一組凹凸性不等式及其應(yīng)用

趙添潤(rùn)， 王東紅， 王巖青

(1.南京航空航天大學(xué) >經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京211106； 2.南京航空航天大學(xué) >理學(xué)院，南京211106；3.中國(guó)人民解放軍陸軍工程大學(xué) >基礎(chǔ)部，南京210007)

1 引 言

函數(shù)凹凸性是高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì). 近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多數(shù)學(xué)愛(ài)好者就函數(shù)凹凸性定義之間的聯(lián)系和性質(zhì)進(jìn)行了深入的研究[1-3]. 曲線的凹凸性較廣泛地應(yīng)用于不等式的證明[4]. 本文在原有函數(shù)凹凸性定義和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出一組新的滿足函數(shù)凹凸性的不等式，進(jìn)一步推廣到n項(xiàng)形式，并將其應(yīng)用于求和式數(shù)列的極限.

2 函數(shù)凹凸性的定義與性質(zhì)

定義[5]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1，x2(x1≠x2)恒有

f(λx1+(1-λ)x2)>(<)λf(x1)+(1-λ)f(x2) (0<λ<1) ，

則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖形是凸(凹)的.

性質(zhì)[3]若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖形是凸(凹)的， 則對(duì)于I內(nèi)任意三點(diǎn)x1

(1)

3 一組新的滿足函數(shù)凹凸性的不等式

定理1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，a

(2)

即

又因?yàn)閤>0，所以

f(a)+f(b)≤f(a+x)+f(b-x).

(3)

同時(shí)，由不等式(1)還可得

(4)

即

又因?yàn)閤<(b-a)，所以

f(a)+f(b)≤f(a+x)+f(b-x) .

(5)

同時(shí)，由不等式(1)還可得

(6)

(7)

由不等式(3)-(7)可知，對(duì)?x∈(0，b-a)不等式(2)成立.

同理，可得如下定理.

定理2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，a

(8)

不等式(2)的幾何解釋如下：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖形是凸的，A和B為y=f(x)上的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)?x∈(0，b-a)，當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加x，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少x時(shí)，得到曲線上相應(yīng)的兩點(diǎn)D和E，則AB的中點(diǎn)C始終位于DE的中點(diǎn)F的下方，如此，直到點(diǎn)D和E的重合為點(diǎn)G(圖1).同理，不等式(8)的幾何解釋如圖2所示.

圖1 凸函數(shù) 圖2 凹函數(shù)

4 定理1和定理2的n項(xiàng)推廣形式

a+(n-2)Δx=b-Δx；a+(n-3)Δx=b-2Δx；…；a+(n-i)Δx=b-(i-1)Δx.

由定理1可得

即

將上式在i∈[1，n](i為正整數(shù))上累加得

即

同理，可得如下的定理.

5 應(yīng)用舉例

6 結(jié) 論

本文根據(jù)函數(shù)的凹凸性給出了兩個(gè)不等式，并進(jìn)行了推廣，進(jìn)一步給出不等式在求極限中的應(yīng)用，例子表明，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用文中的不等式具有積極的作用.

致謝對(duì)相關(guān)參考文獻(xiàn)給予的啟示及審稿人中肯的建議表示感謝！