沖擊載荷下輕質(zhì)夾芯拱最大剛度拓?fù)鋬?yōu)化及動力響應(yīng)*

劉 顥，白 震，李志強，李世強

（1. 太原理工大學(xué)機械與運載工程學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所，山西 太原 030024；2. 太原理工大學(xué)材料強度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點實驗室，山西 太原 030024；3. 山西省檢驗監(jiān)測中心（山西省標(biāo)準(zhǔn)計量技術(shù)研究院），山西 太原 030024）

多孔夾芯結(jié)構(gòu)作為一種具有高比剛度/比強度、輕質(zhì)、抗沖擊、吸能等功能特性的多功能一體化結(jié)構(gòu)，在航空航天、交通運輸、工程結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域都有著很好的應(yīng)用前景。高孔隙率的多孔金屬（泡沫、蜂窩、波紋板、 點陣結(jié)構(gòu)等）由于其具有良好的聲、熱、電磁屏蔽等功能，優(yōu)異的比強度/比剛度，良好的吸能緩沖特性，豐富多變的胞孔細(xì)觀構(gòu)型，作為夾芯結(jié)構(gòu)芯層，可滿足各種服役環(huán)境下的材料和結(jié)構(gòu)一體化多功能協(xié)同設(shè)計需求。有關(guān)這類結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下動力響應(yīng)的研究大部分集中在性能探索、應(yīng)用開發(fā)和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方面，對于設(shè)計空間更大的結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計，還缺乏深入的研究。究其原因：首先，材料細(xì)觀拓?fù)錁?gòu)型對宏觀結(jié)構(gòu)的影響機理復(fù)雜，缺乏針對性、專門性的設(shè)計目標(biāo)；其次，優(yōu)化過程中需要綜合考慮載荷歷程和結(jié)構(gòu)彈塑性響應(yīng)對結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的影響，涉及載荷的時空非線性和材料/結(jié)構(gòu)的慣性效應(yīng)、應(yīng)變率效應(yīng)，導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜，敏度分析困難；最后，制備具有專門設(shè)計且拓?fù)錁?gòu)型復(fù)雜的多孔材料難度較大。隨著結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)和3D 打印技術(shù)的日漸成熟，沖擊載荷下結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計與性能測試、評估受到越來越多學(xué)者的關(guān)注。

拓?fù)鋬?yōu)化的主要思想是在給定的約束條件下，通過改變結(jié)構(gòu)和材料的構(gòu)型和分布，來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)和材料性能的提高。常用到的拓?fù)鋬?yōu)化方法有變密度法、均勻化法和漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（evolutionary structural optimization, ESO）。Querin 等對漸進結(jié)構(gòu)法進行了改進與延伸，提出了雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（bi-directional evolutionary structural optimization，BESO），在優(yōu)化過程中可以增添和刪除單元。之后，Huang 等針對結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化，提出了一種基于靈敏度分析的改進BESO 法，該方法解決很多拓?fù)鋬?yōu)化中常見的問題，如棋盤格、優(yōu)化收斂性等。

目前，拓?fù)鋬?yōu)化大多集中在靜態(tài)載荷優(yōu)化，而工程應(yīng)用中常見的是動態(tài)載荷。針對動載優(yōu)化中出現(xiàn)的收斂困難、計算時間長等問題，Choi 等和Park 等提出了等效靜態(tài)載荷法（equivalent static loads optimization, ESLO），建立雙層拓?fù)鋬?yōu)化流程，在外層中對動態(tài)載荷工況下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行分析，并將動態(tài)載荷等效為具有相同位移響應(yīng)的靜態(tài)載荷，在內(nèi)層中對等效靜態(tài)載荷下的結(jié)構(gòu)進行拓?fù)鋬?yōu)化。藍萌等針對等效靜態(tài)載荷法計算效率低、優(yōu)化流程復(fù)雜的問題，將雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法作為優(yōu)化方法，對動態(tài)載荷優(yōu)化流程進行了改進，提高了優(yōu)化效率。王憲杰等引入基于懲罰指數(shù)的材料插值方案，對傳統(tǒng)BESO 法進行了數(shù)值計算方面的改進，并分別對宏觀結(jié)構(gòu)、微觀結(jié)構(gòu)、材料/結(jié)構(gòu)一體化等問題進行了多尺度、多相復(fù)合材料布局以及拓?fù)鋬?yōu)化。閆琨和Yan 等結(jié)合各類算法的優(yōu)點，在線彈性范圍內(nèi)，提出了一種考慮初始載荷激勵和時間效應(yīng)對結(jié)構(gòu)設(shè)計變量影響的靈敏度分析計算方法，利用該方法研究了殘余振動最小化結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題和結(jié)構(gòu)耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計問題。

