算子及其函數(shù)的(UWπ)性質(zhì)與(ω)性質(zhì)*

車雨紅, 戴 磊, 郭志華

(①渭南師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,714099,渭南市; ②陜西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,710119,陜西省西安市)

0 引言及預備知識

在本文中,H表示無限維復可分的Hilbert空間,B(H)為H上的有界線性算子的全體. 對T∈B(H),用N(T)和R(T)表示T的零空間和值域. 根據(jù)T的零空間N(T)的維數(shù)n(T)與R(T)的余維數(shù)d(T)的有限性可以定義半Fredholm算子:若n(T)<∞且R(T)為閉集,稱T為上半Fredholm算子. 若T為上半Fredholm算子且n(T)=0,稱T為下有界算子. 若d(T)<∞,稱T為下半Fredholm算子. 若n(T)<∞且d(T)<∞,則稱T為Fredholm算子. 當算子T為半Fredholm算子時(上半Fredholm算子或者下半Fredholm算子),其指標定義為ind(T)=n(T)-d(T). 若ind(T)=0,稱T為Weyl算子. 算子T的升標asc(T)為滿足N(Tn)=N(Tn+1)的最小的非負整數(shù),若這樣的整數(shù)不存在,記asc(T)=+∞;算子T的降標des(T),為滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小的非負整數(shù),同樣當這樣的整數(shù)不存在時,記des(T)=+∞. 若asc(T)<∞且des(T)<∞,可以證明asc(T)=des(T). 若算子T有有限的升降標,稱T為Drazin可逆算子. 算子T稱為是Browder算子,若T為具有有限升標和有限降標的Fredholm算子. 可以證明T為Browder算子當且僅當T為半Fredholm 算子且當0<|λ|充分小時,T-λI可逆. 用σ(T)表示算子T∈B(H)的譜集. 通過上述敘述,可以定義算子T的上半Fredholm譜σSF+(T)、逼近點譜σa(T)、Drazin譜σD(T)以及Browder譜σb(T)為

可以看出算子值域的閉性以及算子的Kato性質(zhì)在算子理論中是重要的. 設(shè)ρk(T)={λ∈:其余集σk(T)=ρk(T)稱為算子T的Kato譜. 記σc(T)={λ∈:R(T-λI)不閉}. 另外,記σ0(T)為算子T的所有正規(guī)特征值組成的集合,即σ0(T)=σ(T)σb(T).若集合E為復數(shù)集的子集,則分別用isoE、accE和?E表示集合E的孤立點的全體、聚點的全體以及邊界點的全體.

1909年,Weyl H[1]發(fā)現(xiàn)Hilbert空間中自伴算子的Weyl譜恰好等于該算子的譜集除去有限重的孤立特征值,這個結(jié)論被稱作Weyl定理. 之后,許多數(shù)學工作者將Weyl定理進行了變型和推廣,定義了(ω)性質(zhì)以及(UWπ)性質(zhì)等[2-4]. (UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)是Weyl定理的新的變型,近年來備受關(guān)注[5-7]. 在本文中,討論了有界線性算子的(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)之間的關(guān)系,給出了有界線性算子同時滿足(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)的條件,并且討論了算子函數(shù)同時滿足(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)的條件.

1 有界線性算子的(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)

首先給出(UWπ)性質(zhì)[4]和(w)性質(zhì)[2]的定義.

對T∈B(H),若σa(T)σea(T)=PD(T),則稱T滿足(UWπ)性質(zhì),其中PD(T)=σ(T)σD(T)={λ∈σ(T):T-λI是Drazin可逆算子};若σa(T)σea(T)=π00(T),稱T滿足(ω)性質(zhì),其中π00(T)={λ∈isoσ(T):0

首先通過舉例,討論一下(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)之間的關(guān)系.

注解1.1(1) 算子具有(ω)性質(zhì),并不能推出其具有(UWπ)性質(zhì).

例如，設(shè)T∈B(l2)定義為T(x1,x2,x3,…)=(0,x2,x3,…).經(jīng)計算得σa(T)={0,1},σea(T)={1},π00(T)={0},PD(T)={0,1},則T具有(ω)性質(zhì),但不具有(UWπ)性質(zhì).

