新課程下高考和教材在數(shù)學(xué)文化中的呼應(yīng)

安徽省合肥市第三中學(xué) 張 麗 （郵編：230001）

安徽省合肥市第三十二中學(xué) 嚴(yán)國(guó)華 （郵編：230051）

關(guān)鍵字 數(shù)學(xué)文化；高考；實(shí)例分析；教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，近幾年的《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》（以下簡(jiǎn)稱《考綱》）中提出：要展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)含義等要求.《考綱》與《課標(biāo)》必然互為呼應(yīng). 為此筆者整理了近5 年來(lái)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化知識(shí)的高考真題，并挖掘它們?cè)诮滩闹械纳碛?，以期?duì)高中數(shù)學(xué)的日常教學(xué)有所啟示.

1 “數(shù)學(xué)文化”的概念

從字面上理解，“數(shù)學(xué)文化”即“數(shù)學(xué)的文化”，狹義上，數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、方法、精神以及它們的形成與發(fā)展；廣泛的描述還應(yīng)該包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文部分，數(shù)學(xué)與各種文化以及社會(huì)的關(guān)系等. 它重在對(duì)人的數(shù)學(xué)教化，即讓人具備用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界，用數(shù)學(xué)的思維去研究、探索世界.

2 近5 年體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化知識(shí)的高考題分布

筆者整理了2017－2021 共5 年的全國(guó)各省市（地區(qū)）的各種版本的高考卷中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化知識(shí)的42 道真題，列表如下表1.

表1

?

從高考題的分布上看，近兩年高考卷幾乎每一版都設(shè)置了數(shù)學(xué)文化試題，

3 教材中“數(shù)學(xué)文化”的融入與分布

新課改對(duì)“數(shù)學(xué)文化”內(nèi)容的重視與增加，貫穿整套教材，數(shù)學(xué)文化依托于數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)典故、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用等，在教材中以引言、探究、例題、練習(xí)、閱讀與思考等方式呈現(xiàn)在廣大師生面前. 以人教版（2019）選擇性必修二第四章數(shù)列（以下簡(jiǎn)稱數(shù)列）為例，筆者初步統(tǒng)計(jì)融入的數(shù)學(xué)文化就有34 處，詳情見下表2：

表2

如此大量的數(shù)學(xué)文化知識(shí)的融入，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值；更也給廣大教師帶來(lái)了挑戰(zhàn). 在課時(shí)有限的前提下，如何處理教材中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，既能完成教學(xué)內(nèi)容，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能較好的應(yīng)對(duì)高考.

4 高考和教材在數(shù)學(xué)文化中的呼應(yīng)

研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化在高考題和教材中通常從以下三個(gè)方面體現(xiàn)：

4.1 以數(shù)學(xué)史為載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)史中有大量的古今中外的數(shù)學(xué)名著、著名的定理、公式和圖論、著名的猜想、數(shù)學(xué)每個(gè)分支發(fā)展的歷程……，數(shù)學(xué)史的豐富內(nèi)容為命制高考題提供了豐富的資源，以數(shù)學(xué)史為背景的高考題細(xì)分為兩類.

4.1.1 數(shù)學(xué)名著中的數(shù)學(xué)問題

例1（2021·全國(guó)（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖1，點(diǎn)E、H、G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（ ）

圖1

這類應(yīng)用問題的解決策略和教學(xué)策略在后文中詳細(xì)闡述，這里不做贅述.

4.1.2 數(shù)學(xué)史中著名的定理、結(jié)論的數(shù)學(xué)思想方法和原理.

例2（2020·北京）2020 年3 月14 日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（π Day）．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長(zhǎng)和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達(dá)式是（ ）．

此題蘊(yùn)含的是“割圓術(shù)”中“以直代曲、無(wú)限趨近、內(nèi)外夾逼”思想，把圓用兩個(gè)正n 邊形進(jìn)行夾逼，由s2n＜s＜s2n+(s2n－sn)當(dāng)n 無(wú)限大時(shí)，s2n→s則可估計(jì)出圓的面積s，取單位圓，則此時(shí)s值就是π的值. 無(wú)獨(dú)有偶，在2017 年浙江卷第11題也出現(xiàn)了劉徽的“割圓術(shù)”

類似以“割圓術(shù)”作為文化背景的考題在高考題中頻繁出現(xiàn)！如2019 年浙江卷和2013 年上海卷的“祖暅原理”；2021 年浙江卷和2007 年北京卷（理）的“趙爽弦圖”；2020 年浙江卷的“垛積術(shù)”等等.