本文中，基于BESO 法，將傳統(tǒng)動態(tài)載荷優(yōu)化法中的內(nèi)外層迭代引入到ABAQUS-MATLAB 平臺集成優(yōu)化中，改進動態(tài)載荷拓?fù)鋬?yōu)化流程，對子彈沖擊下的夾芯拱結(jié)構(gòu)進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計和動力學(xué)響應(yīng)分析，并與傳統(tǒng)泡沫鋁夾芯拱和實體拱進行對比。

1 ABAQUS-MATLAB 平臺集成優(yōu)化

利用BESO 方法進行ABAQUS-MATLAB平臺集成優(yōu)化流程如圖1 所示，包括以下5 個步驟。

圖1 ABAQUS-MATLAB 平臺集成優(yōu)化流程Fig. 1 ABAQUS-MATLAB platform integration optimization process

(1)在ABAQUS 中進行初始建模和網(wǎng)格劃分，導(dǎo)出inp 文件作為優(yōu)化目標(biāo)文件。

(2)在MATLAB 中設(shè)置模型的優(yōu)化參數(shù)：結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)、體積進化率和過濾半徑等。

(3)算法中調(diào)用ABAQUS 進行有限元分析，讀取結(jié)果fil 文件，并根據(jù)結(jié)果計算單元應(yīng)變能靈敏度。

(4) 將更新后的結(jié)構(gòu)信息寫入inp 文件中，完成inp 文件的更新，用于下一次的有限元分析。

(5)重復(fù)上述步驟(3)～(4)，直至優(yōu)化結(jié)果同時滿足目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)和收斂條件。

以最小柔度為目標(biāo)函數(shù)、結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)為約束條件，將設(shè)計域內(nèi)的連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散為有限個單元。將每個單元的相對密度x（或1）設(shè)為優(yōu)化設(shè)計變量，低效單元相對密度為，其他單元相對密度為1。利用有限元分析，計算得出低效的單元，并將其移除。通過設(shè)置刪除率，并一步步刪除設(shè)計域中的低效單元，來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化。其數(shù)學(xué)模型如下：

式中：為目標(biāo)函數(shù)，即最小柔度值；和分別為結(jié)構(gòu)的力和位移，=，為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；為當(dāng)前結(jié)構(gòu)總體積；Vi 為第i 個單元的體積；n 為結(jié)構(gòu)單元數(shù)；x為設(shè)計變量，是每個單元的相對密度；為相對密度的極小值；當(dāng)x=時，第個單元為低效待刪單元；當(dāng)x=1 時，第個單元為實體單元。

2 等效靜態(tài)載荷法

2.1 原理

在動態(tài)載荷的位移響應(yīng)-時間圖中，把時間分割成有限個時間點，將每個時間點與動態(tài)載荷產(chǎn)生相同位移的一組載荷集定義為等效靜態(tài)載荷，如圖2 所示。

從圖2 可以看出，動載荷下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)-可以與等效靜載荷在每個時間段上的位移響應(yīng)完全一致。動態(tài)載荷響應(yīng)分析方程為：

圖2 靜態(tài)載荷等效過程Fig. 2 Static load equivalent process

對式(2)進行變換，有：

再對式(3)進行變換，將式(3)中的連續(xù)時間變量等效為等效靜態(tài)載荷中個工況，可得：

式中：f和分別為第個時間點的等效靜態(tài)載荷和位移。式(4)將非線性動力分析等效變換為個時間節(jié)點的線性靜載優(yōu)化。

2.2 基于BESO 法的等效靜態(tài)載荷法

將建立的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型與等效靜態(tài)載荷法結(jié)合，式(1)可改寫為：