(2) 算子具有(UWπ)性質(zhì)并不能推出其具有(ω)性質(zhì).

(3) 存在算子既不具有(UWπ)性質(zhì),又不具有(ω)性質(zhì).

例如，設(shè)A,B∈B(l2)定義為

A(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,…);B(x1,x2,x3,…)=(0,x2,x3,…),

(4) 當算子T既具有(UWπ)性質(zhì),又具有(ω)性質(zhì)時,一定有π00(T)=PD(T)=σ0(T).

由注解1.1可以看出,雖然(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)從形式上來看具有關(guān)聯(lián),但是它們之間并沒有必然的聯(lián)系. 下面討論算子T同時滿足(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)的充要條件.

定理1.1設(shè)T∈B(H),則下列敘述等價：

(1)T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì);

(2)σb(T)=[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞};

(3)σb(T)=σD(T)=[σea(T)∪accσ(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈:n(T-λI)=∞}.

證明下證(1)和(2)等價. 設(shè)σb(T)=[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞}. 由于 [σa(T)σea(T)]∩[σea(T)∩accσ(T)]=?,[σa(T)σea(T)]∩{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}=?,且[σa(T)σea(T)]∩{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞}=?,故[σa(T)σea(T)]∩σb(T)=?,從而σa(T)σea(T)?σ0(T)?π00(T)且σa(T)σea(T)?σ0(T)?PD(T).

又[PD(T)∪π00(T)]∩{[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∩{λ∈σD(T):n(T-λI)=∝}}=?,故[PD(T)∪π00(T)]∩σb(T)=?,從而 [PD(T)∪π00(T)]?σ0(T)?σa(T)σea(T).因此,T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì).

反之,設(shè)(1)成立,即T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì). 包含關(guān)系σb(T)?[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞}顯然成立. 反之,?λ0?[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞}.不妨設(shè)λ0∈σ(T),則n(T-λ0I)>0,即λ0∈σa(T).

斷言:λ0∈PD(T).

事實上,若不然,設(shè)λ0?PD(T),即λ0∈σD(T). 由λ0?{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞}知n(T-λ0I)<∞.

若λ0?σea(T),則λ0∈σa(T)σea(T). 由于T滿足(UWπ)性質(zhì),于是λ0∈PD(T),矛盾.

若λ0?accσ(T),即λ0∈isoσ(T). 此時可看出λ0∈π00(T). 由T具有(w)性質(zhì)可知λ0∈σ0(T)?PD(T). 再次得到矛盾.

于是斷言成立,即λ0∈PD(T). 由于T滿足(UWπ)性質(zhì)知λ0∈σ0(T),于是λ0?σb(T).

(1)和(3)等價可類似得證.

對T∈B(H),若isoσ(T)?σp(T),則稱T為isoloid算子,其中σp(T)表示算子T的特征值.

再結(jié)合定理1.1可得下列推論.

推論1.1設(shè)T∈B(H),則下列敘述等價:

(1)T為isoloid算子且T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì);

(2)σb(T)=[σea(T)∩accσ(T)]∪[ρa(T)∩σ(T)]∪{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞};

(3)σb(T)=σD(T)=[σea(T)∩accσ(T)]∪[ρa(T)∩σ(T)]∪{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞}.

在(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)中,[σa(T)σea(T)∪PD(T)∪π00(T)]∩[accσea(T)∪accσk(T)]=?.下面利用accσea(T)∪accσk(T)刻畫(ω)性質(zhì)和(UWπ)性質(zhì).