我們?cè)賮?lái)看高考題考察的深度，淺層次的考察僅套了個(gè)數(shù)學(xué)史文化的帽子. 如2017 年浙江卷的“割圓術(shù)”，即使不了解“割圓術(shù)”也可以求出正六邊形的面積，2019 年浙江卷的“祖暅原理”；2007 年北京卷（理）的“趙爽弦圖”；2020 年浙江卷的“垛積術(shù)”也屬于此類，對(duì)于這種層次的考察，只要加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)即可；深層次的考察是考察數(shù)學(xué)史文化中的思想和原理. 如2020 年北京卷的“割圓術(shù)”，要用無(wú)限微分、近似替代的思想化圓面積為正六邊形的面積，再用夾逼原理得單位圓的近似值，從而得π的近似值. 針對(duì)這類層次的考察，在教學(xué)中就要足夠重視. 翻閱教材會(huì)發(fā)現(xiàn)，同時(shí)與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)史在教材中都有介紹，比如上文中的“祖暅原理”、“趙爽弦圖”、“垛積術(shù)”、“割圓術(shù)”等，也就是說(shuō)高考中的深層次考察都是立足于教材的. 因此要重視教材中“閱讀與思考”、“拓廣探索”中的數(shù)學(xué)史知識(shí)，尤其是中國(guó)古代數(shù)學(xué)，可以帶領(lǐng)學(xué)生以研究性學(xué)習(xí)的方式閱讀教材中的內(nèi)容，探索它蘊(yùn)含的思想和原理，并對(duì)原理和方法加以錘煉.

4.2 以跨學(xué)科知識(shí)為載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

文化是交融的，數(shù)學(xué)文化一方面同天文、地理、物理、生物、醫(yī)藥、建筑的傳統(tǒng)學(xué)科交叉，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的工具性，另一方面還會(huì)和新興學(xué)科比如航空航天、電子信息、人工智能、地球信息、數(shù)據(jù)科學(xué)、分形學(xué)等交融在一起，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的與時(shí)俱進(jìn)！而高考考察也分兩類.

4.2.1 各學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科交叉的知識(shí)

例3（2020·海南）日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面. 在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯400，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（ ）

圖2

圖3

A. 20° B. 40° C. 50° D. 90°

此題主要考察的數(shù)學(xué)知識(shí)是立體幾何中的線面位置關(guān)系的判定和運(yùn)用以及角度的計(jì)算，以古代測(cè)試間的日晷為背景，進(jìn)行實(shí)物呈現(xiàn)，所以它還考察了數(shù)學(xué)能力中的直觀想象力、抽象能力和建模能力，而學(xué)生能把實(shí)物抽象為空間圖象的前提是理解地理學(xué)中的經(jīng)度緯度和赤道面的知識(shí)，否則學(xué)生無(wú)法想象出球體圖象，更不可能得到如圖所示的截面圖，此題就只有扼腕興嘆！

此外，在2021 年全國(guó)II 卷第四題“北斗三號(hào)衛(wèi)星導(dǎo)航”中又涉及了緯度的知識(shí)，此題同樣考察了有關(guān)球的位置關(guān)系的判定和角度的計(jì)算背景仍是緯度和赤道面，與2020 海南卷是何其的相似！事實(shí)上，人教A 版（2019）必修第一冊(cè)第256頁(yè)的“拓廣探索”第27 題已明確提到地球公轉(zhuǎn)過(guò)程中太陽(yáng)直射、地球緯度問題，若在此處重視一下緯度知識(shí)，鍛煉學(xué)生實(shí)物與空間幾何圖象的轉(zhuǎn)化，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，那么此類高考題解決的就會(huì)較為輕松.

4.2.2 分支學(xué)科所蘊(yùn)含的思想原理和方法

例4（2021·全國(guó)）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為20dm×12dm 的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1 次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對(duì)折2 次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm 三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2以此類推，則對(duì)折4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對(duì)折n次，那么

此題貌似民俗文化背景，通讀完題目后就會(huì)發(fā)現(xiàn)此題具有明顯的迭代遞歸、自相似的特征！這恰是分形幾何學(xué)的基礎(chǔ)！目前分形理論廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，從物理學(xué)到地球物理到地質(zhì)地貌、從化學(xué)到生物學(xué)到醫(yī)學(xué)、從計(jì)算機(jī)科學(xué)到工程技術(shù)學(xué)、從藝術(shù)設(shè)計(jì)到人文社科、甚至改變了傳統(tǒng)的維度的劃分！對(duì)于像這樣的新興的、對(duì)社會(huì)影響巨大的學(xué)科，教材和高考都會(huì)有所涉及，以體現(xiàn)知識(shí)的與時(shí)俱進(jìn)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神！

比如在數(shù)列中就把“謝爾賓斯基三角形”（以下簡(jiǎn)稱“謝三角形”）作為典型例題編入教材，“謝三角形”是很有代表性的線性分形，具有嚴(yán)格的自相似特點(diǎn)，是分形幾何學(xué)中一個(gè)經(jīng)典的例子，不僅如此教材第38 頁(yè)的例10“正方形分形”和第55 頁(yè)練習(xí)題“瑞典數(shù)學(xué)家科赫的雪花形狀”又是經(jīng)典的分形問題.