將上述優(yōu)化模型應(yīng)用于ABAQUS-MATLAB平臺集成，圖3 為等效靜載的BESO 方法優(yōu)化流程圖。

圖3 優(yōu)化流程Fig. 3 Optimized process

(1)先給定優(yōu)化設(shè)計變量以及優(yōu)化參數(shù)：目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)、進化率和懲罰指數(shù)等。

(2)建立2 個相同的有限元初始模型：模型1為動態(tài)載荷工況，用于在ABAQUS 中進行非線性分析；模型2 為等效靜載荷工況，用于MATLAB中進行雙向漸進結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。采用雙有限元模型雖然增加了平臺之間的信息交互流程，但可以充分利用商業(yè)有限元軟件強大的計算和前后處理能力，提高了計算精度，對幾何結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的模型有更好的適用性。

(3)對模型1 在沖擊載荷工況下進行非線性響應(yīng)分析，并提取不同時間節(jié)點上的結(jié)構(gòu)響應(yīng)（接觸力、加速度、速度)，構(gòu)造與沖擊載荷有相同位移場的等效靜載荷f,=1,2,···,；由于結(jié)構(gòu)受子彈沖擊時，其外部動載荷未知，所以在獲得等效靜載荷之前，需要將子彈沖擊載荷進行轉(zhuǎn)化，如將其轉(zhuǎn)化為接觸力、子彈質(zhì)量與其加速度乘積或者接觸面初速度等，在MATLAB 與ABAQUS 信息交互中提取接觸力數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為外部動載。

(4)將得到的等效靜載荷作為模型2 的外載荷，在MATLAB 中利用雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法進行拓?fù)鋬?yōu)化，并在MATLAB 中進行內(nèi)層優(yōu)化迭代，直至完成每個時間節(jié)點的靜態(tài)載荷工況。

(5)更新設(shè)計變量，將優(yōu)化結(jié)果寫入模型1，檢測是否滿足優(yōu)化目標(biāo)以及收斂條件。若滿足，則結(jié)束；若不滿足，則返回至步驟(3)。收斂條件為：

式中：ε為相對誤差值，這里取0.01；為當(dāng)前迭代次數(shù)；為自然數(shù)，通常取5。則式(6)表示過去10 步迭代中柔度的改變量應(yīng)不超過0.01。

3 沖擊載荷下夾芯拱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計和響應(yīng)分析

3.1 優(yōu)化設(shè)計

沖擊載荷是工程實際中較常見的外載荷。圖4 為兩端固支的拱形二維夾芯梁結(jié)構(gòu)，在上面板中心處受到初速度=100 m/s 的子彈沖擊，子彈寬度=5 mm。設(shè)計域是×=120 mm×20 mm的中間拱芯層，拱半徑=185 mm；上、下面板為非設(shè)計域，面板厚度=1 mm；將中間設(shè)計域劃分為122×20 個四邊形單元，單元邊長為1 mm。BESO 方法中通過敏度過濾技術(shù)來對過濾半徑內(nèi)其他單元的敏度值進行加權(quán)平均，以修正中心單元的靈敏度，減少網(wǎng)格依賴性，可以有效避免因網(wǎng)格尺寸不同導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果的差異。

圖4 沖擊載荷下夾芯拱模型Fig. 4 The sandwich arch model under impact load

夾芯拱結(jié)構(gòu)中間芯層和上、下面板材料都選擇鋁，其主要的力學(xué)性能參數(shù)：密度為2.7 g/cm，彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3，屈服強度為80 MPa，剪切模量為700 MPa；子彈為密度為7.9 g/cm的剛體。整個優(yōu)化過程中不考慮材料的失效和破壞。

主要優(yōu)化參數(shù)：目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)為0.5；刪除率為0.03；過濾半徑為3。

采用雙向漸進結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法中的軟殺法進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，為了避免剛度矩陣奇異化，用較小的相對密度來表示靈敏度數(shù)值低的待刪除單元的相對密度，如取=10作為待刪除單元的相對密度，同時在優(yōu)化過程中賦予這些單元較小的彈性模量。在后續(xù)的有限元分析中，為避免這些待刪單元出現(xiàn)畸變，優(yōu)化結(jié)束后在HyperMesh 中刪去相對密度較小的單元。