推論1.2設(shè)算子T∈B(H),則下列敘述等價:

(1)T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì);

(2)σb(T)=accσea(T)∪accσk(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪[acc {λ∈:n(T-λI)

(3)σb(T)=σD(T)=accσea(T)∪accσk(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪[acc {λ∈:n(T-λI)

(4)σb(T)=accσea(T)∪acc isoσ(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪[acc {λ∈:n(T-λI)

(5)σb(T)=σD(T)=accσea(T)∪acc isoσ(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪[acc {λ∈:n(T-λI)

證明(1)?(2). 只需證σb(T)?accσea(T)∪accσk(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪[acc {λ∈:n(T-λI)

對任意的λ0?accσea(T)∪accσk(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪[acc {λ∈:n(T-λI)0,于是λ0∈σa(T). 由λ0?accσea(T)∪accσk(T)知,?>0使得當0<|λ-λ0|<時,其中是上半Fredholm算子且ind(T)≤0},并且若存在λ1滿足0<|λ1-λ0|<使得λ1∈σa(T),則λ1∈σa(T)σea(T)=π00(T),即λ1∈σ0(T),于是N(T-λ1I)=N(T-λ1I)∩R[(T-λ1I)k]={0},其中k為T-σ1I的升標,從而T-σ1I可逆,得到矛盾. 于是λ0∈isoσa(T).

斷言:λ0?σD(T).

事實上,若λ0∈σD(T),由λ0∈isoσa(T)以及λ0?{λ∈isoσa(T)∩σD(T):n(T-λI)=∞}知0

情形1 設(shè)λ0?acc {λ∈:n(T-λI)

根據(jù)λ0∈isoσa(T),此時λ0∈isoσ(T),于是λ0∈π00(T). 由T具有(ω)性質(zhì)知λ0∈σ0(T),這與λ0∈σD(T)矛盾.

情形2 設(shè)λ0?σc(T).

此時T-λ0I是上半Fredholm算子,且n(T-λ0I)>0. 由λ0∈isoσa(T)知λ0∈σa(T)σea(T). 由算子T具有(ω)性質(zhì)知,λ0?σD(T),再次矛盾. 于是斷言λ0?σD(T)成立,即λ0∈PD(T). 由算子T具有(UWπ)性質(zhì)知λ0?σb(T).

(2)?(1). 由條件知,

accσea(T)∪accσk(T)?σea(T)∩accσ(T),

acc {λ∈:n(T-λI)

{λ∈isoσa(T)∩σD(T):n(T-λI)=∞}∪{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞}.

從而σb(T)?[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈σD(T):(T-λI)=∞}.

所以σb(T)=σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞},由定理1.1可知T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì).

同理可證(1)和(3)的等價性,(1)和(4)的等價性以及(1)和(5)的等價性.

注解1.2在推論1.2中,當算子T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)時,σb(T)分解的5部分缺一不可.

例1設(shè)T∈B(l2)定義為T(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…). 經(jīng)計算得

(1)σa(T)=σea(T)={λ∈:|λ|≤1},π00(T)=PD(T)=?,則算子T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì);

(2) accσk(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}∪[acc {λ∈:n(T-λI)

從而accσea(T)不能缺失.

例3設(shè)T∈B(l2)定義為T(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…). 經(jīng)計算得σb(T)≠accσea(T)∪accσk(T)∪[acc {λ∈:n(T-λI)

同理可證得下列結(jié)論.

推論1.3 設(shè)算子T∈B(H),則下列敘述等價:

(1)T為isoloid算子且具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì);

(2)σb(T)=accσea(T)∪accσk(T)∪[ρa(T)∩σ(T)]∪[acc {λ∈:n(T-λI)

(3)σb(T)=accσea(T)∪acc isoσ(T)∪[ρa(T)∩σ(T)]∪[acc {λ∈:n(T-λI)

(4)σb(T)=σD(T)=accσea(T)∪acc isoσ(T)∪[ρa(T)∩σ(T)]∪[acc {λ∈:n(T-λI)

由升降標及譜集之間的關(guān)系知，當λ0∈?σ(T)且des(T-λ0I)<∞時,λ0∈PD(T)[8,定理2.1〗. 下面繼續(xù)討論,算子T具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)的判定條件. 令ρdes(T)={λ∈:des(T-λI)<∞},σdes(T)=ρdes(T). 由文獻[8]中引理2.4知,ρdes(T)?為開集,從而σdes(T)為閉集.

