x-1x和r(x)=xx-1為x的domain和range. 如果d和r是局部同胚，則稱廣群G是étale的. 若集合{u∈G(0):d-1(u)∩r-1(u)={u}}是G(0)的稠子集，則稱G是拓?fù)湟恢?principle)的. 給定étale廣群G和H，稱映射Φ：G→H是同態(tài)，如果Φ是連續(xù)的且對(r,r′)∈G(2)時有(Φ(r)，Φ(r′))∈H(2)，Φ(rr′)=Φ(r)Φ(r′). 進(jìn)一步，若Φ是同胚使得Φ和Φ-1是同態(tài)，則稱Φ是étale廣群同構(gòu). 從廣群G到群G的同態(tài)被稱為G上的(連續(xù))cocycle.

例1.1[11]令0是非負(fù)整數(shù)加法半群，A是有限集，A表示從0到A的映射全體.在A上賦予離散拓?fù)?，A上賦予相關(guān)的乘積拓?fù)?，則A是一個緊的極端不連通空間.A上的移位變換σ：A→A定義為σ(x)(i)=x(i+1)，?x∈A，i∈0. 令X是A的閉子集且在σ下不變，即σ(X)=X，此時X是A的緊子集且被稱為單邊移位空間. 用σX表示σ對X的限制，σX是局部同胚當(dāng)且僅當(dāng)X是有限型移位，此時對也是局部同胚，故當(dāng)X是有限型單邊移位時可得半群作用(X，0，σX).

(x，m)(y，n)=(x，mn)，若y=θm(x).

另一個是變換廣群

G(X，P，θ)={(x，g，y)∈X×G×X:?m，n∈P，g=mn-1，θm(x)=θn(y)}，

其上的乘法和逆運(yùn)算分別為

(x，g，y)(u，h，v)=(x，gh，v)，若y=u，(x，g，y)-1=(y，g-1，x)，

(2) 映射cθ:G(X，P，θ)→G定義為cθ(x，g，y)=g是(連續(xù))cocycle；

下面給出半群作用共軛的概念.

定義1.3設(shè)(X，P，θ)和(Y，S，ρ)是兩個半群作用. 如果存在同胚φ：X→Y，半群同構(gòu)α：P→S，使得對?m∈P,φθm=ρα(m)φ，則稱(X，P，θ)和(Y，S，ρ)是(拓?fù)?共軛的，稱二元組(φ，α)是(X，P，θ)到(Y，S，ρ)的共軛，簡稱為共軛.

定義1.4 設(shè)(X，P，θ)是半群作用. 如果對m，n∈P且m≠n，集合{x∈X：θm(x)=θn(x)}的內(nèi)部是空的，則稱(X，P，θ)是本質(zhì)自由的.

定義1.5[11]設(shè)X和Y是兩個有限型單邊移位. 如果存在同胚φ：X→Y使得φ°σX=σY°φ，則稱σX和σY共軛.

定義1.6[6]設(shè)(X，G，α)和(Y，H，β)是兩個群作用，如果存在同胚φ：X→Y，群同構(gòu)γ：G→H，使得對?g∈G,φαg=βγ(g)φ，則稱(X，G，α)和(Y，H，β)是共軛的.

引理1.7[16]半群作用(X，P，θ)是本質(zhì)自由的當(dāng)且僅當(dāng)廣群G(X，P，θ)是拓?fù)湟恢碌?

推論1.10設(shè)(X，P，θ)和(Y，S，ρ) 是兩個本質(zhì)自由的半群同胚作用，P?G，S?H滿足本節(jié)第二段中假設(shè)，則以下陳述等價：

(1) étale廣群G(X，P，θ)同構(gòu)于G(Y，S，ρ)；

2 主要結(jié)論

命題2.1 兩個有限型單邊移位σX和σY是共軛的當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的半群作用(X，0，σX)和(Y，0，σY)是共軛的.

證明必要性. 設(shè)同胚φ：X→Y引起了σX和σY的共軛. 令α：0→0是恒等映射，則對?x∈X,m∈0,有

因此(X，0，σX)和(Y，0，σY)是共軛的.

充分性. 設(shè)(φ，α)是(X，0，σX)到(Y，0，σY)的共軛，則α是0上的恒等映射，并且因此有限型單邊移位σX和σY是共軛的. 證畢.

設(shè)(X,P,θ)是半群作用,C(X)表示X上連續(xù)函數(shù)全體，定義

命題2.3 設(shè)(X，P，θ)和(Y，S，ρ)是兩個半群作用，φ：X→Y是同胚，α：P→S是半群同構(gòu)，定義Λ：C(X)→C(Y)，f|→f°φ-1,則Λ是*-同構(gòu)，并且下列陳述等價:

(1) (φ，α)是共軛；

(3) ?m∈P，Λ°(θm)*=(ρα(m))*°Λ.

