多分辨分析的相似性*

李忠艷

(華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院,102206,北京市)

0 引 言

設(shè)H=L2(). 令T和D是定義在H上的平移(酉)算子和擴張(酉)算子,即對任意f(t)∈L2(),

顯然,TD=DT2.函數(shù)ψ∈L2()稱作(單)正交小波如果}構(gòu)成H的標準正交基.

設(shè)S?B(H),S的換位,記為S′,是指B(H)中所有與S中算子乘積運算滿足交換律的算子集合,也即S′={A∈B(H)|AB=BA,?B∈S}. {T}′是指平移算子T的換位.

定義1H的一個正交多分辨分析(MRA)M是指一列閉子空間{Vn:n∈}滿足如下條件:

(1)Vn?Vn+1,?n∈;

(3)DnV0=Vn,DVn=Vn+1,n∈;

(4)TV0=V0;

(5) 存在函數(shù)φ∈V0使得{Tφ=φ(x-l),∈,x∈}是V0的標準正交基.

條件(5)中的函數(shù)φ稱作多分辨分析的(單)生成元或尺度函數(shù). 多分辨分析(MRA)提供了一個構(gòu)造新小波的自然的框架[1,2]. 文獻[1]中一個著名的結(jié)果是由多分辨分析M構(gòu)造正交小波ψ∈V1?V0.

設(shè)M={Vn,n∈}是一正交多分辨分析. 令φ是對應(yīng)于M的尺度函數(shù),ψ是由該多分辨分析構(gòu)造的正交小波. 則由文獻[2]知,小波子空間

其中小波ψ∈W0.

關(guān)于子空間具有如下形式的分解

Wn⊕Vn=Vn+1,n∈和

因此集合{Tφ,DnT=ψ:n≥0,∈} 是H的標準正交基. 稱 〈M,φ,ψ〉是一個MSW-三聯(lián)組. 令MSW是所有MSW-三聯(lián)組的集合. 記Pφ表示從空間H到空間V0上的正交投影,則有Pφψ=0和

套N是H中包含{0}和H的完備的閉(嵌套)子空間鏈. 套代數(shù)T(N)是包含所有將N中元素作為不變子空間的算子代數(shù),也即套代數(shù)是包含了所有上三角形算子的集合. 令PN表示從H到N上的投影. 則

如果存在一個從套M到套N的雙射θ,則稱套M和N是序同構(gòu)的. 如果該雙射θ還滿足

dimθ(M2)/θ(M1)=dimM2/M1, ?M1?M2∈M,

則稱θ是保持維數(shù)的序同構(gòu).

如果存在可逆算子S使得SM=N,則稱套M和套N是相似的.

由定義1,將H的一個正交多分辨分析M擴充到M∪H,則這是一個完備的套,仍然記為M.以下無特殊說明,所有的多分辨分析都是這樣擴充后得到的套. 我們稱兩個多分辨分析M={Mn,n∈}∪H和N={Vn,n∈}∪H是相似的是指如果存在可逆算子S使得SM=N.兩個三聯(lián)組〈M,φ0,ψ0〉和〈N,φ,ψ〉稱作相似的,如果存在可逆算子S使得SM=N,Sφ0=φ,Sψ0=ψ.

關(guān)于正交多分辨分析小波集合W整體性質(zhì)的研究,特別是拓撲性質(zhì)——道路連通性的研究,在文獻[3-5]中,作者證明了所有正交多分辨分析小波集合是道路連通的結(jié)果. 同時在文獻[4,5]中,作者給出了所有正交多分辨分析的尺度函數(shù)集合也是道路連通的結(jié)論. 即在三聯(lián)組集合MSW中,尚未作為整體集合性質(zhì)討論的只有多分辨分析集合 M. 關(guān)于它有趣的問題是:H的所有正交多分辨分析集合{Mj,j∈Λ}中任意兩個是否是相似的? 任意兩個三聯(lián)組是否是相似的? 本文我們將回答這兩個問題，同時還考察了多分辨分析M所生成的套代數(shù)T(M)的雙模結(jié)構(gòu).

1 正交多分辨分析的局部換位與相似

設(shè)ψ是一正交小波,令

Cψ(D,T):={A∈B(H):ADnTψ=DnTAψ, ?n,∈},

Uψ(D,T):={U:U是Cψ(D,T)中的酉算子}.

集合Cψ(D,T)稱作算子對{D,T}在ψ的局部換位[6]. 令W(D,T)是H中所有正交小波集合. 設(shè)ψ0是W(D,T)中任意確定的正交小波,在文獻[6]中證明了正交小波局部換位算子參數(shù)化的結(jié)果,即W(D,T)=Uψ0(D,T)ψ0的結(jié)論,且在Uψ0(D,T) 和 W(D,T)存在雙射θ使得θ(U)=Uψ0.

稱酉算子U將一個MSW-三聯(lián)組〈M0,φ0,ψ0〉映射到MSW-三聯(lián)組〈M,φ,ψ〉,如果

φ=Uφ0，ψ=Uψ0，V0′=UV0，Vn′=DnV0′,n∈，M={Vn′:n∈}.

