幾何直觀，數(shù)學(xué)思維的“助推劑”

呂夢(mèng)嬋

【摘? 要】幾何直觀作為新課標(biāo)提出的小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，貫穿四大數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，其重要地位是毋庸置疑的。在新課改的理念引領(lǐng)下，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該注重潛移默化地滲透幾何直觀思想，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，在寓學(xué)于趣中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維進(jìn)階，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;數(shù)學(xué)思維

本文以筆者執(zhí)教的小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)基于幾何直觀的教學(xué)片段為例，對(duì)幾何直觀數(shù)學(xué)思維進(jìn)行探討，為一線教師提供參考，為自己今后的幾何直觀教學(xué)指明方向，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的思維廣度，在直觀體驗(yàn)中提升學(xué)生的綜合能力與素養(yǎng)。

一、潛移默化，滲透幾何直觀思想

（一）幾何直觀的內(nèi)涵

何為幾何直觀？數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的解釋：幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題，借助幾何手段把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)幾何直觀的概念界定各不相同，大致分為兩種：一種觀點(diǎn)認(rèn)為它是側(cè)重于“直觀”的方法手段，另一種則更傾向于把它定義為能力素養(yǎng)。二者雖不同，但彼此又有相通之處，從數(shù)學(xué)教育的角度，參照數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)幾何直觀的說明，基本可以歸結(jié)為利用實(shí)物、圖形等直觀語言描述和分析問題，對(duì)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行直觀感知和整體把握。

（二）小學(xué)生運(yùn)用幾何直觀的現(xiàn)狀

在當(dāng)前家長和社會(huì)都高度關(guān)注學(xué)生考試成績的背景下，許多教師的教學(xué)方法會(huì)或多或少地受到這種風(fēng)潮的影響，再加上一些教師自身素養(yǎng)的局限，導(dǎo)致課堂教學(xué)流于表面，一味地灌輸知識(shí)點(diǎn)，不斷地瘋狂刷題，試圖讓學(xué)生通過“死記硬背”和“題海戰(zhàn)術(shù)”來提高分?jǐn)?shù)，在這種形勢(shì)下的幾何直觀教學(xué)是欠缺的，是不受重視的。

大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對(duì)教材和課標(biāo)的把握還是準(zhǔn)確到位的，他們?cè)谡n堂教學(xué)過程中或多或少地都會(huì)滲透幾何直觀的思想，教授通過直觀圖形來輔助解題的具體方法。從筆者的課堂教學(xué)和作業(yè)反饋中不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，少部分學(xué)生見到稍復(fù)雜的題目都懶得畫圖來幫助解題，他們寧愿盯著題目看半天也不愿意動(dòng)手操作，實(shí)在想不出來了就隨意寫幾道算式。

細(xì)思原因，我歸結(jié)為以下三點(diǎn)：第一，這類孩子大都習(xí)慣于上課走神開小差，老師介紹方法時(shí)根本沒聽;第二，思想上不重視畫圖助解的方法，覺得把算式寫出來才能得分;第三，寫作業(yè)只圖速度快，敷衍了事。小學(xué)數(shù)學(xué)作為整個(gè)數(shù)學(xué)教育的起始，是夯實(shí)基礎(chǔ)的重要時(shí)期，對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有深遠(yuǎn)的影響，如果學(xué)生在這一階段敷衍應(yīng)付，忽視了幾何直觀的重要性，那必將對(duì)今后的理科學(xué)習(xí)產(chǎn)生不利影響。

（三）滲透幾何直觀思想的必要性

當(dāng)今社會(huì)信息網(wǎng)絡(luò)技術(shù)發(fā)達(dá)，知識(shí)的獲取變得輕而易舉，學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備也非常豐富，因此，學(xué)校教育的重點(diǎn)不應(yīng)局限于學(xué)生知識(shí)獲取的多少，而應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的知識(shí)是怎么得來的，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，更應(yīng)該助力學(xué)生的思維發(fā)展。

