非自治分?jǐn)?shù)階隨機(jī)Hindmarsh-Rose方程的隨機(jī)吸引子*

盛煥義, 劉 輝, 辛 杰②

(①曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165，曲阜市; ②山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,271018,山東省泰安市)

0 引 言

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子的證明已經(jīng)在很多文獻(xiàn)中證明了,例如在文獻(xiàn)[3-5,18]中給出了自治隨機(jī)方程的證明,在文獻(xiàn)[1,6,11]中給出了非自治隨機(jī)方程的證明. 然而對(duì)于分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的隨機(jī)方程的吸引子的證明卻很少.本文引用文獻(xiàn)[16,17]中的 Hindmarsh-Rose 方程并借鑒分?jǐn)?shù)階隨機(jī)方程的吸引子的證明文獻(xiàn)[15,21],討論了非自治分?jǐn)?shù)階隨機(jī) Hindmarsh-Rose 方程的隨機(jī)吸引子的存在性.本文的主要困難在于分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的非自治隨機(jī)方程的解的拉回隨機(jī)吸收集和漸近緊性的證明,創(chuàng)新點(diǎn)是非線性項(xiàng)f(t,x)是作為一個(gè)具體的確定性方程在隨機(jī)方程中進(jìn)行研究. 我們改進(jìn)了文獻(xiàn)[21]中的方法,將f(t,x)的確定方程代入整體方程中,并把單一的方程擴(kuò)展成Hindmarsh-Rose的3個(gè)方程組,之后再將它們寫成向量形式的方程進(jìn)行證明計(jì)算.

本文將考慮下列非自治非局部分?jǐn)?shù)階隨機(jī) Hindmarsh-Rose 方程在O上的漸近行為[15,16]

(1)

(2)

(3)

具有邊界條件

u(t,x)=0,v(t,x)=0,z(t,x)=0,x∈?O,t>τ

(4)

和初始條件

u(τ,x)=uτ(x),v(τ,x)=vτ(x),z(τ,x)=zτ(x),x∈O,

(5)

其中,t>τ∈,x∈O?n(n≤3),算子(-Δ)s稱為具有s∈(0,1)的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子,O是n上的一個(gè)光滑有界域,W是一個(gè)在概率空間上的雙面實(shí)值維納過程,激勵(lì)注入電流J為常數(shù),在(1)式和(2)式中的非線性項(xiàng)為

φ(u)=au2-bu3,ψ(u)=α-βu2.

(6)

(7)

除了c(=uR)∈是神經(jīng)元細(xì)胞膜電位的參考值之外,其它所有涉及到的參數(shù)d1,d2,d3,a,b,α,β,q,r,J和ε都是常數(shù).

在動(dòng)力系統(tǒng)(1)～(3)中,變量u(t,x)表示神經(jīng)元細(xì)胞的膜電位,變量v(t,x)表示鈉、鐵離子通過快速離子通道的轉(zhuǎn)速率并稱為尖峰變量,變量z(t,x)表示通過與破裂現(xiàn)象相關(guān)的鈣等離子的慢通道穿過神經(jīng)元細(xì)胞膜的轉(zhuǎn)速率并稱為破裂變量[16,17].

接下來我們給出具有初始-邊界條件(4)和(5)的非自治系統(tǒng)(1)～(3)的向量形式

(8)

具有邊界條件

g(t,x)=0,x∈?O,t>τ，

(9)

初始條件為

g(τ,x)=gτ(x),x∈O,

(10)

其中

g(t)=col(u(t,·),v(t,·),z(t,·)),gτ=col(uτ,vτ,zτ),

并且p(t,x)=col(p1(t,x),p2(t,x),p3(t,x)),正矩陣

(11)

通過帶有乘性噪聲的隨機(jī)Hindmarsh-Rose方程的初邊值問題(1)～(6),給出了Hilbert 空間

F=[L2(O)]3=L2(O,3)和E=[H1(O)]3=H1(O,3).

(12)

是一個(gè)局部 Lipschitz 連續(xù)映射,λ是一個(gè)正的常數(shù). 算子(-Δ)s被稱為一個(gè)分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子,其中s∈(0,1),當(dāng)s=1時(shí),成為了標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子.