如果我們教師在此教學(xué)時(shí)對(duì)教材的典例研究它們的共性，引導(dǎo)學(xué)生尋找迭代，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行方法原理上的錘煉，甚至拓展一下介紹“分形學(xué)”在人文社科、自然科學(xué)中的發(fā)展，不但可以加深學(xué)科知識(shí)的掌握應(yīng)對(duì)高考；還可以拓寬學(xué)生的視野，以數(shù)學(xué)的目光看世界，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)！

4.3 以數(shù)學(xué)應(yīng)用為載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

隨著國(guó)家對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、應(yīng)用能力的日益重視，高考卷中體現(xiàn)學(xué)生解決日常生活中的實(shí)際問題的試題不斷呈現(xiàn). 這類命題通過(guò)設(shè)計(jì)合適的試題情景把生活中的方方面面融入數(shù)學(xué)，如：營(yíng)銷策略、經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)、環(huán)境保護(hù)、醫(yī)療衛(wèi)生、軍事科技、建筑測(cè)量、生活服務(wù)、概率統(tǒng)計(jì)等等. 從知識(shí)能力角度：它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想，考察學(xué)生的閱讀、抽象、轉(zhuǎn)化與化歸、實(shí)踐等能力；從情感角度：培養(yǎng)了學(xué)生的社會(huì)意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生感受知識(shí)來(lái)源于生活服務(wù)于生活.

教材中隨處可見各種文化背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，以“數(shù)列”為例，從第1 頁(yè)至第43 頁(yè)，先后編入了15 道數(shù)學(xué)應(yīng)用題（見表2），在2021 年的高考真題中僅涉及數(shù)列知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用題就出現(xiàn)3 處.

例5（2021 年上海）某公司從2021 年第一季度開始，第一個(gè)季度的營(yíng)業(yè)收入1.1 億元，利潤(rùn)0.16 億元，后面每一季度比前一季度營(yíng)業(yè)收入上漲0.05 億元，利潤(rùn)比上一季度多4%；（1）求到2025 年總共20 個(gè)季度的營(yíng)業(yè)收入之和.（2）從哪一年哪個(gè)季度起，利潤(rùn)超過(guò)營(yíng)業(yè)收入的18%.

本題兩個(gè)對(duì)象，“營(yíng)業(yè)收入”構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1.1，公差為0.05 的等差數(shù)列{an} ；“利潤(rùn)”構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為0.16，公比為4%的等比數(shù)列{bn} . 然后本題的第（1）問就轉(zhuǎn)化成了等差等比數(shù)列的分組求和問題，第（2）問轉(zhuǎn)化成解指數(shù)不等式問題. 對(duì)比教材“數(shù)列”內(nèi)容：

例6（教材“數(shù)列”第38 頁(yè)例11）去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20 萬(wàn)噸，其中14 萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，6 萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理. 預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%，同時(shí)，通過(guò)環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5 萬(wàn)噸，為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)寫出從今年起n年內(nèi)通過(guò)填埋式處理的垃圾總量的計(jì)算公式，并計(jì)算從今年起5 年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量.

同樣提取信息可知：每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列{bn}，每年以填埋方式處理的垃圾量構(gòu)成數(shù)列{cn}，cn=an－bn，因此仍是利用等差、等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，它們蘊(yùn)含的文化背景不同，考察的能力和數(shù)學(xué)知識(shí)是一致的.

對(duì)此類數(shù)學(xué)文化問題的教學(xué)重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和抽象概括能力，鍛煉學(xué)生提取關(guān)鍵信息，建立關(guān)聯(lián)，歸納到相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)上.

5 結(jié)語(yǔ)

《考綱》與《課標(biāo)》必然互為呼應(yīng)，高考立足于教材又高于教材，“立足于教材”體現(xiàn)在高考中的數(shù)學(xué)文化都分布在教材的每一行每一頁(yè)，而“高于教材”則需要運(yùn)用我們學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)、原理、思想以及錘煉出的數(shù)學(xué)能力來(lái)解決問題！所以日常教學(xué)要鉆研教材，運(yùn)用大單元教學(xué)整體把握思想原理和知識(shí)脈絡(luò)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).