約束阻尼板的黏彈性阻尼層細(xì)觀拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

房占鵬，冉凱文，田淑俠，肖艷秋，王 猛

(鄭州輕工業(yè)大學(xué) 河南省新能源汽車輕量化設(shè)計(jì)與制造工程研究中心，河南 鄭州 450002)

0 引言

約束阻尼結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、減振降噪效果好、可靠性高等優(yōu)勢(shì)，在汽車、航空、航天和艦船等行業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用[1]。在輕量化設(shè)計(jì)發(fā)展趨勢(shì)下，根據(jù)控制結(jié)構(gòu)質(zhì)量和減振性能需求，需要嚴(yán)格控制約束阻尼材料用量和深入挖掘約束阻尼材料的耗能潛力。因此，有必要開展約束阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

在宏觀尺度上，約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化以結(jié)構(gòu)阻尼特性[2-4]或結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)[5]為優(yōu)化目標(biāo)、以輕量化為約束，在全設(shè)計(jì)域內(nèi)獲得約束阻尼材料的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型。然而，黏彈性阻尼材料屬性對(duì)約束阻尼結(jié)構(gòu)的減振降噪性能有重要的影響，學(xué)者們對(duì)黏彈性阻尼材料的微觀(或細(xì)觀)構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化，以獲得最佳的材料屬性[6-7]或宏觀結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性[8-9]。當(dāng)前，對(duì)黏彈性阻尼材料微觀構(gòu)型優(yōu)化的研究，采用的均勻化方法對(duì)自由狀態(tài)的材料單胞等效分析具有很高的精度，但是約束阻尼結(jié)構(gòu)的黏彈性阻尼層的上下表面受到約束層和基層的約束，對(duì)黏彈性阻尼層等效材料屬性有很大的影響；并且對(duì)黏彈性阻尼材料的微觀進(jìn)行優(yōu)化主要是針對(duì)梁結(jié)構(gòu)，對(duì)約束阻尼板的黏彈性阻尼材料細(xì)觀優(yōu)化還有待進(jìn)一步研究。

約束阻尼板的黏彈性阻尼層由三維單胞組成，采用考慮上下表面受約束的代表體元法(RVE)對(duì)三維單胞的等效材料屬性進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上建立約束阻尼結(jié)構(gòu)的宏觀有限元模型。以模態(tài)損耗因子最大化為優(yōu)化目標(biāo)，建立約束阻尼板的黏彈性阻尼層細(xì)觀結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。對(duì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度進(jìn)行分析，并采用優(yōu)化準(zhǔn)則法(OC)對(duì)建立的優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到最優(yōu)的黏彈性阻尼三維單胞的拓?fù)錁?gòu)型。

1 約束阻尼板的多尺度動(dòng)力學(xué)分析

1.1 三維單胞的等效材料屬性分析

約束阻尼結(jié)構(gòu)的阻尼層由三維單胞組成，如圖1所示，假設(shè)三維單胞為正交各向異性材料，根據(jù)廣義胡克定律可得

圖1 阻尼層三維單胞示意圖Figure 1 Schematic of 3D unit cell of damping layer

(1)

采用8節(jié)點(diǎn)的實(shí)體單元建立黏彈性阻尼層三維單胞的有限元模型，采用代表體元法對(duì)黏彈性阻尼層三維單胞的等效材料屬性進(jìn)行分析。對(duì)黏彈性阻尼層三維單胞施加邊界條件時(shí)，考慮上下表面受到了約束，根據(jù)文獻(xiàn)[10]，9種工況施加的邊界條件如表1所示。

表1 9種工況施加的邊界條件Table 1 Displacement boundary conditions for the nine load cases

第j工況下，三維單胞的應(yīng)變能密度Uj可表示為

(2)

根據(jù)能量均勻化理論[11]，三維單胞等效本構(gòu)矩陣的9個(gè)組元可表示為

(3)

三維單胞等效密度可表示為

(4)

1.2 約束阻尼板的阻尼特性分析

采用復(fù)常量模型對(duì)黏彈性阻尼材料進(jìn)行表征，計(jì)算得到黏彈性阻尼單胞的等效本構(gòu)矩陣和等效密度之后，建立約束阻尼結(jié)構(gòu)的宏觀有限元模型[12]。約束阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(5)

(6)

式中：Db和Dc分別為基層和約束層的本構(gòu)矩陣；N為宏觀有限元模型總的單元數(shù)；Re(·)和Im(·)分別代表取實(shí)部和虛部；B為應(yīng)變矩陣。對(duì)建立的宏觀有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，根據(jù)模態(tài)應(yīng)變能法，第r階模態(tài)損耗因子ηr為

(7)