本文剩余部分安排如下. 第1節(jié)回顧了非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子的存在性的一些基礎(chǔ)結(jié)論. 第2節(jié)利用伽略金方法證明了非自治分?jǐn)?shù)階隨機(jī)方程(8)的解的存在性和唯一性,并基于解算子定義了一個(gè)連續(xù) cocycle. 第3節(jié)得到了大量的解的一致估計(jì),這是證明拉回隨機(jī)吸收集和漸近緊性所必需的. 最后，第4節(jié)證明了調(diào)和拉回隨機(jī)吸引子的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)簡(jiǎn)要地回顧非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的一些符號(hào)和結(jié)論. 假設(shè)(Ω,F,) 是一個(gè)概率空間,并且(X,d)是一個(gè)可分離度量空間. 我們用d(A,B)來表示X中非空子集A和B的Hausdorff半距離.

定義1.1令(Ω,F,,(θt)t∈)是一個(gè)度量動(dòng)力系統(tǒng),映射Φ:+××Ω×X→X稱為在X上覆蓋(Ω,F,,(θt)t∈b)的一個(gè)連續(xù) cocycle,如果對(duì)于所有的τ∈,ω∈Ω和t,s∈+滿足以下條件:

(1) Φ(·,τ,·,·):+×Ω×X→X是一個(gè)(B(+)×F×B(X),B(X))-可測(cè)映射;

(2) Φ(0,τ,·)在X上是恒等的;

(3) Φ(t+s,τ,ω,·)=Φ(t,τ+s,θsω,·)°Φ(s,τ,ω,·);

(4) Φ(t,τ,ω,·):X→X是連續(xù)的.

定義1.2設(shè)D為X中的非空子集的一些族的集合,Φ是X上的一個(gè)連續(xù) cocycle. 如果對(duì)于所有τ∈,ω∈Ω和任何序列tn→∞,xn∈D(τ-tn,θ-tnω)時(shí),序列在X中有一個(gè)收斂的子序列,則Φ被稱為在X內(nèi)的D-拉回漸近緊.

定義1.3設(shè)D為X中的非空子集的一些族的集合.如果對(duì)于任意有界集B∈存在一個(gè)有限時(shí)間T>0,對(duì)于所有的t>T,ω∈Ω使得Φ(t,τ-t,ω,B)?K,則稱集合K∈D是關(guān)于Φ的一個(gè)拉回吸收集.

定義1.4設(shè)D為X中的非空子集的一些族的集合,并且A={A(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D. 則A稱為Φ的一個(gè)D-拉回吸引子,如果滿足下列條件:

(1)A是可測(cè)的,并且對(duì)于所有τ∈和ω∈Ω,A(τ,ω)是緊的;

(2)A是不變的,即,對(duì)于所有τ∈和ω∈Ω 都有

Φ(t,τ,ω,A(τ,ω))=A(τ+t,θtω),t≥0

成立;

(3)A吸引D中的每一個(gè)元素,即對(duì)于給定的B∈D和τ∈和ω∈Ω都滿足

命題1.5設(shè)D是X中的非空子集的一些族的閉包集,Φ是X上覆蓋(Ω,F,,(θt)t∈)的一個(gè)連續(xù) cocycle. 如果Φ是X上的D- 拉回漸近緊并有一個(gè)閉的D-拉回吸收集K在D中,則Φ在D中有一個(gè)D-拉回吸引子A,這個(gè)拉回吸引子A是唯一的并且由下列給出,即對(duì)于所有的τ∈和ω∈Ω,

本文用‖·‖和 (·,·)表示L2(n)的范數(shù)和內(nèi)積,Hs(n)的Gagliardo 半范數(shù)用來表示. 在這里解釋齊次狄利克雷邊界條件(9)是當(dāng)u=0時(shí),u∈nO而不只是u∈?O. 這種解釋與積分分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的非局部性是一致的.在這種解釋的基礎(chǔ)上,我們引入了空間V={u∈Hs(n):u=0a.e. onnO},并且考慮特征值問題

(-Δ)su=λu,u∈O, 并且當(dāng)u∈?O時(shí),u=0.

(13)

(-Δ)s的特征方程將構(gòu)造本文中問題(8)～(10)的解.