證明容易驗(yàn)證Λ：f|→f°φ-1是C(X)到C(Y)上的*-同構(gòu)，下證(1)?(2)?(3).

(1)?(2).對?f∈C(X)，y∈Y，有

(2)?(1). 對?f∈C(X)，y∈Y，有

因此，θm(φ-1(y))=φ-1(ρα(m)((y))，i.e.，對?x∈X，m∈P，φ(θm(x))=ρα(m)(φ(x)).

(3)?(1). 由于對?f∈C(X)，Λ((θm)*(f))=(ρα(m))*(Λ(f))，因此

(1)

Ψ(x，m)Ψ(θm(x)，n)=(φ(x)，α(m))(φ(θm(x))，α(n))=(φ(x)，α(mn))=Ψ(x，mn).

證明本證明參考文獻(xiàn)[6]有關(guān)連續(xù)軌道等價的證明. 事實(shí)上，如果令(φ，α)是(X，P，θ)到(Y，S，ρ)的共軛，映射(x，mn-1，y)∈G(X，P，θ)→(φ(x)，α(m)α(n)-1，φ(y))∈G(Y，S，ρ)實(shí)現(xiàn)了上述的étale廣群同構(gòu)，再結(jié)合引理1.7，1.9即可.

證明必要性由定理2.5及其證明可得. 下證充分性.

φ(θm(x))=ρa(bǔ)(x，m，θm(x))(φ(x))，

(2)

φ-1(ρt(u))=θb(u，t，ρt(u))(φ-1(u)).

(3)

a(x，m，θm(x))=a(y，m，θm(y)).

(4)

同樣的，對?u，v∈Y，t∈S，有

b(u，t，ρt(u))=b(v，t，ρt(v)).

(5)

由式(2),式(3)可得對?x∈X，m∈P，θb(φ(x)，a(x，m，θm(x))，ρa(bǔ)(x，m，θm(x))(φ(x)))(x)=θm(x).再由式(4),式(5)可得對?x′∈X，θb(φ(x)，a(x，m，θm(x))，ρa(bǔ)(x，m，θm(x))(φ(x)))(x′)=θm(x′).(X，P，θ)的本質(zhì)自由性表明

b(φ(x)，a(x，m，θm(x))，ρa(bǔ)(x，m，θm(x))(φ(x)))=m.

(6)

同樣的，對u∈Y，t∈S，有

a(φ-1(u)，b(u，t，ρt(u))，θb(u，t，ρt(u))(φ-1(u)))=t.

(7)

定義α：m∈P→a(x，m，θm(x))∈S，β：t∈S→b(u，t，ρt(u))∈P，則由式(4)～式(7)，α是從P到S上以β為逆的半群同構(gòu). 再由式(2),φ(θm(x))=ρα(m)(φ(x))，因此(X，P，θ)和(Y，S，ρ)共軛.

定理2.7設(shè)(X，P，θ)和(Y，S，ρ)是兩個同胚半群作用，P?G，S?H滿足第一節(jié)中假設(shè)，則下列陳述等價:

(1) (X，P，θ)和(Y，S，ρ)共軛;

證明(1)?(2) 設(shè)(φ，α)是(X，P，θ)到(Y，S，ρ)的共軛. 對?g∈G，存在m，n∈P使得g=mn-1. 定義β：G→H，g|→α(m)α(n)-1，若g=ab-1=mn-1,a，b，m，n∈P. 取p，q∈P使得ab-1=mn-1=p-1q，則pa=qb，pm=qn，并且α(p)α(a)=α(q)α(b)，α(p)α(m)=α(q)α(n)，因此α(a)α(b)-1=α(p)-1α(q)=α(m)α(n)-1，從而β是良定義的. 由α是雙射容易驗(yàn)證β也是雙射.

下證同態(tài)性. 給定g，h∈G，令g=ab-1，h=cd-1，其中a，b，c，d∈P. 取m，n∈P使得b-1c=mn-1，則α(b)-1α(c)=α(m)α(n)-1.因此

β(gh)=β(ab-1cd-1)=β(am(dn)-1)=α(am)α(dn)-1=α(a)α(m)α(n)-1α(d)-1=

α(a)α(b)-1α(c)α(d)-1=β(g)β(h)，

從而β：G→H是群同構(gòu). 進(jìn)一步，對?m∈P，β(m)=α(m)α(e)-1=α(m)，所以β(P)=S.對x∈X，g=ab-1∈G，其中a，b∈P，由注解2.2，