記作〈M,φ,ψ〉:=U〈M0,φ0,ψ0〉.

對于一個MSW-三聯(lián)組〈M0,φ0,ψ0〉, 定義

U(M0,φ0,ψ0):={U:U是C(M0,φ0,ψ0)中的酉算子}.

對于每一個MSW-三聯(lián)〈M,φ,ψ〉,顯然{D,T}′中的酉算子集合是U(M,φ,ψ)的子集.

利用正交小波的局部換位算子參數(shù)化的結(jié)果,在文獻[7]給出了MSW-三聯(lián)組集合MSW的如下算子參數(shù)化結(jié)果.

引理1[7]設(shè)〈M0,φ0,ψ0〉是一確定的MSW-三聯(lián)組. 則由Γ(U)=U〈M0,φ0,ψ0〉定義的映射

Γ:U(M0,φ0,ψ0)→MSW

是雙射.

定理1H中任意兩個正交多分辨分析M和N是相似的.

證明假設(shè)由M={Vj,j∈}確定的MSW-三聯(lián)是引理1中的〈M0,φ0,ψ0〉,N={Vj′,j∈}確定的MSW-三聯(lián)是〈N,φ,ψ〉,它們對映的小波子空間分別記為Wj和Wj′. 由引理1知,存在酉算子U使得

〈N,φ,ψ〉=U〈M0,φ0,ψ0〉.

由于U∈C(M0,φ0,ψ0),UT=TU.又由于{Tnφ0:n∈}是V0的標準正交基, 所以

推論1三聯(lián)組集合MSW中的任意兩個MSW-三聯(lián)組是相似的.

證明見定理1的證明.

注1由定理1的證明知,對于由多分辨分析M和多分辨分析N生成的套代數(shù)T(M)和套代數(shù)T(N),顯然成立關(guān)系

UT(M)U*=T(UM)=T(N).

2 多生成元正交多分辨分析的局部換位與相似

H的r重多正交多分辨分析(r-MRA)M[8]是指一列閉子空間{Vn:n∈}滿足定義1中條件(1)～(4),還滿足如下條件:

(5′)存在函數(shù)向量

Φ(x)=(φ1(x),φ2(x),…,φr(x)),φi(x)∈L2(),i=1,2,…,r,

使得{Tnφj(x),j=1,2…,r,n∈}是V0的標準正交基, 其中Φ(x)稱為r-重生成元,或r-重尺度函數(shù).

由r-重多生成元正交多分辨分析可以構(gòu)造r-重多正交小波Ψ(x)=(ψ1(x),ψ2(x),…,ψr(x)), 其中ψi(x)∈W0=V1?V0,i=1,2,…,r,使得{DnTψi,n,∈,i=1,2,…r}是L2()的標準正交基. 其中小波子空間,i=1,2,…,r},n∈.同樣地有子空間分解關(guān)系

Wn⊕Vn=Vn+1,n∈;

因此,集合{Tφi,DnTψi:n≥0,∈,i=1,…,r}是H的標準正交基. 仍然用PΦ表示到子空間V0上的正交投影,則

設(shè)M是r-重多分辨分析，Φ=(φ1,…,φr)是對應(yīng)的r-重尺度函數(shù),Ψ=(ψ1,…,ψr)是由該多分辨分析生成的r-重多正交小波,稱〈M,Φ,Ψ〉是一個r-MSW-三聯(lián)組. 所有這樣的r-MSW-三聯(lián)組的集合記做r-MSW.

設(shè)Ψ是r-重多正交小波,算子{D,T}在Ψ的局部換位定義為

CΨ(D,T)={A∈B(H):ADnTΨ=DnTAΨ, ?n,∈}=

{A∈B(H):ADnTψi=DnTAψi,i=1,…,r,?n,∈}.

稱酉算子U將一個r-MSW三聯(lián)組〈M0,Φ0,Ψ0〉映射到r-MSW三聯(lián)組〈M,Φ,Ψ〉,如果

Φ=UΦ0,i.e.φi=Uφ0i,i=1,2,…,r;

Ψ=UΨ0,i.e.ψi=Uψ0i,i=1,2,…,r;

V0′=UV0，Vn′=DnV0′,n∈，M={Vn′:n∈}.

記作〈M,φ,ψ〉:=U〈M0,Φ0,Ψ0〉.

設(shè)〈M0,Φ0,Ψ0〉是一個r-MSW三聯(lián)組,定義

U(M0,Φ0,Ψ0):={U:U是C(M0,Φ0,Ψ0)中的酉算子},

其中UΨ0(D,T)是CΨ(D,T)中酉算子集合.

令Wr(D,T)是H中所有r-重多正交小波集合. 設(shè)Ψ0=(ψ01,…,ψ0r)是Wr(D,T)中任意確定的正交小波,在文獻[9]中給出了r-重多正交小波局部換位算子參數(shù)化的結(jié)果,即Wr(D,T)=UΨ0(D,T)ψ0的結(jié)果,且在UΨ0(D,T) 和 Wr(D,T)存在雙射θ使得θ(U)=UΨ0.利用該結(jié)果,在文獻[10]中給出了r-MSW三聯(lián)組集合r-MSW的算子參數(shù)化結(jié)果.