2 余圈(Cocycle)

本節(jié)通過方程(8)～(10),并將邊界條件(9)替換成在nO上g=0,建立了以下具有s∈(0,1)的由乘性白噪聲驅(qū)動(dòng)的非自治分?jǐn)?shù)階隨機(jī) Hindmarsh-Rose 方程并證明了連續(xù) cocycle 的存在性

(14)

具有邊界條件

g(t,x)=0,x∈nO,t>τ

(15)

和初始條件

g(τ,x)=gτ(x),x∈O,

(16)

為了方便,我們給出一個(gè)確定的正數(shù)λ,并且對(duì)于所有的t∈,x∈O和g∈,令

f(t,x,g)=λg+F(t,x,g).

(17)

注意,給定的t,g∈,f(t,x,g):O→只是定義在空間O上. 但是對(duì)于所有的x∈nO,可以通過設(shè)f(t,x,g)=0來將f(t,·,g)推廣到整個(gè)空間n上. 這樣的一個(gè)推廣經(jīng)常在本文中使用. 換言之,任何定義在空間O上的函數(shù)都可以等價(jià)于對(duì)空間n上的平凡擴(kuò)張.

根據(jù)(17)式,方程(14)～(16)可以寫成

(18)

具有邊界條件

g(t,x)=0,x∈nO,t>τ

(19)

和初始條件

g(τ,x)=gτ(x),x∈O.

(20)

θtω(·)=ω(·+t)-ω(t),t∈,ω∈Ω.

考慮一維隨機(jī)方程

dy+ydt=dW.

由文獻(xiàn)[2]知,該方程由唯一的穩(wěn)定解y(t)=z(θtω),其中z:Ω→是由z(ω)=-eτω(τ)dτ(ω∈Ω)給出的隨機(jī)變量. 此外,存在一個(gè)全測(cè)度Ω0的θt-不變集,使得z(θtω)對(duì)每一個(gè)ω∈Ω0都是路徑連續(xù)的,并有

(21)

為方便起見,后續(xù)將不再區(qū)分 Ω0和 Ω,而是對(duì) Ω0和Ω使用相同的符號(hào)Ω.

為達(dá)到目的,需要將隨機(jī)方程(14)轉(zhuǎn)換成由ω∈Ω 參數(shù)化的確定性方程. 為此引入了新的變量Q(t,ω)=e-εz(θtω),令

G=G(t,τ,ω,Gτ)=e-εz(θtω)g(t,τ,ω,gτ)，

(22)

并且Gτ=e-εz(θtω)gτ,其中τ∈是一個(gè)確定的初始時(shí)間,t≥τ,ω∈Ω,Gτ∈L2(O),并且g=g(t,τ,ω,gτ)是(18)～(20)的解. 于是得到,對(duì)于t>τ,

(23)

具有邊界條件

G(t,x)=0,x∈nO,t>τ,

(24)

初始條件

G(τ,x)=Gτ(x),x∈O.

(25)

將首先證明方程(23)～(25)的解的存在性和唯一性,然后通過變換(22)得到方程(14)～(16)的解. 回憶V是由V={g∈Hs(n):g=0 a.e. onnO}所定義的.V的對(duì)偶空間被定義為V*.為了證明解的存在性,也需要空間H={g∈L2(n):g=0 a.e. onnO}.注意空間H的定義符合條件(24)和(25),因?yàn)閷?duì)于x∈nO,通過設(shè)g(x)=0可以將一個(gè)函數(shù)g∈L2(O)看作為空間H的一個(gè)元素.

令a:V×V→是雙線性形式,對(duì)于G1,G2∈V,

(26)

通過使用a的雙線性形式,定義了A:V→V*由

(A(G1),G2)(V*,V)=a(G1,G2),對(duì)于所有的G1,G2∈V,

(27)

其中(·,·)(V*,V)是V*和V的對(duì)偶對(duì).

很明顯算子A是單射. 另一方面,由 Riesz 表示定理可知,A也是滿射并且逆映射A-1:V*→V是被明確定義的.

定義2.1對(duì)于給定的τ∈,ω∈Ω和Gτ∈H,連續(xù)函數(shù)G(·,τ,ω,Gτ):[τ,∞)→H被稱為問題(23)～(25)的解,如果G(τ,τ,ω,Gτ)=Gτ并有

并且對(duì)于所有的ξ∈V∩L2(n),解G在(τ,∞)區(qū)間內(nèi)滿足

(28)

下面我們準(zhǔn)備證明方程(23)～(25)的解的存在性和唯一性.

