全群 C*-代數(shù)的Haagerup 性質*

高昌源, 孟 慶

(曲阜師范大學數(shù)學科學學院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

在群論和算子代數(shù)理論中,群的逼近性質與相對應的群 von Neumann 代數(shù)和群 C*-代數(shù)的逼近性質緊密相連. 這些逼近性質在幾何、代數(shù)、遍歷理論等領域有很多重要的應用,并被用于研究一些重要的數(shù)學猜想[1-4]. 群的 Haagerup 性質最早是 Haagerup[5]在研究非交換自由群時引入的,它是弱于順從性的一種逼近性質.

定義1令G是一個離散群,如果存在G上正定函數(shù)組成的一個網(wǎng){φi}i∈I滿足φi(e)=1,且

(1) 對每個i∈I,φi在無窮遠消失;

則稱G有 Haagerup 性質.

在此之后,許多數(shù)學家都對這種性質做了研究,發(fā)現(xiàn)許多群都具有 Haagerup 性質[6-8]. 對于有限的 von Neumann 代數(shù),同樣可以定義 Haagerup 性質,Choda[9]證明了一個可數(shù)群有Haagerup 性質當且僅當它的群 von Neumann 代數(shù)有 Haagerup 性質. 與此類似,在文獻[10]中董浙教授將 Haagerup 性質推廣到有忠實跡態(tài)的單位 C*-代數(shù)的情形,并且證明了一個可數(shù)離散群有 Haagerup 性質當且僅當它的約化群 C*-代數(shù)有 Haagerup 性質. 最近,孟慶和王利廣在文獻[11] 中又定義了非單位 C*-代數(shù)關于權重的 Haagerup 性質,并進行了相應的研究.

本文在文獻[11] 的基礎上,研究離散群與其全群C*-代數(shù)的 Haagerup 性質之間的關系,證明了離散群有 Haagerup 性質當且僅當它的全群 C*-代數(shù)關于其上的經(jīng)典跡態(tài)有 Haagerup 性質.

1 主要結果

在本文中,G是一個有單位元e的離散群,A是一個 C*-代數(shù),τ是它的一個態(tài),A+表示A的正元錐. 令Nτ={a∈A|τ(a*a)=0},Λτ(A)=A/Nτ,對任意的a,b∈A,定義內積

〈Λτ(a),Λτ(b)〉=τ(b*a),

則‖Λτ(a)‖2,τ=τ(a*a)1/2是相應的范數(shù). 通過 GNS 構造,知道Λτ(A)關于‖·‖2,τ完備化得到一個 Hilbert 空間,記為L2(A,τ). 為了簡化敘述,用 “c.p.” 表示完全正映射,“c.c.p.” 表示收縮的完全正映射和 “u.c.p.” 表示單位完全正映射.

若Φ:A→A是一個 c.c.p. 映射且滿足τ°Φ≤τ,那么由文獻[11] 知，映射Λτ(a)|→Λτ(Φ(a)),a∈A可以延拓為L2(A,τ)上一個收縮映射,記為TΦ. 如果TΦ是L2(A,τ)上一個緊算子,則Φ是L2-緊的. 因此,通過 Hilbert 空間上緊算子與有限秩算子的關系,可以得到下面的引理.

引理1映射Φ是L2-緊的當且僅當對任意的ε>0,存在有限秩算子Q:Λτ(A)→Λτ(A)使得對任意的a∈A,

‖Λτ(Φ(a))-Q(Λτ(a))‖2,τ≤ε‖Λτ(a)‖2,τ.

證明首先注意這樣一個事實：如果F是L2(A,τ)上一個有限秩算子,則存在xi,yi∈L2(A,τ),1≤i≤N使得

其中N是一個正整數(shù).

所以存在xi,yi∈L2(A,τ),1≤i≤N使得

由于Λτ(A)在L2(A,τ)中稠密,故存在ai∈A使得

‖Λτ(ai)-xi‖2,τ≤ε/(2NM),

其中M=max{‖yi‖2,τ:i=1,…,N}. 令

那么Q是Λτ(A)上的有限秩算子. 對任意的a∈A,有

充分性. 由于Λτ(A)在L2(A,τ)中稠密,結論顯然成立.

若B是A的一個稠密的*-子代數(shù),那么Λτ(B)在Λτ(A)中稠密,從而在L2(A,τ)中稠密,因此通過與引理1同樣的證明方法,我們可得下面的推論.

推論1若B是A的一個稠密*-子代數(shù),那么Φ是L2-緊的當且僅當對任意的ε>0,存在有限秩算子Q:Λτ(B)→Λτ(B)使得對任意的b∈B,

‖Λτ(Φ(b))-Q(Λτ(b))‖2,τ≤ε‖Λτ(b)‖2,τ.

文獻[11]給出了A關于權重(weight)的 Haagerup 性質的定義,由于A上的態(tài)顯然是權重,因此有下面的定義.