式中：Φr為第r階實(shí)模態(tài)振型。

2 約束阻尼板細(xì)觀拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型和材料插值

以模態(tài)損耗因子倒數(shù)最小化為優(yōu)化目標(biāo)，黏彈性阻尼層三維單胞的單元為設(shè)計(jì)變量，黏彈性阻尼層三維單胞的體積分?jǐn)?shù)為約束條件，建立約束阻尼結(jié)構(gòu)細(xì)觀拓?fù)鋬?yōu)化模型為

(8)

式中：xi為細(xì)觀設(shè)計(jì)變量，即單元i的密度值；f為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；Vi為單元i的體積；V*為體積分?jǐn)?shù)。

采用SIMP插值模型函數(shù)來表示細(xì)觀單元的材料屬性：

(9)

式中：ρv0和Dv0分別為黏彈性阻尼材料的密度和復(fù)本構(gòu)矩陣；p為懲罰因子。

2.2 靈敏度分析

將式(2)和式(9)代入式(3)，對(duì)式(3)求偏導(dǎo)可得

(10)

(11)

根據(jù)式(6)，剛度矩陣實(shí)部和虛部關(guān)于設(shè)計(jì)變量xi的靈敏度可表示為

(12)

模態(tài)損耗因子倒數(shù)1/ηr關(guān)于設(shè)計(jì)變量xi的靈敏度可表示為

(13)

將式(10)～(12)代入式(13)即可得到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量xi的靈敏度。

2.3 優(yōu)化流程

優(yōu)化準(zhǔn)則法具有收斂速度快、迭代次數(shù)少的特點(diǎn)，并且和結(jié)構(gòu)的大小及復(fù)雜程度無關(guān)，適合于設(shè)計(jì)變量較多的優(yōu)化設(shè)計(jì)。利用拉格朗日乘子法將式(8) 轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)問題，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)為

(14)

式中：Λ，εi，γi均為拉格朗日乘子。

根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)劃理論的Kuhn-Tucker條件建立優(yōu)化迭代式為

(15)

靈敏度分析完成之后，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行更新，其收斂條件為連續(xù)兩次迭代設(shè)計(jì)變量變化的最大值小于等于0.001。通過迭代最終獲得黏彈性阻尼層的細(xì)觀優(yōu)化構(gòu)型。優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 黏彈性阻尼材料細(xì)觀拓?fù)鋬?yōu)化流程Figure 2 Mesoscopic topology optimization process of viscoelastic damping materials

3 算例分析

約束阻尼矩形板的尺寸為200 mm×100 mm?；鶎訛殇摪?，其彈性模量、密度和泊松比分別為206 GPa、7 900 kg/m3和0.3，其厚度為1 mm。約束層為鋁，其彈性模量、密度和泊松比分別為70 GPa、2 800 kg/m3和0.3，其厚度為0.1 mm。黏彈性阻尼材料(3M F9473PC)采用復(fù)常量模型進(jìn)行表征，不考慮其溫變和頻變特性，其彈性模量、密度、泊松比和損耗因子分別為12 MPa、1 200 kg/m3、0.495和0.5，厚度為0.4 mm，左端全約束，其他邊自由，如圖3所示。

圖3 懸臂約束阻尼板Figure 3 Cantilever plate/CLD system

黏彈性阻尼層由三維單胞組成，單胞的數(shù)量為20×10，單胞開有矩形通孔，如圖1所示，其尺寸為8.33 mm×8.33 mm×0.4 mm。建立3個(gè)約束阻尼結(jié)構(gòu)宏觀有限元模型。第一個(gè)是根據(jù)文獻(xiàn)[12]直接細(xì)分網(wǎng)格而建立的有限元模型(簡(jiǎn)稱細(xì)分網(wǎng)格法)，單元總數(shù)為120×60。其他兩個(gè)模型是先對(duì)黏彈性阻尼層進(jìn)行等效處理，得到黏彈性阻尼層的等效材料參數(shù)，然后將黏彈性阻尼層看成均勻材料對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，建立其宏觀的約束阻尼結(jié)構(gòu)有限元模型。采用考慮上下表面受約束的代表體元法和傳統(tǒng)均勻化方法計(jì)算三維單胞等效材料屬性的方法分別簡(jiǎn)稱代表體元法和傳統(tǒng)均勻化方法。細(xì)觀和宏觀有限元模型的單元總數(shù)分別為24×24×4和20×10。對(duì)3個(gè)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，3個(gè)有限元模型前四階的固有頻率和模態(tài)損耗因子計(jì)算結(jié)果如表2所示。從表2可以看出，與細(xì)分網(wǎng)格法對(duì)比，代表體元法計(jì)算的固有頻率和模態(tài)損耗因子最大誤差分別為0.09%和3.60%，而傳統(tǒng)均勻化方法計(jì)算的固有頻率和模態(tài)損耗因子最大誤差分別為1.18%和6.59%，可見代表體元法的計(jì)算精度要高于傳統(tǒng)均勻化方法。

表2 前四階固有頻率和模態(tài)損耗因子Table 2 First fourth natural frequencies and modal loss factor