定理2.2對(duì)于所有的τ∈,ω∈Ω和Gτ∈H,問題(23)～(25)在定義 2.1 的意義下有唯一的解G(t,τ,ω,Gτ),在空間H中,解在ω下是(F,B(H))-可測(cè)的并且在初始條件Gτ下是連續(xù)的. 然而,解G對(duì)于幾乎所有的t≥τ滿足下列能量方程

(29)

證明首先構(gòu)造有限維系統(tǒng)的一系列近似解,然后得到一致估計(jì),最后得到這些近似解的極限,具體證明過程省略.

接下來將證明方程(23)～(25)在空間H中隨機(jī)吸引子的存在性. 為此,需要建立下文所介紹的在空間H中的解算子的緊性.

引理2.3給定τ∈,t>τ和ω∈Ω,方程(23)～(25)的解算子G(t,τ,ω,·):H→H是緊的,即對(duì)于空間H中所有的有界序列序列在空間H中有一個(gè)收斂的子序列.

這說明了存在一個(gè)零測(cè)度的集合I(I?[τ,τ+T])和一個(gè)子序列,使得對(duì)于所有的r∈[τ,τ+T]I,

(30)

由于t>τ,(τ,t)?[τ,τ+T]和I有零測(cè)度,存在r0∈(τ,t)I,于是由(30)式得到

(31)

由(31)式和在初始數(shù)據(jù)下解的連續(xù)性,得到

這就推出了該證明.

由方程(23)～(25)的解G和變換(22),得到隨機(jī)方程(14)～(16)的一個(gè)解

g(t,τ,ω,gτ)=eεz(θtω)G(t,τ,ω,Gτ),

并有g(shù)τ=eεz(θtω)Gτ. 由引理 2.1 得到當(dāng)t∈[τ,∞)和Gτ∈H時(shí)g(t,τ,ω,gτ)都是連續(xù)的. 然而,g(t,τ,·,gτ):Ω→H是可測(cè)的. 于是在空間H中定義一個(gè)關(guān)于方程(14)～(16)的解的一個(gè)連續(xù) cocycle. 令Φ:+××Ω×H→H是一個(gè)映射,使得對(duì)于所有的t∈+,τ∈,ω∈Ω和gτ∈H,

Φ(t,τ,ω,gτ)=g(t+τ,τ,θ-τω,gτ)=eεz(θtω)G(t+τ,τ,θ-τω,Gτ),

(32)

其中Gτ=e-εz(ω)gτ. 回憶一類L2(n)中的有界非空子集,D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}是調(diào)和的,如果對(duì)于所有的c>0,τ∈和ω∈Ω,

其中關(guān)于L2(n)中的子集D的符號(hào)‖D‖可以理解為在空間L2(n)中的有界非空子集的所有調(diào)和族的集合為D,即

D={D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}:D在L2(n)中是調(diào)和的}.

(33)

在這樣的情況下,D-拉回吸引子也可以稱作調(diào)和吸引子,因?yàn)橛?33)式給出的D包含L2(n)上的有界非空子集的所有調(diào)和族.

現(xiàn)在,假設(shè)對(duì)于所有的τ∈,

(34)

當(dāng)推導(dǎo)調(diào)和拉回吸收集的存在性時(shí),我們將進(jìn)一步假設(shè)p是調(diào)和的,對(duì)于所有的c>0,

(35)

很明顯,(34)和(35)式并不意味著當(dāng)t→∞時(shí)p在L2(n)內(nèi)是有界的.

3 方程解的一致估計(jì)

本節(jié)推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)階隨機(jī)方程的解的一致估計(jì),這是為了構(gòu)造關(guān)于 cocycle Φ的隨機(jī)拉回吸收集.

引理3.1在條件(34)下,對(duì)于所有的ε0>0,σ∈,τ∈,ω∈Ω和D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D,存在T=T(τ,ω,D,σ,ε0)>0使得對(duì)于所有的t≥T和0<ε≤ε0,方程(23)～(25)的解G滿足

其中eεz(θ-tω)Gτ-t∈D(τ-t,θ-tω)并且β1是不依賴于τ,ω,D和ε的一個(gè)正常數(shù).

