說(shuō)“怪”不怪 一招化“怪”
——對(duì)2021 年上海中考試題的幾點(diǎn)思考

上海市嶺南中學(xué) 劉華為 （郵編：200435）

新一輪中考復(fù)習(xí)即將展開(kāi)，在研究往年中考題時(shí)不少同仁和當(dāng)年的考生與任課教師感覺(jué)一樣，認(rèn)為2021 年上海中考數(shù)學(xué)部分試題與往年試題相比有點(diǎn)“怪”，且不易入手. 筆者對(duì)此有幾點(diǎn)不成熟的思考，愿與廣大同仁探討.

1 “怪”在哪里？

1.1 “怪”在個(gè)別考點(diǎn)比較“陌生”

例1（2021 年上海第18 題）定義：我們把同一平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)中最短的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖形的距離. 如圖1，平面內(nèi)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，中心O與正方形外一點(diǎn)P的距離也為2，則在正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)P到正方形ABCD的距離d 的取值范圍是 .

圖1

顯然，本題考查了平面幾何最值問(wèn)題，而這一考點(diǎn)倍受往年上海中考命題者的冷落，從未出現(xiàn)類似題目. 鑒于中考的導(dǎo)向性，教師在中考復(fù)習(xí)時(shí)難免會(huì)忽視同類問(wèn)題的選材，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)處理幾何最值問(wèn)題缺乏基本經(jīng)驗(yàn)與常規(guī)技能，故而感到有點(diǎn)“怪”.

其實(shí)本題求解并不難，易知當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，其上各點(diǎn)所生成的軌跡是以點(diǎn)O為圓心、該點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為半徑的圓，故而在正方形ABCD旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P與正方形ABCD上各點(diǎn)距離的最小值就是線段OP的長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)軌跡圓的半徑之差. 顯然，正方形ABCD上各點(diǎn)到點(diǎn)O的距離最大值和最小值分別為 2 與1，所以d的取值范圍是2－ 2 ≤d≤1.

1.2 “怪”在個(gè)別題型意外“錯(cuò)位”

例2（2021 年上海中考第23 題）如圖2，在⊙O中，點(diǎn)E、F分別為弦AB、CD中點(diǎn)，AB=CD，且AB與CD相交于點(diǎn)P，聯(lián) 結(jié)OP、EF.

圖2

（1）求 證：OP⊥EF；

（2）聯(lián)結(jié)AF、AC、CE，若AF∥OP，求證：四邊形AFEC為矩形.

一般地，上海中考以圓為背景所命制的題常常放在壓軸題的位置，重點(diǎn)考查“垂徑定理”“直線與圓的位置關(guān)系”和“圓與圓的位置關(guān)系”等知識(shí)，注重能力區(qū)分的選拔性，綜合性強(qiáng)；或放在21題位置，重點(diǎn)考查“圓心角、弦和弦心距的關(guān)系”“垂徑定理及其推論”和“正多邊形”等知識(shí)，注重學(xué)業(yè)考的界定性，難度稍易. 而今年中考卻一反常態(tài)地在第23 題位置以圓為背景命制了一道綜合題，這不僅是位置的變化，更有難度系數(shù)的調(diào)整和知識(shí)考點(diǎn)的輪動(dòng)，跳出了考生復(fù)習(xí)時(shí)形成的解決此類問(wèn)題的思維定勢(shì)，感到不適在所難免.“平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦”和“同圓或等圓中相等弦的弦心距相等”可知OE⊥AB、OF⊥CD且OE=OF，再由“HL定理”得△OPE≌△OPF，得PE=PF，所以O(shè)P垂直平分EF，第（1）小題得證；至于第（2）題，由AF∥OP和OP⊥EF易想到AF⊥EF，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明四邊形AFEC為平行四邊形. 眾所周知，證明一個(gè)四邊形是平行四邊形的方法較多，常為解題帶來(lái)一定的便捷. 不過(guò)就本題而言，較寬入口反倒成為眾多考生走不出的心結(jié)，因?yàn)樗坪趺糠N判定方法都可以走得通，但又無(wú)法走到底，導(dǎo)致部分心理脆弱的考生未能及時(shí)調(diào)整思考方向，遺憾入坑. 而基于第（1）小題的證明過(guò)程可知∠PAF=∠EPO=∠FPO=∠PFA，得PA=PF=PE，又AE=CF，所以AE與CF互相平分，問(wèn)題迎刃而解.