最終的優(yōu)化結(jié)果如圖5 所示。芯層結(jié)構(gòu)主要可分為3 個部分：中間區(qū)域A，主要呈現(xiàn)出類似三角點陣夾芯結(jié)構(gòu)的構(gòu)型；過渡區(qū)域B，主要呈現(xiàn)出Y 形構(gòu)型；邊界區(qū)域C，主要呈現(xiàn)C 形構(gòu)型。優(yōu)化后的夾芯拱結(jié)構(gòu)體積為其初始結(jié)構(gòu)體積的50%，降低了用料成本，減輕了自重，而且優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)對稱，在主要承受載荷的位置材料分布較密集，受力合理，也較美觀。將優(yōu)化結(jié)果稱為模型O。

圖5 芯層結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果Fig. 5 Optimization result of a sandwich structure

圖6 為夾芯拱結(jié)構(gòu)優(yōu)化歷程，夾芯拱結(jié)構(gòu)經(jīng)歷25 步外層迭代后收斂完成，即進行了25 次非線性動力學(xué)分析，每次非線性沖擊載荷被等效為25 次線性靜載，整體優(yōu)化過程較穩(wěn)定。

圖6 夾芯拱結(jié)構(gòu)優(yōu)化歷程Fig. 6 The process of sandwich arch structure optimization

3.2 最終的優(yōu)化結(jié)果在沖擊載荷下的動態(tài)響應(yīng)

如圖7 所示為沖擊載荷下，夾芯結(jié)構(gòu)根據(jù)上、下面板的速度特征，將芯層分為了2 種類型。圖7(a)所示為硬芯層夾芯結(jié)構(gòu)，其主要特征為：上面板速度隨時間不斷減小，下面板速度隨時間不斷增大，芯層在這一階段持續(xù)壓縮，當(dāng)=時上、下面板速度達到一致，芯層不再壓縮，上、下面板速度以相同頻率減小。圖7(b)所示為軟芯層夾芯結(jié)構(gòu)，其主要特征為：面板速度隨時間不斷減小，下面板速度隨時間先增大，當(dāng)=時下面板速度開始減小，當(dāng)=時上、下面板速度達到一致，芯層不再壓縮，上、下面板速度以相同頻率減小。

圖7 不同類型芯層夾芯結(jié)構(gòu)上、下面板速度時程曲線Fig. 7 Velocity versus time histories of the mid-span of the top and bottom panels for two types of sandwich response[34]

圖8 為初速度=100 m/s、寬度=5 mm 的子彈沖擊時，經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)上、下面板速度時程曲線。從圖8 可以看出，經(jīng)過優(yōu)化后的夾芯結(jié)構(gòu)上、下面板的速度特征與圖7(a)的芯層特征較接近，說明經(jīng)過優(yōu)化后的芯層就有較高的剛度。但同時可以看出，在上、下面板以共同的速度運動之前，速度曲線出現(xiàn)多次相交，這是由于芯層材料分布不均勻，由圖5 可知，區(qū)域A 及與區(qū)域B 連接處材料分布較多，質(zhì)量較大，受到慣性作用與彈性能釋放的影響，下面板受到芯層的沖擊作用較大。

圖8 經(jīng)優(yōu)化后的夾芯拱上、下面板速度時程曲線Fig. 8 Velocity-time curves of top and bottom panels of the optimized sandwich arch