證明使用能量方程(29)來推導(dǎo)所需的估計(jì). 首先,由 Young 不等式得到,對(duì)于(29)式的最后一項(xiàng)

(36)

另一方面,

(37)

由(36)～(37)和(29)式，得

(38)

在上式中用θ-τω代替ω,得

接下來改變變量,得

(39)

現(xiàn)在估計(jì)(39)式右邊部分的第一項(xiàng). 注意

由于eεz(θ-tω)Gτ-t∈D(τ-t,θ-tω)和0<ε≤ε0,所以從上式中得

(40)

由(21)式得，存在T1=T1(ω,ε0)>0,使得對(duì)于所有的t≥T1,有

(41)

由(40)～(41)式得，對(duì)于所有的t≥T1,有

(42)

由于D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}是調(diào)和的，當(dāng)t→∞時(shí),有

因此,由(42)式得，存在T2=T2(τ,ω,D,σ,ε0)≥T1使得對(duì)于所有的t≥T2,有

(43)

對(duì)于(39)式右邊部分的第二項(xiàng),有

(44)

通過(41)式有,對(duì)于所有的t≥T1

(45)

注意到,由于(34)式可知上式最后一個(gè)積分是收斂的. 通過(44)～(45)式得

(46)

由于(45)式可知上式積分是收斂的. 通過與(46)式相同的論證,也可以得到

(47)

由(39),(43)和(46)～(47)式得,對(duì)于所有的t≥T2,

‖G(σ,τ-t,θ-τω,Gτ-t)‖2+

(48)

由(48)式,所需的估計(jì)直接得出.

在引理4.1的基礎(chǔ)上,我們將在下面闡述方程(23)～(25)的解算子有一個(gè)隨機(jī)拉回吸收集.

引理3.2在條件(35)下,對(duì)于每一個(gè)ε>0,令Bε={Bε(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}是由下列給出的一個(gè)隨機(jī)集

Bε(τ,ω)={G∈H:‖G‖2≤rε(τ,ω)},

其中R=Rε(τ,ω)是一個(gè)正整數(shù),形式如下

(49)

其中β1是和引理 3.1 中相同的常數(shù). 于是對(duì)于所有的τ∈,ω∈Ω和D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D,存在T=T(τ,ω,D,ε)>0,對(duì)于所有的t≥T和eεz(θ-tω)Gτ-t∈D(τ-t,θ-tω),使得對(duì)于(23)～(25)的解G滿足

G(τ,τ-t,θ-τω,Gτ-t)∈Bε(τ,ω).

(50)

另外,隨機(jī)變量Rε在(49)是調(diào)和的,即對(duì)于任何c>0,

(51)

證明作為引理3.1中當(dāng)σ=τ時(shí)的特殊情況,直接就得到了(50)式. 現(xiàn)在證明(51)式. 由于(49)式有

(52)

(53)

注意,如果t≥T0和s≤0,于是有t-s≥t≥T0. 因此,對(duì)于所有的t≥T0和s≤0從(53)式中得

(54)

(55)

|-2εz(θs-tω)|≤2εc3(t-s).

(56)

由(52)和(54)～(56)式得,對(duì)于所有的t≥T0,

因此由(35)式得

這就說明了Rε是調(diào)和的,正是(51)式所需要的.

接下來證明方程(23)～(25)的解的漸近緊性.

引理3.3在條件(35)下,當(dāng)t→∞,eεz(θ-tnω)G0,n∈D(τ-tn,θ-tnω),D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}時(shí),方程(23)～(25)的解的序列G(τ,τ-tn,θ-τω,G0,n)在空間H上有一個(gè)收斂的子序列.

證明當(dāng)引理 3.1 中σ=τ-1時(shí),得到了這里存在T=T(τ,ω,D,ε)>0和c=c(τ,ω,ε)>0使得對(duì)于所有的t≥T,有

‖G(τ-1,τ-t,θ-τω,G0)‖≤c,

(57)

當(dāng)eεz(θ-tω)G0∈D(τ-t,θ-tω)時(shí),對(duì)于任何的G0∈H都成立. 由于tn→∞,有N=N(τ,ω,D,ε)≥1使得對(duì)于所有的n≥N,有tn≥T. 由(57)式,存在對(duì)于所有的n≥N,

‖G(τ-1,τ-tn,θ-τω,G0,n)‖≤c.