例3（2021 年上海中考第25 題）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO并延長(zhǎng)交邊CD或邊AD于點(diǎn)E.

圖3

（1）當(dāng)點(diǎn)E在CD上，

①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；

（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長(zhǎng).

易知△DAC與△OBC均為等腰三角形，又易證∠DCA=∠DAC=∠OCB，故而兩三角形相似；至于求兩線段比值問(wèn)題，常規(guī)的處理策略是利用比例轉(zhuǎn)化，又比例的來(lái)源主要有“平行線分線段成比例（即通常的A型圖與X型圖）”和“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”，于是不少考生想到延長(zhǎng)BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（圖略），構(gòu)造X型圖求解. 易知AF=BC，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求即的值. 但如何求后兩條線段的比值，學(xué)生又束手無(wú)策，或陷入比例轉(zhuǎn)化的循環(huán)求解中，只得放棄. 其實(shí)求兩線段的比值除了比例轉(zhuǎn)化外，還可通過(guò)計(jì)算的方法處理（也就是兩線段比的定義）. 考慮到條件沒(méi)有給出任意一條線段的長(zhǎng)度，所以應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián)線段并設(shè)為參數(shù)t，然后用t 表示出AD與BC，代入求值即可. 而由①知∠ECO=∠BCO=∠CBE，又BE⊥CD，所以這三個(gè)角均為30°，故可設(shè)OE為t，則OC=2t、CE=得當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，過(guò)程略.

2 “怪”因何在？

追根溯源，造成考生普遍對(duì)中考題感覺(jué)“怪”的主要原因無(wú)外乎有兩種：一是命題走偏，考了不該考的點(diǎn)，或命了不該命的題（即偏題怪題）；二是復(fù)習(xí)帶偏，教師依賴僥幸心里或憑借個(gè)人經(jīng)驗(yàn)而人為劃分非考點(diǎn)或弱考點(diǎn)，導(dǎo)致知識(shí)遺漏或理解不透. 從上述分析可以看出，三道例題所涉及的知識(shí)點(diǎn)都是教學(xué)大綱所規(guī)定內(nèi)容，也未超出大綱要求，而求解策略也屬通性通法，所以把怪因歸罪于命題者既不科學(xué)也欠公平. 事實(shí)上，教師在復(fù)習(xí)時(shí)存在的三點(diǎn)“想當(dāng)然”操作才是學(xué)生感到“怪”的根本原因之所在.

2.1 想當(dāng)然地放大往年中考試卷的導(dǎo)向性

在一次校際間的中考復(fù)習(xí)專題研討活動(dòng)中，某開(kāi)課教師就選了一道最近網(wǎng)上較為熱門的“將軍飲馬”最值問(wèn)題（源于課本中的一道例題）引導(dǎo)學(xué)生探究變式問(wèn)題的求解策略，卻遭到某資深專家的強(qiáng)烈質(zhì)疑，并反復(fù)強(qiáng)調(diào)根據(jù)他長(zhǎng)年的研究經(jīng)驗(yàn)，上海中考從來(lái)不考平面幾何最值問(wèn)題，一再建議大家要加強(qiáng)對(duì)中考試卷的考點(diǎn)梳理與題型研究，以防在中考不考的問(wèn)題上浪費(fèi)時(shí)間影響復(fù)習(xí)效果. 不過(guò)該觀點(diǎn)顯然過(guò)于極端，過(guò)分夸大了中考試卷的導(dǎo)向性，其實(shí)，從來(lái)不考不等于今年不考，今年還不考不等于以后仍不考，只要是教學(xué)大綱規(guī)定的知識(shí)點(diǎn)都是必掌握內(nèi)容. 換言之，以往年中考考點(diǎn)為復(fù)習(xí)范圍和以往年中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容作為復(fù)習(xí)重點(diǎn)，都是沒(méi)有規(guī)律性依據(jù)和缺乏科學(xué)性的操作，一旦考到復(fù)習(xí)范圍外的知識(shí)點(diǎn)（如例1），考生中了“怪”招也就不足為奇了.

