揭示素?cái)?shù)分布規(guī)律的階準(zhǔn)素?cái)?shù)模型簡(jiǎn)介

◎馮軍剛 朱彥通(西安石油大學(xué)機(jī)械學(xué)院,陜西 西安 70065;卡內(nèi)基梅隆大學(xué),賓夕法尼亞州 匹茲堡 5)

1 引 言

在后文參考文獻(xiàn)[1]中，已經(jīng)出現(xiàn)了“pn階準(zhǔn)素?cái)?shù)模型”的雛形，只是沒有系統(tǒng)地建立過該模型，且因其中的誤差項(xiàng)，對(duì)誤差界值論證過粗、估計(jì)過大、嚴(yán)重失真，致使該式失去了定量計(jì)算的意義，從而使該式一直被束之高閣.該式實(shí)際上就是計(jì)算不大于x的pn階準(zhǔn)素?cái)?shù)數(shù)目πn(x)的上、下限的.其原型是：

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在該式中：π(y)表示不大于y的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，本文設(shè)其為n，并將第n個(gè)素?cái)?shù)記為pn，那么，π(y)便可用n取代；1+Φ(x;y)表示的是[0,x]上，篩去含有不大于y的素?cái)?shù)因子的合數(shù)，所存留下來的正整數(shù)(本文稱之為 “pn階準(zhǔn)素?cái)?shù)”)的個(gè)數(shù).于是，式(1)便被表示為：

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2 pn階準(zhǔn)素?cái)?shù)模型的特性簡(jiǎn)述

圖1 [0,30]上的素?cái)?shù)篩網(wǎng)示意圖和素?cái)?shù)元素分布圖

圖2 p3階準(zhǔn)素?cái)?shù)第一個(gè)周期上的三層篩網(wǎng)示意圖和準(zhǔn)素?cái)?shù)的分布圖

圖3 (1)階梯線π3(x)—A ；(2)直線(3)折線

π(x)=πn(x)+(n-1)；

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3 以素?cái)?shù)“前密后疏”為鏡鑒，證明誤差δn(x)不大于n

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4 pn階準(zhǔn)素?cái)?shù)模型的應(yīng)用舉例

4.1 定量計(jì)算素?cái)?shù)數(shù)目π(x)的上、下限及其底線，證明素?cái)?shù)數(shù)目的無窮性

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4.2 雙篩計(jì)算“特定素?cái)?shù)對(duì)”數(shù)目λ(x)及其底線，具結(jié)相關(guān)課題之證明

對(duì)于“單合數(shù)對(duì)”而言，這恰好將其減去了1次.但對(duì)于“雙合數(shù)對(duì)”而言，它卻被減去了2次，多減了1次.雙篩計(jì)算的結(jié)果，一般只能是“雙素?cái)?shù)對(duì)”數(shù)目的不足近似值,只有x較小、“特定準(zhǔn)素?cái)?shù)對(duì)”中不存在“雙合數(shù)對(duì)”時(shí)，才能更貼近真值.

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(10)

(11)

4.2.1 計(jì)算“和等于偶數(shù)x的特定素?cái)?shù)對(duì)”：“1+1”的數(shù)目λ1(x)的底線，證明任意偶數(shù)一定存在“素分割對(duì)”

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根據(jù)文獻(xiàn)[1]第379頁定理5的結(jié)論，當(dāng)x→∞時(shí)，則有：

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式(12)(15)證明：對(duì)于任意偶數(shù)x，其素分割對(duì)“1+1”的數(shù)目的底線是x的遞增函數(shù)；x足夠大以后的任意偶數(shù)，都一定有素分割對(duì)“1+1”存在.

4.2.2計(jì)算差等于2的特定素?cái)?shù)對(duì)——孿生素?cái)?shù)在[0,x]上的數(shù)目λ2(x)的底線，證明孿生素?cái)?shù)的無窮性

奇數(shù)序列雖是篩選“1+1”的“雙篩始序列”，但并非篩選“孿生素?cái)?shù)對(duì)”的“雙篩始序列”.因?yàn)槊總€(gè)奇數(shù)與其前后緊鄰的兩個(gè)奇數(shù)，都構(gòu)成了“孿生奇數(shù)對(duì)”，它們顯然不是相互獨(dú)立的，篩掉中間這個(gè)奇數(shù)，就篩掉了兩對(duì)“孿生奇數(shù)對(duì)”，而“雙篩計(jì)算”卻只減掉了一對(duì).用p2階篩網(wǎng)繼續(xù)單篩奇數(shù)序列，所得的p2階準(zhǔn)素?cái)?shù)序列，才是篩選“孿生素?cái)?shù)對(duì)”恰當(dāng)?shù)摹半p篩始序列”.因?yàn)閜2階準(zhǔn)素?cái)?shù)周期為6，每個(gè)周期內(nèi)只有兩個(gè)準(zhǔn)素?cái)?shù)元素，分別緊挨著前后端點(diǎn).如此每個(gè)p2階周期端點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)準(zhǔn)素?cái)?shù)(如5和7)，皆構(gòu)成了一對(duì)獨(dú)立的、差為2的“孿生準(zhǔn)素?cái)?shù)對(duì)”.所以，用λ2(x)表示差為2的“孿生素?cái)?shù)對(duì)”的數(shù)目，在式(11)中，代入雙篩起始序號(hào)k=3，得：

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