優(yōu)化結(jié)構(gòu)的變形響應(yīng)過程如圖9 所示。當(dāng)=0 ms 時，子彈開始作用于上面板；當(dāng)=0.06 ms 時，子彈作用區(qū)域處面板出現(xiàn)明顯的凹陷變形，結(jié)合圖9 以及圖5 可以看出，芯層中間區(qū)域A 承受較大壓縮變形（圖9 中藍色區(qū)域），由于芯層的特殊結(jié)構(gòu)，芯層的變形主要以區(qū)域A 上部凹陷，下部支撐受壓向兩側(cè)擴展為主，此時下面板并未發(fā)生明顯的變形。當(dāng)=0.10 ms 時，壓縮變形從A 區(qū)域下部支撐向結(jié)構(gòu)邊界兩側(cè)傳播，A 區(qū)域下部橫梁受拉開始變形，導(dǎo)致芯層區(qū)域B 發(fā)生以拉彎聯(lián)合作用的為主的旋轉(zhuǎn)變形模式，B 區(qū)域上面板向中部擠壓，下面板向邊界處擠壓，均呈現(xiàn)出向上隆起的變形。當(dāng)=0.12 ms 時，下面板的速度與上面板的相等。當(dāng)=0.14 ms 時，下面板的速度達到最大值，此時下面板的速度高于前面板的。當(dāng)=≈0.25 ms 時，區(qū)域B 處上、下面板隆起變形進一步增加，芯層C 區(qū)域上端出現(xiàn)拉伸變形，下端出現(xiàn)壓縮屈曲變形模式，之后上、下面板以相同的速度運動；當(dāng)=0.58 ms 時，上、下面板速度減小為0 m/s，上、下面板出現(xiàn)輕微的彈性回彈，結(jié)構(gòu)整體在平衡位置（殘余撓度）振動。

圖9 經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在v0=100 m/s 子彈沖擊下的響應(yīng)過程Fig. 9 Response process of the optimized structure under the impact of a projectile with the initial velocity of 100 m/s

3.3 相同工況下優(yōu)化結(jié)構(gòu)與對照結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析

為了驗證最終優(yōu)化結(jié)果的抗沖擊性能的優(yōu)異性，對照模型A 選擇Voronoi 泡沫鋁夾芯拱模型，對照模型B 選擇等質(zhì)量的實體拱模型，如圖10 所示。模型A 芯層泡沫鋁的厚度為0.6 mm，泡沫鋁體積為芯層總體積的50%，芯層與上、下面板之間定義為Tie 接觸；為了研究對比芯層的吸能占比情況，在模型B 的實體拱中也分別對應(yīng)設(shè)計了上、下面板，面板與實體芯層之間也采用Tie 接觸的方式連接。2 種對照模型均選用與前述優(yōu)化模型相同的材料屬性，均不考慮材料的破壞與失效。

圖10 所示的2 種對照模型，拱半徑=185 mm，跨度=120 mm，上、下面板厚度=1 mm，子彈寬度=5 mm，初速度=100 m/s。模型A 泡沫鋁芯層厚度=20 mm；模型B 實體芯層厚度=10 mm。2 種對照模型均采用四邊形單元，單元邊長為1 mm。

圖10 2 種不同芯層等質(zhì)量對照模型Fig. 10 Two different core models with equal mass

2 個對照模型上、下面板速度時程曲線如圖11 所示，模型A 在==0.17 ms 時，上、下面板中心處的速度達到一致，面板與芯層開始以相同的速度向下運動，當(dāng)=0.58 ms 時，上、下面板的速度降低為0 m/s，上、下面板出現(xiàn)輕微的彈性回彈；而對于實體拱模型B，當(dāng)==0.04 ms 時，上、下面板中心處的速度便達到一致，芯層幾乎無壓縮，在=0.60 ms 時上、下面板速度降低為0 m/s，上、下面板開始輕微地彈性回彈。2 個對照模型的響應(yīng)完全符合圖7(a)的芯層特征。

圖11 兩模型上、下面板速度時程曲線Fig. 11 Velocity-time curves of the top and bottom panels of two models