定義2[11,定義3.2]令τ是A上的一個態(tài). 如果存在A上的 c.c.p. 映射組成的網(wǎng){Φi}i∈I滿足

(1) 對任意的i∈I,τ°Φi≤τ且每個Φi是L2-緊的；

(2) 在強算子拓撲下,{TΦi}i∈I收斂到恒等映射；

則稱(A,τ)有 Haagerup 性質.

注1(1) 由文獻[11] 可知,如果A是單位C*- 代數(shù),上述 c.c.p. 映射可以被替換為 u.c.p. 映射.

(2) 定義2中的條件(2)等價于

‖Λτ(Φi(a))-Λτ(a)‖2,τ→0,a∈A.

下面介紹約化群C*-代數(shù)和全群C*-代數(shù),詳細內容參見文獻[12]. 用[G]表示G的群環(huán),它是由所有形如的元素組成的集合,其中只有有限多個ag∈不為 0. 在[G]中定義乘法和*運算如下:

‖x‖r=‖λ(x)‖B(2(G)),x∈[G]

完備化后得到的C*- 代數(shù)為G的全群C*-代數(shù),記為C*(G).顯然對任意的x∈[G],‖x‖r≤‖x‖u,所以恒等映射I:[G]→[G]可以延拓為的經(jīng)典*-同態(tài)ρ.從現(xiàn)在開始,令τ表示上的經(jīng)典忠實跡態(tài),即τ(x)=〈xδe,δe〉,其中{δg:g∈G}表示2(G)的經(jīng)典標準正交基,那么τ′=τ°ρ是C*(G)上的一個跡態(tài).

下面給出群的 Haagerup 性質與它的群C*-代數(shù)的 Haagerup性質之間的關系. 為了方便,將G看成C*(G)的子集.

定理1若G是一個離散群,那么下列說法等價:

(1)G有Haagerup性質；

(3)(C*(G),τ′)有Haagerup性質.

證明(1)與(2)的等價性,在文獻[10]中已證明,下面證明(1)與(3)等價.

(1)?(3). 假定G上的正定函數(shù)組成的網(wǎng){φi}i∈I(φi(e)=1) 滿足G有 Haagerup 性質的條件,定義相應的乘子mφi:[G]→[G]為

那么通過文獻[12,定理2.5.11]知,mφi可延拓為C*(G)上一個u.c.p.映射,仍記為mφi. 接下來證明{mφi}i∈I滿足(C*(G),τ′)有 Haagerup 性質的條件.

因此,對任意的x∈C*(G)+有τ′°mφi(x)=τ′(x). 又

因為Λτ′([G])在L2(C*(G),τ′)中稠密,所以對任意的x∈C*(G),有

‖Λτ′(mφi(x)-x)‖2,τ′→0,(i→∞).

最后,證明每個mφi是L2-緊的. 對任意的ε>0,因為φi在無窮遠消失,故存在一個有限子集Fi?G,使得當s?Fi時,有|φi(s)|<ε. 定義Qi:Λτ′([G])→Λτ′([G])為

那么Qi是Λτ′([G])上良定義的有限秩算子. 另外

因此,由推論1知,對每個i∈I,mφi是L2-緊的.

(3)?(1). 若C*(G)上的 u.c.p. 映射組成的網(wǎng){Φi}i∈I滿足(C*(G),τ′)有 Haagerup 性質的條件,定義φi:G→為

φi(g)=τ′(g-1Φi(g)),g∈G,

那么

φi(e)=τ′(eΦi(e))=τ′(e)=τ(λe)=1.

因為TΦi是L2(C*(G),τ′)上的緊算子,當t→∞時,有

|φi(t)|=|τ′(t-1Φi(t))|=|〈Λτ′(Φi(t)),Λτ′(t)〉|≤

‖Λτ′(Φi(t))‖2,τ′=‖TΦi(Λτ′(t))‖2,τ′→0,

即φi在無窮遠點消失. 另外,當i→∞時,

|φi(t)-1|=|〈Λτ′(Φi(t)),Λτ′(t)〉-1|=

|〈Λτ′(Φi(t)),Λτ′(t)〉-〈Λτ′(t),Λτ′(t)〉|=

|〈Λτ′(Φi(t)-t),Λτ′(t)〉|≤

‖Λτ′(Φi(t)-t)‖2,τ′→0.

最后,證明每個φi是正定的. 定義映射V:2(G)→2(G)?2(G)為V(δg)=δg?δg,則V是一個等距且對任意的b∈2(G)有V*(δg?b)=〈b,δg〉δg. 由 Fell 吸收原則[12]可知,存在一個*-同態(tài)使得σ(λg)=λg?g. 因為ρ°Φi是的 c.p. 映射,所以通過文獻[12] 知,是的 c.p. 映射,且滿足

對任意的g,s∈G,有

由文獻[12,定理2.5.11] 知,φi是正定的.

最后,給出一個例子.

例1令2是由 2 個生成元生成的自由群,那么2有 Haagerup 性質[5]. 因此由定理1知,(C*(2),τ′)有 Haagerup 性質.