兩球的根軸面與根心定理

贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 曾建國(guó) （郵編：341000）

1 引言

平面幾何中，兩圓的根軸(或等冪軸)是人們熟知的概念. 根據(jù)圓冪定理有如下定義

定義1[1]點(diǎn)P對(duì)半徑為R的圓O的冪，等于OP2－R2．

由下面的性質(zhì)可得兩圓的根軸概念

命題1[1][2]對(duì)于兩已知圓(不同心)有等冪的點(diǎn)的軌跡，是一條垂直于連心線的直線．

定義2[1][2]將命題1 中這條垂直于連心線的直線稱為兩圓的根軸(或等冪軸).

特別地，當(dāng)兩圓相交(相切)時(shí)，其根軸就是兩圓的公共弦所在的直線(切點(diǎn)處的公切線).

關(guān)于根軸有下面被稱為根心定理的結(jié)論[1][2](圖1).

圖1

命題2（根心定理）平面上有三個(gè)圓，當(dāng)三個(gè)圓心不共線時(shí)，其兩兩的根軸交于一點(diǎn)；當(dāng)三個(gè)圓心共線時(shí)，其兩兩的根軸互相平行.

文[3][4]將圓冪概念及圓冪定理推廣至三維空間，建立了球冪概念，得到了完全類似于圓冪定理的結(jié)論

命題3(球冪定理)過(guò)空間一點(diǎn)P作球面的兩條割線(或切線)分別交球面于A、B與C、D，則有PA·PB=PC·PD.

定義3[3]一點(diǎn)P對(duì)半徑為R的球O的冪為OP2－R2．

由此可知[3]：若點(diǎn)P在球內(nèi)，則該點(diǎn)的球冪為負(fù)；P在球上，球冪為零；P在球外，球冪為正．

本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步將根軸概念及根心定理類比推廣至三維空間.

2 兩球的根軸面

關(guān)于兩個(gè)球有下面的結(jié)論：

定理1對(duì)于兩已知球(不同心)有等冪的點(diǎn)的軌跡，是一個(gè)垂直于連心線的平面.

證明如圖2，設(shè)已知兩球的球心分別為O1、O2，半徑分別為R，r(R≥r)，設(shè) 點(diǎn)P到 球O1、O2的冪相等，即有O1P2－R2=O2P2－r2.

圖2

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥O1O2，垂足為H，設(shè)O1O2的中點(diǎn)為M，則由上 式 可 得R2－r2=O1H2－O2H2=(O1H+O2H)(O1H－O2H)=O1O2·2MH. 則表明H為O1O2上的定點(diǎn)，即點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)H且與O1O2垂直的平面內(nèi). 反之，與O1O2垂直相交于點(diǎn)H的平面內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)球O1、O2的冪相等. 證畢.

定義4將定理1 中這個(gè)垂直連心線的平面稱為兩球的根軸面(或等冪軸面).

特別地(證略)，有

推論1當(dāng)兩球面相交(相切)時(shí)，其根軸面就是兩球面交線圓所在的平面(切點(diǎn)處的公切面）.同心的兩球不存在根軸面.

在解析幾何中，容易驗(yàn)證，將兩球面方程x2+y2+z2+ai x+bi y+ci z+di=0(i=1，2)

，相減即可得到它們的根軸面方程，這與平面內(nèi)求兩圓根軸的方法類似.

3 球的根心定理

將命題2 類比推廣至三維空間，就有

定理2(球的根心定理）空間有三個(gè)球，當(dāng)三個(gè)球心不共線時(shí)，其兩兩的根軸面相交于一直線；當(dāng)三個(gè)球心共線時(shí)，其兩兩的根軸面互相平行.

證明設(shè)三個(gè)球心分別為O1、O2、O3，其兩兩的根軸面分別記為π12、π23、π13(圖3).

圖3

若O1、O2、O3共 線，由 定理1 及推論1 知，三個(gè)根軸面π12、π23、π13均垂直于同一直線O1O2O3，于是它們互相平行.若O1、O2、O3不 共 線，則 三 個(gè)根軸面互不平行.

設(shè)π12、π23相交于直線l，我們來(lái)證明π13也經(jīng)過(guò)直線l. 設(shè)P是直線l上任一點(diǎn)，則由P∈平面π12及定義4、定理1 知，P對(duì)球O1、O2的冪相等，由P∈平面π23同理可得，P對(duì)球O2、O3的冪相等，于是P對(duì)球O1、O3的冪相等，由定理1 知P∈平面π13.