2.2 想當(dāng)然地夸大往年中考試卷的穩(wěn)定性

毋庸諱言，中考試題確具有一定的穩(wěn)定性，但這種穩(wěn)定是指題型題量（6 道選擇題、12 道填空題和7 道綜合題）與總體難度系數(shù)比（基礎(chǔ)題、中檔題與能力題的占比為8∶1∶1，近年來(lái)有調(diào)整為7∶2∶1 的趨勢(shì)）的穩(wěn)定，而不是考點(diǎn)及其考查要求一成不變的穩(wěn)定. 遺憾的是，不少教師喜歡根據(jù)往年中考題考點(diǎn)所在的位置、題型與難度來(lái)設(shè)計(jì)中考知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)策略，堅(jiān)持復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)與往年相應(yīng)考點(diǎn)基本一致的穩(wěn)定原則，并加大針對(duì)性地訓(xùn)練強(qiáng)度，以提升學(xué)生處理問(wèn)題的應(yīng)試能力. 殊不知如此操作卻導(dǎo)致學(xué)生對(duì)處理此類問(wèn)題的思維形成了固化模式，缺乏應(yīng)有的應(yīng)變能力，一旦遇到考點(diǎn)在題型與難度甚至位置上的調(diào)整（如例2 與例3），都會(huì)引起心理不適，造成題“怪”的認(rèn)知感與緊迫感，影響了水平發(fā)揮.

2.3 想當(dāng)然地?cái)U(kuò)大往年中考試卷的模擬性

中考前不少教師喜歡用往年的中考卷作為模擬卷，逐一把近幾年甚至十幾年的中考卷讓學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)當(dāng)堂完成，以引導(dǎo)學(xué)生把握中考節(jié)奏，以便在考試時(shí)間分配、策略調(diào)整（如遇卡題如何調(diào)整心態(tài)，如何棄難做易等）與思維調(diào)控（即處理綜合題的思維方向切換的技巧）等方面積累實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，也希望能適時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并及時(shí)糾正.可惜的是，每年中考中有價(jià)值的考題學(xué)生早已通過(guò)各種渠道做過(guò)（有的題甚至做過(guò)數(shù)遍），因此以往年中考卷作為中考模擬不僅很難達(dá)到預(yù)期效果，而且虛假的高分還盲目增加師生的自信，掩蓋了復(fù)習(xí)中存在的瑕疵，反而為學(xué)生在中考實(shí)戰(zhàn)中埋下了遇挫急躁的隱患，或許有得不償失之感.

總之，以舊定新是一種缺乏規(guī)律的押寶式復(fù)習(xí)策略，若遇當(dāng)年中考題稍稍創(chuàng)新（無(wú)論是形式還是內(nèi)容），都會(huì)突破教師強(qiáng)加給學(xué)生的中考認(rèn)知框架，考生出現(xiàn)不適的“怪”感也在所難免.

3 以“透”化“怪”

其實(shí)，穩(wěn)中求新是每年中考命題的基本策略，即在保持基本題型、試題總量與三類題分配比不變的前提下，會(huì)在考點(diǎn)切換、位置調(diào)整和能力題編擬上大膽創(chuàng)新與尋求突破，故而創(chuàng)新是中考命題的常態(tài)化行為. 如果老師不能很好地認(rèn)識(shí)與把握這種創(chuàng)新的導(dǎo)向意義與應(yīng)對(duì)策略，必然會(huì)引發(fā)學(xué)生考場(chǎng)上的遇“新”不適的“怪”感，甚至出現(xiàn)思維空白，嚴(yán)重影響真實(shí)水平的發(fā)揮. 當(dāng)然，要想杜絕這一現(xiàn)象發(fā)生，唯有中考復(fù)習(xí)時(shí)重點(diǎn)突出三個(gè)“吃透”.

3.1 回歸教材，吃透基本知識(shí)

可喜的是，近年來(lái)興起的一種思維導(dǎo)圖可有效地將教材所涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)化梳理，既有利于學(xué)生理清知識(shí)間的深層聯(lián)系，又有利于中考復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全方向位覆蓋. 但基本知識(shí)不僅僅是源于教材的概念、公式、法則、性質(zhì)與判定，還有源于知識(shí)生成與應(yīng)用過(guò)程中所蘊(yùn)含的基本方法、策略與思想，因此回歸教材不只回歸課本，還需注重對(duì)練習(xí)冊(cè)中習(xí)題及教材中的例題解題思想的深度挖掘. 如例1 就用到了滬教版九年級(jí)（第二學(xué)期）練習(xí)冊(cè)第1 頁(yè)習(xí)題27.1 第4 題（如果⊙O外一點(diǎn)P到⊙O上所有點(diǎn)的距離中，最大距離是8，最小距離是3，那么⊙O的半徑長(zhǎng)等于 .）的解題思想，如果學(xué)生吃透了此題，知道“平面內(nèi)任一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過(guò)該點(diǎn)與圓心的直線和圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”，那么處理例1 就胸有成竹了，“怪”的感覺(jué)自然也就無(wú)從生起. 毫無(wú)疑問(wèn)，注重知識(shí)生成與應(yīng)用過(guò)程中所蘊(yùn)含的思想方法的深度挖掘就是在強(qiáng)調(diào)吃透基本知識(shí)，發(fā)展應(yīng)用能力.