(58)

由(58)式得,序列G(τ,τ-1,θ-τω,G(τ-1,τ-tn,θ-τω,G0,n))在空間H中是預(yù)緊的. 這個(gè)序列正是G(τ,τ-tn,θ-τω,G0,n).

4 隨機(jī)吸引子的存在性

本節(jié)證明非自治分?jǐn)?shù)階隨機(jī)方程(14)～(16)的調(diào)和拉回吸引子的存在性. 基于方程(23)～(25)的解的一致估計(jì),首先證明調(diào)和拉回吸收集的存在性和方程(14)～(16)的漸近緊性.

引理4.1在條件(35)下,給定ε>0,τ∈和ω∈Ω,令

Kε(τ,ω)={g∈H:‖g‖2≤e2εz(ω)rε(τ,ω)},

其中Rε(τ,ω)是和(49)式中相同的數(shù)，則Kε={Kε(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D是cocycle Φ的一個(gè)閉的可測(cè)拉回吸收集.

證明首先證明Kε吸收集合D中的每一個(gè)數(shù)D. 由(22)式有

g(τ,τ-t,θ-τω,gτ-t)=eεz(ω)G(τ,τ-t,θ-τω,Gτ-t),

(59)

其中g(shù)τ-t=eεz(θ-tω)Gτ-t.如果gτ-t∈D(τ-t,θ-tω),于是由(59)式得eεz(θ-tω)Gτ-t∈D(τ-t,θ-tω),這和引理 3.2 一起表明，存在T=T(τ,ω,D,ε)>0使得對(duì)于所有的t≥T,有

G(τ,τ-t,θ-τω,Gτ-t)∈Bε(τ,ω),

(60)

其中Bε(τ,ω)和(50)式中的相同. 由(59)～(60)和(49)～(50)式得,對(duì)于所有的t≥T,有

‖g(τ,τ-t,θ-τω,gτ-t)‖2≤e2εz(ω)rε(τ,ω).

(61)

另一方面,由(32)式有

Φ(t,τ-t,θ-tω,gτ-t)=g(τ,τ-t,θ-τω,gτ-t),

(62)

這和(61)式一起說明了對(duì)于所有的t≥T,有

Φ(t,τ-t,θ-tω,gτ-t)∈Kε(τ,ω),

并且因此Kε吸收集合D的所有元素.

現(xiàn)在證明Kε是調(diào)和的,即Kε∈D. 由(21)和(51)式，對(duì)于所有的c>0,有

這表明了Kε∈D. 注意Rε(τ,ω),當(dāng)ω∈Ω時(shí)是可測(cè)的,所以Kε(τ,ω)同樣也是.

下面將證明Φ的D-拉回漸近緊性.

引理4.2在條件(35)下,對(duì)于每一個(gè)τ∈,ω∈Ω和D={D(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}∈D,當(dāng)tn→∞和g0,n∈D(τ-tn,θ-tnω)時(shí),序列Φ(tn,τ-tn,θ-tnω,g0,n)在空間H中有一個(gè)收斂子序列.

證明由(59)和(62)式得

Φ(tn,τ-tn,θ-tnω,g0,n)=g(τ,τ-tn,θ-τω,g0,n)=

eεz(ω)G(τ,τ-tn,θ-τω,G0,n),

(63)

其中對(duì)于所有的n∈,G0,n=e-εz(θ-tnω)g0,n. 由于g0,n∈D(τ-tn,θ-tnω),得

eεz(θ-tnω)G0,n∈D(τ-tn,θ-tnω).

于是由引理 3.3 得到序列G(τ,τ-tn,θ-τω,G0,n)在空間H中有一個(gè)收斂子序列,這和(63)式一起得到了該證明.

本節(jié)主要的結(jié)論是在下面闡述的Φ在空間H中的調(diào)和拉回吸引子的存在性.

定理4.3假設(shè)條件(35)成立. 于是方程(14)～(16)的 cocycle Φ在空間H中有一個(gè)唯一的D-拉回吸引子Aε={Aε(τ,ω):τ∈,ω∈Ω}.

證明D-拉回吸引子Aε的存在性和唯一性可由引理4.1和引理4.2直接得出文獻(xiàn)[2,20,21]的結(jié)論.