由于人體或者被保護的主體結(jié)構(gòu)一般位于夾芯結(jié)構(gòu)下（后）方，夾芯結(jié)構(gòu)作為防護附層結(jié)構(gòu)，一般可通過考察夾芯結(jié)構(gòu)下面板的撓度和芯層的吸能來判斷夾芯結(jié)構(gòu)抗沖擊性能優(yōu)劣，圖12 所示為最終優(yōu)化結(jié)果與2 種對照模型在相同沖擊載荷下上面板中心處的撓度隨時間的變化曲線，從圖中可以看出，經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)上面板撓度最小，2 種對照模型上面板撓度幾乎相同，上面板撓度達到峰值以后，會發(fā)生小幅的彈性回彈，從圖11 變形模式可以看出，對照模型B 整體變形較大，而對照模型A 由于子彈壓入芯層，造成上面板中心處位移較大。圖13 為3 種結(jié)構(gòu)下面板撓度-時程曲線。由圖13(a)可知，經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)下面板撓度最小，而對照模型B 下面板位移最大。圖13(b)為0～20 μs 內(nèi)，下面板中心處的撓度-時間曲線，由圖可知，模型B 由于實體芯層，芯層無壓縮，上、下面板中心處幾乎同時開始產(chǎn)生位移，模型A 下面板中心處開始產(chǎn)生位移的時間為=11 μs，而經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)下面板開始發(fā)生變形的時間最晚，為=15 μs。芯層壓縮變形時間的增加，更有利于減小后面板受到的沖擊作用，提高結(jié)構(gòu)的能量吸收能力。

圖12 上面板撓度-時間曲線Fig. 12 Deflection-time curves of top panles

圖13 下面板撓度-時間曲線Fig. 13 Deflection-time curves of bottom panels

由前面的分析可知，當(dāng)初始沖擊速度為100 m/s 時，經(jīng)過優(yōu)化后的夾芯拱具有較好的抗沖擊性能，但在實際工程中的沖擊載荷可能是多樣的，針對單一工況的優(yōu)化是否能滿足不同工況的需求，必須經(jīng)過進一步的驗證。為此，圖14 對比了3 種模型在初速度=20，50，80，100 m/s 的子彈沖擊下的下面板的撓度和芯層的能量吸收。圖14(a)為3 種模型下面板中心處的撓度對比，從圖中可以看出：經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在不同初速度的子彈沖擊下，下面板撓度均為最小。14(b)為在不同初速度的子彈沖擊下，芯層的比吸能（=/，為芯層塑性耗散能，為芯層質(zhì)量）情況，可以看到經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)芯層比吸能均高于模型A 和模型B 的芯層比吸能。由于子彈剛性較大、沖擊速度較高，可以忽略彈性段能量，芯層能量耗散直接采用其塑性耗散能量。

圖14 3 種模型在不同速度沖擊下的動態(tài)響應(yīng)Fig. 14 Dynamic response of the three models at different impact velocities

由圖14(c)可知：不同初速度的子彈沖擊下，經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)芯層吸能占比（芯層塑性能量耗散與總塑性能量耗散之比，即/）分別為84.6%、85.3%、84.5%和83.9%，模型A 的芯層吸能占比分別為74.9%、74.6%、73.6%和74.9%，模型B 的芯層吸能占比分別為66.6%、67.9%、69.8%和70.1%。對比以上各組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)抗沖擊性能最優(yōu)，而對照模型A（Voronoi 泡沫鋁夾芯拱模型）抗沖擊性能次之，對照模型B（等質(zhì)量實體拱模型）抗沖擊性能最差。在相同的體積約束和載荷條件下，刪除低效的單元而添加或保留高效的單元，有效地提高了材料的利用率，使得芯層每個部位都充分發(fā)揮作用；而對照組的結(jié)構(gòu)中材料均勻分布，必然會導(dǎo)致某些部分的材料不能被充分利用，未起到抵抗變形的作用，材料合理分配使結(jié)構(gòu)具有較好的抗沖擊性能。在低速沖擊下，幾種結(jié)構(gòu)的變形較小，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)均未超過變形閾值，芯層結(jié)構(gòu)受拉壓彎扭轉(zhuǎn)作用較小，一些部位未能充分發(fā)揮作用，所以優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)抗沖性能優(yōu)勢并不明顯；高速沖擊下，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)能夠充分發(fā)揮材料的性能，在本文研究的沖擊載荷范圍內(nèi)，沖擊速度越高，這種優(yōu)勢越明顯。