在上面的定理及推論中,將“{λ∈isoσa(T)∩σD(T):n(T-λI)=∞}”或者“{λ∈σD(T):n(T-λI)=∞}”改為“{λ∈σdes(T):n(T-λI)=∞}”,結(jié)論仍然成立.

推論1.4設(shè)T∈B(H),則

(1)T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)當且僅當σb(T)=accσ(T)∪{λ∈σdes(T):n(T-λI)=∞}=σea(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}.

(2)T為isoloid的且同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)當且僅當σb(T)=accσ(T)∪{λ∈σdes(T):n(T-λI)=∞}=σea(T)∪[ρa(T)∩σ(T)].

2 算子函數(shù)的(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)

當算子T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)時,并不能推出其算子函數(shù)同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì). 例如:設(shè)A,B∈B(l2)定義為

A(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,…);B(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,…),

下面討論算子函數(shù)同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)的條件. 需要下列事實[9,定理2.2〗:對任意的多項式p,p(σea(T))=σea(p(T))當且僅當?λ,μ∈ρSF+(T),都有ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0.

定理2.1設(shè)T∈B(H),則對任意的多項式p,p(T)同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)當且僅當

(1)T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì);

(2) ?λ,μ∈ρSF+(T),ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0;

(3) 若σ0(T)≠?,則σb(T)=[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈:n(T-λI)=∞}.

證明必要性.

(1) 顯然成立.

(2) 若存在λ0,μ0∈ρSF+(T),使得ind(T-λ0I)>0,ind(T-μ0I)<0. 顯然T-λ0I為Fredholm算子. 設(shè)ind(T-λ0I)=n>0,ind(T-μ0I)=-m<0,其中m為正整數(shù)或者+∞. 若m為正整數(shù),設(shè)p(x)=(x-λ0)m(x-μ0)n. 則p(T)為Weyl算子且n(p(T))>0,即0∈σa(p(T))σea(p(T)). 由于p(T)滿足(ω)性質(zhì),于是p(T)為Browder算子,從而T-λ0I為Browder算子,即ind(T-λ0I)=0,這就與ind(T-λ0I)=n>0矛盾;若m=+∞,設(shè)p(x)=(x-λ0)(x-μ0),同樣可知0∈σa(p(T))σea(p(T)). 類似于上面證明,再次得到矛盾.

(3) 若σ0(T)≠?,此時一定有σa(T)=σ(T). 事實上,取λ1∈σ0(T). 設(shè)T-λ2I下有界,令p(T)=(T-λ1I)(T-λ2I),則0∈σa(p(T))σea(p(T)). 由p(T)滿足(ω)性質(zhì)知p(T)為Browder算子,從而T-λ2I為Browder算子. 結(jié)合T-λ2I為下有界算子,于是T-λ2I可逆. 所以σa(T)=σ(T).

任給λ0?[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈:n(T-λI)=∞},則n(T-λ0I)<∞. 若λ0?σea(T),則λ0∈ρa(T)∪[σa(T)σea(T)],于是λ0∈[ρ(T)∪σ0(T)],從而λ0?σb(T). 若λ0?accσ(T),不妨設(shè)λ0∈isoσ(T). 選取λ1∈σ0(T). 令σ1={λ0},σ2={λ1},σ3=σ(T)[σ1∪σ2]. 由文獻[10]中定理2.10可知,T可分解為

其中σ(Ti)=σi. 令F0(z)=(z-λ0)(z-λ1),則

同時σ(F0(T1))=σ(F0(T2))={0}且0?σ(F0(T3))，于是0∈isoσ(F0(T)). 又由于0

這樣就有σb(T)=[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈:n(T-λI)=∞}.

對充分性,分兩種情況討論.

情況1 設(shè)σ0(T)=?. 由T滿足(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)可知σa(T)=σea(T)且π00(T)=PD(T)=?.σa(·)滿足譜映射定理,由條件(2) 知σea(·)也滿足譜映射定理,于是對任意的多項式p,σa(p(T))=p(σa(T))=p(σea(T))=σea(p(T)). 又由于π00(p(T))?p(π00(T))以及PD(p(T))?p(PD(T))知π00(p(T))=PD(p(T))=?. 由此可看出對任意的多項式p,p(T)同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì).

