散體介質(zhì)SHPB 被動(dòng)圍壓試驗(yàn)體應(yīng)力計(jì)算的理論修正方法*

陳昊祥，李 杰，鄧樹新，王德榮，王明洋,

（1. 北京建筑大學(xué)土木與交通工程學(xué)院, 北京 100044；2. 陸軍工程大學(xué)爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210007；3. 南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094）

散體介質(zhì)作為消波耗能材料廣泛地應(yīng)用于土木工程以及軍事工程等領(lǐng)域，其在高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)物理力學(xué)性質(zhì)對(duì)于研究爆炸沖擊荷載作用下結(jié)構(gòu)的防災(zāi)減災(zāi)問(wèn)題具有重要意義。然而，關(guān)于中高應(yīng)變率（10～10s）下散體材料是否具有應(yīng)變率效應(yīng)，現(xiàn)有研究尚存在嚴(yán)重分歧。Yamamuro 等發(fā)現(xiàn)干砂的應(yīng)力-應(yīng)變曲線在不同應(yīng)變率（10～10s）下存在明顯差別，具有顯著的應(yīng)變率效應(yīng)。Luo 等的試驗(yàn)結(jié)果卻顯示，不同應(yīng)變率下散體材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本相同，未發(fā)現(xiàn)明顯的應(yīng)變率效應(yīng)。造成上述差異的原因可能在于，約束條件選取的不同，具體原因尚有待進(jìn)一步研究。而且，隨著我國(guó)南部海域島礁建設(shè)的蓬勃發(fā)展，散體介質(zhì)中-高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)研究的應(yīng)用前景越來(lái)越廣闊。

分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar, SHPB）是研究材料中-高應(yīng)變率下動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)的重要試驗(yàn)手段。相較于固體材料，散體介質(zhì)SHPB 試驗(yàn)過(guò)程中需要使用剛性套筒固定散體材料試樣。通過(guò)測(cè)量套筒外壁的環(huán)向應(yīng)變，根據(jù)厚壁圓筒理論（平面應(yīng)力狀態(tài)）即可反推出散體介質(zhì)試樣中的應(yīng)力與變形場(chǎng)。需要指出的是，散體材料的波阻抗較低，為了保證整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中試樣內(nèi)部的應(yīng)力平衡，試樣的長(zhǎng)度通常較短（一般不超過(guò)10 mm）。由于套筒的約束使得散體介質(zhì)試樣邊緣處產(chǎn)生了顯著的端部效應(yīng)（如圖1 所示），此時(shí)套筒不能滿足平面應(yīng)力假設(shè)，因此文獻(xiàn)[2-3, 9]中得到的結(jié)果并不準(zhǔn)確，需要進(jìn)行修正。魏久淇等指出上述文獻(xiàn)中計(jì)算存在的缺陷，嘗試通過(guò)數(shù)值模擬手段進(jìn)行修正并與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了數(shù)值修正方法的正確性，但受限于數(shù)值模擬方法自身的缺陷，他們未能給出修正系數(shù)的無(wú)量綱形式，導(dǎo)致數(shù)值修正方法的適用范圍有限。

圖1 鋼套筒端部效應(yīng)的示意圖Fig. 1 The configuration for the edge effect in the steel sleeve

受魏久淇等研究的啟發(fā)，本文中借助經(jīng)典板殼理論，將剛性套筒簡(jiǎn)化為受均勻帶狀內(nèi)壓作用的圓柱形殼體，推導(dǎo)套筒徑向位移、環(huán)向應(yīng)變與帶狀內(nèi)壓及套筒幾何、力學(xué)參數(shù)的關(guān)系，得到套筒徑向位移、環(huán)向應(yīng)變沿其軸向的分布；分析套筒長(zhǎng)度、厚度、內(nèi)外徑以及帶狀內(nèi)壓寬度之間等無(wú)量綱幾何參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響；將理論計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證理論計(jì)算的正確性。

1 厚壁圓筒理論計(jì)算試樣中的應(yīng)力場(chǎng)

為了探究聚合物材料在大變形條件下的非彈性力學(xué)行為，Ma 等采用厚壁圓筒理論對(duì)試樣中的應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了估算，后續(xù)的散體介質(zhì)SHPB 被動(dòng)圍壓試驗(yàn)研究大多采用了相同的計(jì)算方法。

假設(shè)散體試樣與套筒之間的徑向應(yīng)力滿足連續(xù)性條件，在極坐標(biāo)下，試樣內(nèi)部的應(yīng)力和變形分別為：

由式(1)～(2)可知，試樣的靜水壓力 σ 和體積應(yīng)變?chǔ)?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">分別為：

考慮到試樣軸向應(yīng)變 遠(yuǎn)εε大于徑r向 和環(huán)ε向應(yīng)變?chǔ)?， 即ε?ε=ε，于是試樣的體積應(yīng)變可化簡(jiǎn)為：