直線l上任一點(diǎn)都在平面π13上，表明平面π13經(jīng)過(guò)直線l，故三個(gè)根軸面π12、π23、π13交于直線l.證畢.

4 應(yīng)用舉例——戴維斯（Davis）定理的推廣

我們應(yīng)用球的根心定理，將三角形中的戴維斯定理推廣至四面體中.

命題4（戴維斯（Davis）定理）[5]三角形的每邊所在直線上有一對(duì)點(diǎn)(可以重合)，若每?jī)蓪?duì)點(diǎn)同在一圓上，則三對(duì)點(diǎn)(六點(diǎn))都在同一圓上(若題設(shè)中的圓與某直線相切，則該線上一對(duì)點(diǎn)重合為一點(diǎn)).

推廣至四面體就有

定理3（四面體戴維斯定理）四面體的每條棱所在直線上有一對(duì)點(diǎn)(可以重合)，若每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱上的三對(duì)點(diǎn)同在一球面上，則六對(duì)點(diǎn)(十二點(diǎn))都在同一球面上(若題設(shè)中的球面與某棱相切，則該棱上的一對(duì)點(diǎn)重合為一點(diǎn)).

證明如圖4，設(shè) 四 面 體A1A2A3A4的棱Ai Aj所在直線上的一對(duì)點(diǎn)為Bij、B′ij(1≤i＜j≤4).

圖4

依題設(shè)知，自頂點(diǎn)Ai發(fā)出的三條棱上的三對(duì)點(diǎn)同在一個(gè)球面上，設(shè)此球心為Oi(i=1，2，3，4).則四面體A1A2A3A4每個(gè)側(cè)面三角形三邊上的三對(duì)點(diǎn)(六點(diǎn))中，每?jī)蓪?duì)點(diǎn)(四點(diǎn))在同一個(gè)圓(該側(cè)面與相應(yīng)球面的交線圓)上.

根據(jù)命題4(戴維斯定理)可知，每個(gè)側(cè)面三角形三邊上的三對(duì)點(diǎn)(六點(diǎn))都共圓.(*)

下面 先 證 明 四 個(gè) 球 心O1、O2、O3、O4中 必 有兩個(gè)重合，用反證法.

假設(shè)O1、O2、O3、O4是相 異 的 四 點(diǎn)，因 球 面O1、O2都經(jīng)過(guò)棱A1A2上一對(duì)點(diǎn)B12、B′12，根據(jù)推論1 可知，球O1、O2的根軸面經(jīng)過(guò)直線A1A2.

同理可證，球O2、O3的根軸面經(jīng)過(guò)直線A2A3；球O1、O3的根軸面經(jīng)過(guò)直線A1A3.

根據(jù)定理2，三個(gè)不同心的球，其兩兩的根軸面(三個(gè)平面)交于一直線或互相平行. 但分別經(jīng)過(guò)ΔA1A2A3三邊的三個(gè)平面顯然不可能交于一直線或互相平行，矛盾！

由上可知，球心O1、O2、O3、O4中必有兩點(diǎn)重合.

進(jìn)而可以證明這四個(gè)球面為同一球面，即題設(shè)中的六對(duì)點(diǎn)(十二點(diǎn))共球面.

事實(shí)上，我們不妨設(shè)O1、O2重合，則球面O1經(jīng)過(guò)了四面體A1A2A3A4中除A3A4外的其余五條棱上的五對(duì)點(diǎn)(十點(diǎn)). 下面證明球面O1也經(jīng)過(guò)A3A4上的一對(duì)點(diǎn)B34、B′34.

作O1H⊥平面A1A3A4于H，因?yàn)榍蛎鍻1(半徑 設(shè) 為R1)經(jīng) 過(guò)B13、B′13、B14、B′14，則O1B13=O1B′13=O1B14=O1B′14=R1，因 此 有HB13=HB′13=HB14=HB′14. 即B13、B′13、B14、B′14四 點(diǎn) 共圓，圓心為H、半徑為R1.

根據(jù)前面的證明(*)知：B13、B′13、B14、B′14、B34、B′34這六點(diǎn)共圓，因此點(diǎn)H就是這個(gè)圓的圓心. 于是，HB34=HB′34=HB13，則O1B34=O1B′34=R1.

這就證明了題設(shè)中的六對(duì)點(diǎn)(十二點(diǎn))都在球面O1上(四個(gè)球面重合). 證畢.