情況2 設(shè)σ0(T)≠?. 由條件(3)知σb(T)=σea(T),且T為isoloid算子. 對任意多項式p,設(shè)μ0∈π00(p(T)),并且設(shè)p(T)-μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk,其中λi≠λj(i≠j). 不妨設(shè)λi∈σ(T). 由于T為isoloid算子且n(T-λiI)≤n(p(T)-μ0I)<∞知λi∈π00(T). 由T滿足(ω)性質(zhì)知T-λiI為Browder算子,于是p(T)-μ0I為Browder算子,即π00(p(T))?σa(p(T))σea(p(T)). 反之,設(shè)μ0∈σa(p(T))σea(p(T))，且令

p(T)-μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk,

其中λi≠λj(i≠j). 由條件(2)知ind(T-λiI)≤0,于是對每一個i,都有λi?σea(T). 由σea(T)=σb(T)知T-λiI為Browder 算子. 所以p(T)-μ0I為Browder算子,即λ0∈π00(p(T)). 因此p(T)滿足(ω)性質(zhì).

對(UWπ)性質(zhì),由上面的證明過程可知,對于任意的多項式p,都有σa(p(T))σea(p(T))?π00(p(T)),則σa(p(T))σea(p(T))?PD(p(T)). 任給μ0∈PD(p(T)),仍然設(shè)p(T)-μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk,其中λi≠λj(i≠j). 不妨設(shè)λi∈σ(T),又由于σD(·)滿足譜映射定理,于是λi?σD(T). 結(jié)合T滿足(UWπ)性質(zhì),T-λiI為Browder算子,因而p(T)-μ0I為Browder 算子. 因此μ0∈σa(p(T))σea(p(T)). 于是p(T)滿足(UWπ)性質(zhì).

在定理2.1中,將條件(3)改為“若σ0(T)≠?,則σb(T)=accσea(T)∪accσk(T)∪{λ∈:n(T-λI)=∞}”或者“若σ0(T)≠?,則σb(T)=accσea(T)∪acc isoσ(T)∪{λ∈:n(T-λI)=∞}”,或“若λ0(T)≠?,則σb(T)=accσa(T)∪{λ∈σdes(T):n(T-λI)=∞}”,結(jié)論仍成立.

若σb(T)=[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈:n(T-λI)=∞},則任給λ∈ρSF+(T),都有ind(T-λI)≥0. 于是有下面的推論2.1.

推論2.1設(shè)算子T∈B(H),則對任意的多項式p,p(T)具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì)當且僅當算子T同時具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì),且下列之一成立：

(1)σb(T)=[σea(T)∩accσ(T)]∪{λ∈:n(T-λI)=∞};

(2)σa(T)=σea(T),且?λ,μ∈ρSF+(T),都滿足ind(T-λI)·ind(T-μI)≥0.

證明必要性. 若σ0(T)=?,由定理2.1知(2)成立. 而當σ0(T)≠?,由定理2.1知(1)成立.

充分性. 若(1)成立,則定理2.1中的條件(1)～(3)均滿足,故由定理2.1知對任意的多項式p,p(T)具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì).

若(2)成立,由于T滿足(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì),于是σ0(T)=?.再次由定理2.1知對任意的多項式p,p(T)具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì).

若對任意的多項式p,p(T)均滿足(ω)性質(zhì),可證得定理2.1中的(2)和(3)均成立. 又由于σD(·)滿足譜映射定理,可知下列結(jié)論:設(shè)T∈B(H)具有(UWπ)性質(zhì). 若對任意的多項式p,p(T)均滿足(ω)性質(zhì),則對任意的多項式p,p(T)均滿足(UWπ)性質(zhì).

例2.1設(shè)T∈B(l2)定義為T(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…),則T滿足定理2.1中的條件(1)～(3)，于是對任意的多項式p,p(T)具有(UWπ)性質(zhì)和(ω)性質(zhì).