黏彈性阻尼單胞尺寸為0.4 mm×0.4 mm×0.4 mm，體積分?jǐn)?shù)為0.4。黏彈性阻尼單胞的初始構(gòu)型為中心位置的設(shè)計(jì)變量密度值為1，其他的設(shè)計(jì)變量值等于體積分?jǐn)?shù)0.4。分別以一、二和三階模態(tài)損耗因子最大化為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)單胞的構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化，得到的拓?fù)錁?gòu)型如圖4所示，優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

從圖4和表3可以看出，一階優(yōu)化構(gòu)型和三階優(yōu)化構(gòu)型相似，并且3個(gè)剪切模量值相同，而二階優(yōu)化構(gòu)型和三個(gè)剪切模量與一階優(yōu)化結(jié)果有很大不同。一階和三階模態(tài)振型均為彎曲模態(tài)，并且阻尼層的模態(tài)剪切應(yīng)力方向相同，而二階模態(tài)為扭轉(zhuǎn)模態(tài)，其模態(tài)剪切應(yīng)力方向與一階不同。由此可見，細(xì)觀的優(yōu)化構(gòu)型與目標(biāo)階次的模態(tài)振型和模態(tài)剪切應(yīng)力方向相關(guān)。一階、二階和三階優(yōu)化構(gòu)型相對(duì)于全覆蓋約束阻尼結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)階次模態(tài)損耗因子分別增加了3.70%、14.86%和10.22%。

圖4 體積分?jǐn)?shù)為0.4的拓?fù)錁?gòu)型Figure 4 Topological configuration of volume fraction 0.4

表3 阻尼層體積分?jǐn)?shù)為0.4的優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of volume fraction 0.4 of damping layer

為進(jìn)一步驗(yàn)證提出的優(yōu)化方法的有效性，對(duì)懸臂約束阻尼板進(jìn)行諧響應(yīng)分析，激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)均為右上角，激勵(lì)力幅值為1 N，響應(yīng)曲線如圖5所示。因?yàn)橐浑A優(yōu)化結(jié)構(gòu)和三階優(yōu)化結(jié)構(gòu)相似，頻響曲線重合，所以三階優(yōu)化結(jié)構(gòu)的頻響曲線未在圖中標(biāo)注。一階、二階和三階優(yōu)化相對(duì)于全覆蓋約束阻尼結(jié)構(gòu)，優(yōu)化目標(biāo)階次的共振峰值分別減小了9.71%、10%和13.33%。

圖5 全覆蓋和優(yōu)化結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)的對(duì)比Figure 5 Comparison of frequency responses of full coverage and optimized structures

為了分析體積分?jǐn)?shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，黏彈性阻尼材料體積分?jǐn)?shù)為0.3，分別以一、二和三階模態(tài)損耗因子最大化為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)單胞的構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化，得到的拓?fù)錁?gòu)型與圖4相似，優(yōu)化結(jié)果能夠得到與體積分?jǐn)?shù)為0.4相同的結(jié)論，即細(xì)觀的優(yōu)化構(gòu)型與目標(biāo)階次的模態(tài)振型和模態(tài)剪切應(yīng)力方向相關(guān)；通過對(duì)阻尼層的細(xì)觀構(gòu)型優(yōu)化，在減少阻尼材料使用量的情況下，使約束阻尼結(jié)構(gòu)仍具有很好的阻尼特性。

4 結(jié)論

(1)對(duì)具有細(xì)觀構(gòu)型的約束阻尼結(jié)構(gòu)建模問題，與傳統(tǒng)的均勻化方法相比，考慮上下表面受約束的代表體元法具有更高的計(jì)算精度。

(2)以約束阻尼結(jié)構(gòu)的宏觀性能為目標(biāo)對(duì)黏彈性阻尼材料細(xì)觀優(yōu)化，在不同體積分?jǐn)?shù)下，構(gòu)型表現(xiàn)出較高的相似性，并且最優(yōu)構(gòu)型與目標(biāo)階次的振型和模態(tài)剪切應(yīng)力方向相關(guān)。

(3)提出了黏彈性阻尼材料細(xì)觀拓?fù)鋬?yōu)化方法，對(duì)黏彈性阻尼材料的細(xì)觀構(gòu)型優(yōu)化，獲得最佳的黏彈性阻尼材料屬性，在減少黏彈性阻尼材料使用量的情況下，使約束阻尼結(jié)構(gòu)仍具有很好的阻尼特性。

(4)本文僅考慮了阻尼材料細(xì)觀優(yōu)化問題，在后續(xù)工作中將深入研究約束阻尼結(jié)構(gòu)宏觀和細(xì)觀協(xié)同優(yōu)化方法，期望實(shí)現(xiàn)減振降噪性能驅(qū)動(dòng)的結(jié)構(gòu)-材料一體化設(shè)計(jì)。