關(guān)于一個(gè)條件對稱不等式的研討

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 于洪翔 盧 堯 郭要紅 （郵編：241000）

1 引言

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2021 年第5 期問題2604 是一個(gè)條件對稱不等式問題.

問題2604[1]已知a、b、c＞0，且abc=1.

對該問題進(jìn)行研討，我們得到以下結(jié)論.

命題 已知a、b、c＞0，且abc=1，若0 ＜λ≤8 . 則有

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1 時(shí)成立.

2 主要結(jié)論的證明

運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)：

其中k為拉格朗日乘數(shù).

對L求偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0，則有

④由①、②、④得

若a－b=0，b－c=0，c－a=0 都 不 成立，即a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0，由⑤、⑥、⑦得a－b=0，b－c=0，c－a=0，矛盾.

若a－b=0，b－c=0，c－a=0 有 且 僅 有一個(gè)成立，不妨設(shè)b－c=0，a－b≠0，由⑤式知，

方程⑧的根的判別式Δ=(4－λ)2－4×4=λ2－8λ.

（Ⅰ）當(dāng)0 ＜λ＜8 時(shí)，則Δ=λ2－8λ＜0，方程⑧無解，所以L(a，b，c，k)只有唯一一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1 時(shí)成立.

命題得證.

3 討論

3.1 文［2］另一個(gè)結(jié)論的否定

由上述證明過程知，L(a，b，c，k)的穩(wěn)定點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)a、b、c不可能兩兩不等，所以，文[2]中的另一個(gè)結(jié)論“當(dāng)λ＞9 時(shí)，不等式

L(a，b，c，k) 的7 個(gè) 穩(wěn) 定 點(diǎn) 處，哪 一 個(gè) 是f(a，b，c)的 最 小 值 點(diǎn)，f(a，b，c)的 最 小 值 是 多少？是一個(gè)計(jì)算量頗大、值得繼續(xù)研究的問題.我們將此問題作為擂題（141），期待能獲得解決.