較低的峰值沖擊力和較高的平臺力，代表了結(jié)構(gòu)具有較好的吸能緩沖特性，也是評價結(jié)構(gòu)抗沖擊性能的一類指標(biāo)。圖14(d)為3 種模型在初速度=100 m/s 的子彈沖擊下的力-位移曲線，從圖中可以看出：當(dāng)結(jié)構(gòu)受到?jīng)_擊時，在較短的行程內(nèi)，沖擊接觸力迅速升高至峰值，隨后下降至平臺階段，當(dāng)子彈反彈后沖擊接觸力降為零。與隨機泡沫鋁夾芯拱（模型 A）相比，經(jīng)過優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)的沖擊接觸力峰值和平臺階段都較接近；與實體拱（模型 B）相比，經(jīng)過優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)的沖擊接觸力峰值下降約17.96%，同時平臺階段沖擊接觸力水平較高。

3.4 非對稱載荷下優(yōu)化結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

圖15 為在初速度=100 m/s 的非對稱載荷下的夾芯拱模型，子彈的偏移量=5 mm（與對稱載荷相比，沖擊點位置偏差 δ =/=1），其他模型尺寸與圖4 模型相同。

圖15 非對稱載荷下夾芯拱模型Fig. 15 The sandwich arch model under asymmetric load

圖16 所示為在非對稱載荷下夾芯拱模型的優(yōu)化結(jié)果，與圖5 所示的優(yōu)化結(jié)果相比，最大的區(qū)別在于結(jié)構(gòu)的不對稱，由于載荷作用部位偏向右側(cè)，芯層左側(cè)所受的拉壓彎扭作用較小，低效單元較多，必然導(dǎo)致在芯層右側(cè)單元分布較為密集；中心孔洞向左側(cè)偏移，但結(jié)構(gòu)仍然保持前者的一些基本特征，即過渡區(qū)域主要呈現(xiàn)C 形構(gòu)型，左側(cè)邊界處也相應(yīng)增加了桿件，以提高結(jié)構(gòu)承載能力。

圖16 非對稱載荷下優(yōu)化結(jié)果Fig. 16 Optimization result under asymmetric load

將非對稱載荷下的優(yōu)化模型稱為模型N，將原對稱載荷下的優(yōu)化模型稱為模型O，分析對比2 種優(yōu)化結(jié)構(gòu)與2 種等質(zhì)量對照模型（模型A、模型B）在相同工況下的動態(tài)響應(yīng)。圖17 為在初速度=100 m/s 的子彈無偏移的沖擊載荷下，4 種模型的動態(tài)響應(yīng)對比。圖17(a)為4 種模型上面板跨中處撓度時間曲線，從圖中可以看出非對稱載荷下的優(yōu)化模型N 在子彈無偏差沖擊下，上面板撓度大于優(yōu)化模型O 而小于2 種對照模型，且有小幅彈性回彈；圖17(b)所示為下面板跨中處撓度隨時間變化曲線，可以看出2 種優(yōu)化結(jié)構(gòu)下面板撓度幾乎相同，模型O 下面板最終撓度為14.19 mm，模型N 下面板最終撓度為14.28 mm，分析可知：在子彈沖擊點位置偏差δ=1 時，在相同的對稱沖擊載荷下，優(yōu)化模型N 的下面板撓度比模型O 下面板撓度僅增大0.6%；圖17(c)所示4 種模型芯層比吸能對比，分析數(shù)據(jù)可知：在子彈無偏移沖擊時，模型N 的比吸能僅比模型O 減小0.7%。

圖17 4 種模型在子彈偏移量w=0 mm (δ=0）下的動態(tài)響應(yīng)Fig. 17 Dynamic response of the four models under w=0 mm (δ=0) of a projectile