通過(guò)測(cè)量套筒外壁環(huán)向應(yīng)變 ε，并結(jié)合式(1)～(5)，即可得到散體介質(zhì)試樣的應(yīng)力與變形狀態(tài)。需要注意的是，上述理論推導(dǎo)過(guò)程中假定套筒處于平面應(yīng)力狀態(tài)，但由于端部效應(yīng)的存在，套筒受力并不能簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題，因此計(jì)算需要修正。

2 圓柱殼體理論計(jì)算試樣中的應(yīng)力場(chǎng)

為了便于環(huán)向應(yīng)變 ε的量測(cè)以及試件裝樣，在進(jìn)行散體介質(zhì)SHPB 試驗(yàn)時(shí)通常選用壁厚較薄的剛性套筒。試驗(yàn)過(guò)程中試樣內(nèi)部始終處于應(yīng)力平衡狀態(tài)，因此可將試樣與套筒間的相互作用力按靜力處理。此時(shí)，套筒可簡(jiǎn)化為受均勻帶狀內(nèi)壓作用的圓柱形殼體，如圖2 所示。圖2中，套筒長(zhǎng)度為2，均勻內(nèi)壓強(qiáng)度()作用長(zhǎng)度為2，取極坐標(biāo)(,,)。

圖2 套筒受力Fig. 2 Stress on the steel sleeve

由經(jīng)典彈性板殼理論可知，忽略軸向變形，均勻內(nèi)壓作用下套筒的平衡方程為：

對(duì)均勻內(nèi)壓()進(jìn)行Fourier 級(jí)數(shù)展開，可得：

將式(6)對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行Fourier 變換并化簡(jiǎn)，可得：

對(duì)式(8)進(jìn)行Fourier 逆變化，可得套筒徑向位移函數(shù)()：

3 數(shù)值模擬與理論對(duì)比

為了驗(yàn)證本文計(jì)算模型的正確性，采用文獻(xiàn)[4]中試驗(yàn)參數(shù)并與其數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，數(shù)值模擬過(guò)程中參數(shù)選取為：套筒長(zhǎng)度2=94 mm，套筒厚度=4.95 mm，套筒內(nèi)半徑=18.55 mm，套筒外半徑=23.5 mm，套筒彈性模量=210 GPa，泊松比ν=0.3；帶狀內(nèi)壓寬度2=7, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 50,60, 70, 80, 90, 94 mm。

將上述計(jì)算參數(shù)代入式(10)，可求得環(huán)向應(yīng)變沿套筒長(zhǎng)度方向的分布曲線，如圖3 所示。由圖3 發(fā)現(xiàn)，隨著內(nèi)壓寬度的增大，環(huán)向應(yīng)變的分布范圍擴(kuò)大、幅值先增大后減小。當(dāng)帶狀內(nèi)壓寬度2=10 mm（散體介質(zhì)試樣的長(zhǎng)度極限）時(shí)，環(huán)向應(yīng)變的分布范圍約為套筒長(zhǎng)度的1/3，此時(shí)柱殼理論計(jì)算結(jié)果約為厚壁圓筒理論結(jié)果的0.5 倍，表明厚壁圓筒理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際變形相差較大；當(dāng)2≈40 mm 時(shí)，柱殼理論計(jì)算結(jié)果達(dá)到最大值，約為厚壁圓筒理論結(jié)果的1.06 倍；當(dāng)2=2時(shí)，柱殼退化為厚壁圓筒。

圖3 套筒環(huán)向應(yīng)變沿軸線的分布Fig. 3 Distribution of hoop strain on the outer surface along with the steel sleeve

將文獻(xiàn)[4]中數(shù)值計(jì)算得到的修正系數(shù)與圓柱殼體理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖4 所示。由圖4可知，當(dāng)/≤0.25 時(shí)，殼體理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本重合，而與厚壁圓筒理論計(jì)算結(jié)果則相差較遠(yuǎn)；當(dāng)0.25＜/≤0.625 時(shí)，殼體理論計(jì)算結(jié)果略高于數(shù)值和厚壁圓筒理論計(jì)算結(jié)果，最大誤差為6%；當(dāng)/＞0.625 時(shí)，理論計(jì)算結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本相同，此時(shí)2 種理論精度都可滿足試驗(yàn)要求。

圖4 理論計(jì)算得到的修正系數(shù)與數(shù)值模擬結(jié)果的比較Fig. 4 Comparison of theoretical correction factors with numerical results

為了進(jìn)一步驗(yàn)證殼體理論計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，并分析套筒長(zhǎng)度、內(nèi)外徑以及均勻帶狀內(nèi)壓寬度等幾何參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，本文中在文獻(xiàn)[4]中數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)上，利用Abaqus/Explicit 有限元模擬軟件進(jìn)行補(bǔ)充計(jì)算，模型網(wǎng)格采用六面體線性縮減積分單元，邊界條件為自由邊界，不同計(jì)算模型網(wǎng)格劃分示意圖如圖5 所示。