引理2[10]設(shè)〈M0,Φ0,Ψ0〉是一確定的r-MSW-三聯(lián)組. 則由I(U)=U〈M0,Φ0,Ψ0〉定義的映射

I:U(M0,Φ0,Ψ0)→r-MSW

是雙射.

由引理2,類似于定理1的證明,可得如下結(jié)果.

定理2H中任意兩個r-重多生成元正交多分辨分析M和N是相似的.

推論2三聯(lián)組集合r-MSW中的任意兩個r-MSW-三聯(lián)組是相似的.

3 正交多分辨分析生成套代數(shù)的雙模

文獻[11]詳細刻畫了抽象的所有類型的套生成套代數(shù)的雙模結(jié)構(gòu),我們借助該文的討論方法說明正交多分辨分析N作為Hilbert空間H=L2()特殊的套,算子代數(shù)B(H) 是關(guān)于套代數(shù)T(N)主范數(shù)雙模的結(jié)論,該結(jié)果是文獻[11]的特例.

設(shè)B1,B2?B(H)是子代數(shù),且設(shè)A?B(H)是范數(shù)閉的線性子空間. 如果B2·A·B1?A,稱A是一個B2(左)-B1(右)雙模. 如果B1=B2=B,稱A是一個B-雙模. 如果存在一個元素G∈B(H)使得A=[B2·G·B1], 稱A為主范數(shù)雙模. 其中[·]表示線性范數(shù)閉包.

對于多分辨分析N={Nj,j∈}∪H,由所有從H到N上的投影算子生成的Von-Neumann 代數(shù)IN是B(H)的交換 Von-Neumann子代數(shù).

令x是H中IN的可分標準(單位)向量. 定義映射Φ:N→[0,1]使得Φ(N)=〈PNx,x〉=‖PNx‖2.映射Φ是1-1的保持N中(包含)序的映射,其像集Φ(N)是[0,1]的緊子集,且包含點{0,1}. 這樣的映射Φ不唯一,但是所有不同的這樣映射的像集都是彼此序同構(gòu)且同胚的. 稱N中一個網(wǎng){Nα}強算子拓撲收斂到N0∈N 當且僅當在[0,1]中Φ(Nα)→Φ(N0).也即此時將套N和正交投影套{PN}等同起來. 我們可以將N中的元素N用Φ(N)指標索引. 下面的記號形如N={Nλ:λ∈Λ?[0,1]}的套均指集合Λ是由這樣一個指標映射的像集合. 如果Λ是一個無限集合,用α和β分別表示Λ的極小和極大極限點. 設(shè)λ1≤λ2,λ1,λ2∈Λ.記投影算子P=N[λ1,λ2]=PNλ2-PNλ1且K=PH.則N [λ1,λ2]={P(N):N∈N}是K的一個套. N[λ1,λ2] 稱為N的區(qū)間套. 算子N[λ1,λ2]稱作N-區(qū)間[11].

引理3 設(shè)N是Hilbert空間H=L2()的正交多分辨分析所構(gòu)成的套,假設(shè)其包含一個無限子套N0={Nn,n∈}使得對所有的n∈,

dim(Nn+1-Nn)=dim(N1-N0),

且∩{Nn:n∈}={0}, ∪{Nn:n∈}=H.

證明由于N={Nn,n∈}∪H是H的正交多分辨分析,令ψ是其對應(yīng)的小波函數(shù). 由于…?Nn-1?Nn?Nn+1?…, 則

且∩{Nn:n∈}={0}, ∪{Nn:n∈}=H.

定理3 設(shè)N是H的任意正交多分辨分析,則B(H)是由其生成的套代數(shù)T(N)的主范數(shù)雙模.

…?N-3?N-2?N-1?N0?N1?N2?N3?…,

…?P3?P2?P1?P0=Q0?Q1?Q2?Q3?….

由N的子空間的結(jié)構(gòu),則依照算子強拓撲，

limPn=0且dim(Pn-Pn+1)=+∞;

limQn=I且dim(Qn+1-Qn)=+∞,n∈∪{0}.

記En=Qn-Qn-1,n∈,且E-n=Pn-1-Pn,n∈.對于n∈{0}, 記Mn=∪{Ei:i≤n,i≠0}.令

M={Mn:n∈{0}}∪{0,IH}.

套M是PN的一個子套. 對于n∈{0}, 令Un是從支集子空間EnH(小波子空間)到像子空間E-nH(小波子空間)的部分等距算子. 定義

則U是酉算子. 現(xiàn)說明U就是雙模生成元(見文獻[11]命題3的證明). 對任意T∈B(H), 存在正的可逆算子{Ti}和復(fù)數(shù){αi}使得

即B(H)=[T(N)·U·T(N)].