圖18(a)與(b)所示為在子彈初速度=100 m/s，偏移量=5 mm 時，4 種模型上、下面板跨中處的撓度隨時間變化曲線以及最終的響應(yīng)結(jié)果，從圖中可以看出：隨著時間的變化，2 個模型上、下面板撓度不斷增大，撓度達到峰值后都有輕微的彈性回彈，且模型O 的上、下面板跨中處撓度比模型N 面板跨中處撓度僅分別增大了4.4%和2.2%。圖18(c)所示為4 種模型在子彈初速度=100 m/s，偏移量=5 mm 時芯層的比吸能情況對比，由圖中數(shù)據(jù)分析可知：優(yōu)化模型N 的芯層吸能占比略優(yōu)于優(yōu)化模型O，且優(yōu)于2 種對照模型。由以上各組數(shù)據(jù)可得：在子彈偏移量=0 mm 時，優(yōu)化模型O 的抗沖擊性能、芯層吸能等略優(yōu)于優(yōu)化模型N，且2 種優(yōu)化模型均優(yōu)于對照模型；在子彈偏移量=5 mm 時，優(yōu)化模型N 的以上性能略優(yōu)于優(yōu)化模型O，且均優(yōu)于對照模型。從而表明：不同載荷工況下，最終的優(yōu)化結(jié)果雖然稍有不同，每種工況下得到的優(yōu)化結(jié)果在相應(yīng)工況下所展現(xiàn)的力學(xué)性能也優(yōu)于其他優(yōu)化結(jié)構(gòu)，并且對稱優(yōu)化結(jié)果在非對稱載荷作用下，力學(xué)性能也優(yōu)于等質(zhì)量對照模型。

圖18 4 種模型在子彈偏移量w=5 mm（δ=1）下的動態(tài)響應(yīng)Fig. 18 Dynamic response of the four models under w=5 mm (δ=1) of projectile

以上分析充分說明，雖然結(jié)構(gòu)在非對稱沖擊下，優(yōu)化結(jié)果有差異，但在相同沖擊載荷下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性與抗沖擊性能相差較小，通過對稱載荷對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，具有一定的普適性，其結(jié)果在工程中具有較高的應(yīng)用價值。

4 結(jié) 論

將等效靜態(tài)載荷優(yōu)化思想引入雙向漸進結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法中，基于雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，改進了動態(tài)載荷拓?fù)鋬?yōu)化流程，針對未知外部動載荷，在優(yōu)化過程中對載荷進行了變換處理，增加了MATLAB 與ABAQUS 的信息交互過程，充分利用了商業(yè)有限元軟件強大的計算和前后處理能力，提高了計算精度，對幾何結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的模型有更好的適用性。以夾芯拱芯層剛度最大化為目標(biāo)，獲得了沖擊載荷下夾芯拱的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型，并與相同質(zhì)量的Voronoi 泡沫鋁夾芯拱、實體拱的動態(tài)響應(yīng)進行了對比。

經(jīng)過優(yōu)化后的夾芯拱芯層可分為3 個對稱的部分：跨中類三角點陣桁架結(jié)構(gòu)區(qū)域、邊界C 形結(jié)構(gòu)區(qū)域以及跨中和邊界之間的Y 形結(jié)構(gòu)過渡區(qū)域。與等質(zhì)量的Voronoi 泡沫鋁夾芯拱、實體拱相比，在相同的沖擊速度下，經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)撓度最小，芯層比吸能最高；當(dāng)沖擊速度較低時，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)均未超過變形閾值，芯層結(jié)構(gòu)受拉壓彎扭轉(zhuǎn)作用較小，一些部位未能充分發(fā)揮作，經(jīng)過優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能優(yōu)勢并不明顯；在所研究的沖擊速度范圍內(nèi)，沖擊速度越高，經(jīng)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能越好。

對初速度=100m/s、子彈偏移量δ=1 子彈沖擊下的夾芯拱結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，并對比了對稱沖擊與非對稱沖擊下2 種優(yōu)化模型的動態(tài)響應(yīng)。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到對稱沖擊載荷時，在對稱沖擊載荷下獲得優(yōu)化結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能、芯層吸能等略優(yōu)于在非對稱載荷下獲得的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到非對稱沖擊載荷時，在非對稱載荷下獲得優(yōu)化結(jié)構(gòu)的性能略優(yōu)于在對稱沖擊載荷下獲得優(yōu)化結(jié)構(gòu)的。但在2 種沖擊載荷下，經(jīng)過優(yōu)化后所得結(jié)構(gòu)的性能均優(yōu)于對照模型。從而表明：不同載荷工況下，最終的優(yōu)化結(jié)果雖有所不同，每種工況下得到的優(yōu)化結(jié)果在相應(yīng)工況下所展現(xiàn)的力學(xué)性能也優(yōu)于其他結(jié)構(gòu)，但在相同沖擊載荷下，2 種優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性和抗沖擊性能相差較小；通過對稱載荷對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，具有一定的普適性。