圖5 模型網(wǎng)格劃分Fig. 5 The element meshes for the numerical models

算例1：套筒長(zhǎng)度2=94 mm，套筒厚度=3 mm，套筒內(nèi)半徑=19 mm，套筒外半徑=22 mm，套筒彈性模量=210 GPa，泊松比ν=0.3；帶狀內(nèi)壓寬度2=7, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,94 mm。此時(shí)，理論計(jì)算與數(shù)值計(jì)算對(duì)比結(jié)果如圖6 所示。

算例2：套筒長(zhǎng)度2=50 mm，套筒厚度=4.95 mm，套筒內(nèi)半徑=18.55 mm，套筒外半徑=23.5 mm，套筒彈性模量=210 GPa，泊松比ν=0.3；帶狀內(nèi)壓寬度2=7, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 50 mm。此時(shí)，理論計(jì)算與數(shù)值計(jì)算對(duì)比結(jié)果如圖7 所示。

圖7 理論計(jì)算得到的修正系數(shù)與數(shù)值模擬結(jié)果的比較（算例2）Fig. 7 Comparison of theoretical correction factors with numerical results (case 2)

對(duì)比圖6～7 中理論與數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著無(wú)量綱參數(shù)/、/、/的改變，殼體理論的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果非常接近，且精度遠(yuǎn)高于厚壁圓筒理論。

圖6 理論計(jì)算得到的修正系數(shù)與數(shù)值模擬結(jié)果的比較（算例1）Fig. 6 Comparison of theoretical correction factors with numerical results (case 1)

4 試驗(yàn)與理論對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證殼體理論的準(zhǔn)確性，將理論計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，試驗(yàn)結(jié)果同樣采用文獻(xiàn)[4]中的數(shù)據(jù)，具體如圖8 所示。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算可知，含水質(zhì)量分?jǐn)?shù)ω 為25%和30%的鈣質(zhì)砂試樣SHPB 試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的飽和點(diǎn)（飽和度S= 1）分別為ε=0.221 2 和ε=0.157 4。當(dāng)軸向應(yīng)變?chǔ)?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">超越飽和點(diǎn)之后，水壓力將占據(jù)主導(dǎo)地位，此時(shí)散體試樣處于靜水壓力狀態(tài)，即σ=σ=σ。

觀察圖8 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軸向應(yīng)變?cè)陲柡忘c(diǎn)之前，理論計(jì)算的徑向應(yīng)力σ明顯小于軸向應(yīng)力σ試驗(yàn)值，這是由散體介質(zhì)的側(cè)向壓力系數(shù)λ 通常小于1 引起的。根據(jù)試驗(yàn)和理論數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，可知λ≈0.548；當(dāng)軸向應(yīng)變超過(guò)飽和點(diǎn)之后，殼體理論（式(10)）計(jì)算得到的徑向應(yīng)力σ與軸向應(yīng)力σ的試驗(yàn)值基本重合，驗(yàn)證了殼體理論的準(zhǔn)確性。而厚壁圓筒理論（式(1)）的計(jì)算結(jié)果則明顯低于試驗(yàn)值，表明厚壁圓筒理論的計(jì)算誤差很大，此時(shí)并不適用。

圖8 理論軸向應(yīng)力-應(yīng)變理論曲線與試驗(yàn)結(jié)果[4]的比較Fig. 8 Comparison of theoretical axial stress-stain curves with experimental results[4]

5 結(jié) 束 語(yǔ)

SHPB 被動(dòng)圍壓試驗(yàn)為探究散體介質(zhì)在爆炸和沖擊荷載作用下的力學(xué)行為提供了一個(gè)行之有效的方法。本文中針對(duì)相關(guān)試驗(yàn)設(shè)計(jì)和計(jì)算中存在的弊端和不足，借助經(jīng)典板殼理論對(duì)現(xiàn)有計(jì)算方法進(jìn)行修正，總結(jié)如下。

(1)將SHPB 被動(dòng)圍壓試驗(yàn)中用于約束散體介質(zhì)的剛性套筒簡(jiǎn)化為受均勻帶狀內(nèi)壓作用的圓柱形殼體。推導(dǎo)了套筒徑向位移、環(huán)向應(yīng)變與均勻帶狀內(nèi)壓及套筒幾何、力學(xué)參數(shù)的定量關(guān)系，得到了套筒徑向位移、環(huán)向應(yīng)變沿其軸向的分布。

(2)分析了套筒長(zhǎng)度、厚度、內(nèi)外徑以及均勻帶狀內(nèi)壓寬度之間等無(wú)量綱幾何參數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，并與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了修正系數(shù)的準(zhǔn)確性。

(3)將理論結(jié)果與試驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。