3.2 注重構(gòu)圖，吃透基本圖形

近年來(lái)，考查學(xué)生的作圖能力已越來(lái)越受到中考命題者的青睞，也引起了廣大教師的重視，正形成良好的中考與教學(xué)互動(dòng)行為. 遺憾的是，與顯性的作圖操作相比，隱性的構(gòu)圖能力卻沒(méi)有引起足夠關(guān)注，事實(shí)上若能讓學(xué)生根據(jù)題意構(gòu)出圖形，不僅能加深對(duì)題意的理解，也更有利于找到解決問(wèn)題的基本策略. 為了節(jié)省時(shí)間，中考幾何綜合題的圖形一般直接給出，而要求考生在考試時(shí)重新畫圖也不太現(xiàn)實(shí)，因此不妨反其道而行之，在平時(shí)教學(xué)中不斷加強(qiáng)學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解與重構(gòu)基本圖形的能力培養(yǎng)，則可起到兩全其美之效. 如圖2 中在得出AF⊥EF后再結(jié)合PE=PF，若能分解出基本圖形“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（即Rt△AFE與斜邊上的中線FP）”，則自然想到證明PC=PF，使問(wèn)題迎刃而解；再如圖3 中若連接OD，構(gòu)造基本圖形“直角三角形斜邊上的高（即Rt△COD與斜邊上的高OE）”，利用“母子相似”也可順利求出還有例3 第（2）題求解過(guò)程中就要用到“X型”與“A型”等基本圖形使問(wèn)題化難為易，可見(jiàn)構(gòu)造基本圖形是處理幾何能力綜合題必不可少的重要環(huán)節(jié)，理當(dāng)高度關(guān)注. 應(yīng)當(dāng)指出的是，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造基本圖形能力必須做到“四會(huì)”，即會(huì)集（平時(shí)注重收集）、會(huì)找（從復(fù)雜圖形中提煉出基本圖形）、會(huì)補(bǔ)（適當(dāng)添線補(bǔ)全基本圖形）與會(huì)用（明析基本圖形的顯性結(jié)論，吃透基本圖形的潛在價(jià)值）.

3.3 善于歸類，吃透基本策略

無(wú)論是突破中考能力題，還是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，都需要豐富的處理策略與完善的思維方式，因此，在日常教學(xué)與中考復(fù)習(xí)時(shí)要從教想法入手，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，并積極探求類化策略（即把同類問(wèn)題不同的處理策略適當(dāng)歸類），追求以題會(huì)類的教學(xué)境界. 實(shí)際上，考生之所以覺(jué)得解題策略有點(diǎn)不同尋常的“怪”，主要原因還在于對(duì)處理同類問(wèn)題的策略缺少系統(tǒng)梳理，只知其一不知其二，更缺乏不同策略間切換的意識(shí). 如對(duì)于求兩線段比值問(wèn)題，教學(xué)時(shí)教師若能圍繞“比例轉(zhuǎn)化（依據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)）”“三角形面積比（同底三角形面積比等于高之比與同高三角形面積比等于底邊比）”和“定義計(jì)算法（直接求出兩線段的長(zhǎng)或用同一參變量表示兩線段，然后計(jì)算）”三大策略精選例題，引導(dǎo)學(xué)生深入探究與整體歸納，明確三大策略就是解決求線段比問(wèn)題的思考方向，掌握依據(jù)條件適當(dāng)選擇策略或在不同策略間切換思考方向的調(diào)控技巧，那么考生還會(huì)感到“怪”嗎？

總之，當(dāng)中考題超出教師的預(yù)設(shè)而引起考生不適時(shí)，身為教師不能以推卸責(zé)任的方式帶風(fēng)向，把矛頭指向命題者，而要反思自己的教學(xué)行為，豐富教學(xué)策略，從根本上提升學(xué)生的綜合能力，推動(dòng)中考與教學(xué)的良性互動(dòng)，充分發(fā)揮中考命題的引領(lǐng)性.