例如，在教學(xué)“圓的面積”時(shí)，教師應(yīng)善用教材，帶領(lǐng)學(xué)生探索實(shí)踐，豐富學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，在動(dòng)手操作中逐步推導(dǎo)出圓的面積公式。在動(dòng)手操作之前，教師應(yīng)明確活動(dòng)要求：把一個(gè)圓剪下來，按16等份剪開，再按照書上的示范拼一拼，看看你能得到一個(gè)什么樣的圖形。在交流討論之后，大家達(dá)成共識(shí)：拼成了一個(gè)近似的平行四邊形。此時(shí)教師應(yīng)提問：“這個(gè)平行四邊形的面積和圓的面積相等嗎？”緊接著追問：“那我們先求出這個(gè)平行四邊形的面積，需要哪些數(shù)據(jù)？這些數(shù)據(jù)都是已知的嗎？”學(xué)生立刻就能從圖形中看出平行四邊形的高是未知的。在此處教師應(yīng)順勢(shì)激發(fā)學(xué)生繼續(xù)轉(zhuǎn)化的需求，接著把圓平均分成32份，學(xué)生在操作觀察之后不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形更接近長方形了，教師借機(jī)提問：“如果繼續(xù)把圓平均分成64份、128份、256份……拼成的圖形會(huì)怎么樣呢？”學(xué)生借助圖形直觀加以聯(lián)想就能得出：平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形。

轉(zhuǎn)化之后，長方形的長和寬的推導(dǎo)更需要借助幾何直觀來觀察發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生能夠通過圖形直觀地發(fā)現(xiàn)：長方形的寬是圓的半徑r，長方形的長是圓周長的一半πr。少部分學(xué)生仍然沒明白，這時(shí)就需要教師借助實(shí)物直觀來幫助學(xué)生理解，把一個(gè)可以平均分成多個(gè)扇形的圓形磁性教具粘在黑板上，一步步展示拼成長方形的過程，最后通過求長方形的面積推導(dǎo)出圓的面積。圖形直觀加上實(shí)物直觀，這兩種幾何直觀的方法相輔相成，使學(xué)生更透徹地掌握了圓的面積公式是怎么得出的，也更清楚地掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，利用幾何直觀達(dá)到知其然也知其所以然的效果。

學(xué)生通過轉(zhuǎn)化圖形的實(shí)踐操作，在教師的逐步引導(dǎo)下，依托幾何直觀來分析推理，更深層次地掌握了圓的面積的算法和由來，進(jìn)而可以把這種思維方式遷移到其他的數(shù)學(xué)問題中去。教師在以教材為基礎(chǔ)的教學(xué)過程中滲透幾何直觀思想，不僅豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)框架體系，提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，還發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維能力。

二、探索實(shí)踐，鍛煉幾何直觀能力

心理學(xué)視角下，幾何直觀是一種思維形式，幾何直觀能力則被認(rèn)為是一種數(shù)學(xué)思維能力，是將數(shù)學(xué)對(duì)象運(yùn)用幾何語言進(jìn)行表達(dá)的能力。幾何直觀能力可以直接幫助學(xué)生表征問題從而推動(dòng)問題的解決，幾何直觀能力的發(fā)展也是其他學(xué)習(xí)能力發(fā)展的“橋梁”，更是助推數(shù)學(xué)思維發(fā)展的“跳板”。

直觀能力是否與生俱來還有待商榷，但值得肯定的是，但凡能力都是可以通過后天的學(xué)習(xí)培養(yǎng)出來的。教師不僅要在新知教學(xué)中滲透幾何直觀思想，還要在后續(xù)的鞏固練習(xí)中實(shí)現(xiàn)學(xué)生幾何直觀能力的有效鍛煉，進(jìn)而提高學(xué)生應(yīng)用幾何直觀解決問題的能力。

（一）運(yùn)用多媒體激發(fā)幾何直觀的應(yīng)用興趣

如今信息技術(shù)高度發(fā)達(dá)，在各行各業(yè)中的應(yīng)用都十分廣泛，教師也應(yīng)該通過學(xué)習(xí)來提高自己運(yùn)用信息技術(shù)的水平，從而將信息技術(shù)應(yīng)用到日常教學(xué)活動(dòng)中，提升課堂教學(xué)的效果。PPT、幾何畫板、圖形計(jì)算器等多媒體技術(shù)都是教師需要努力精進(jìn)的，生動(dòng)的課件展示能夠迎合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，迅速吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生對(duì)運(yùn)用圖形助解的興趣。教師應(yīng)從學(xué)生的喜好出發(fā)，激起學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用幾何直觀的意識(shí)，為學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用和知識(shí)內(nèi)化打下基礎(chǔ)。

（二）巧妙設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)體會(huì)幾何直觀的應(yīng)用價(jià)值

很多學(xué)生的幾何直觀應(yīng)用意識(shí)非常薄弱，遇到難以解決的問題寧愿選擇逃避也不愿意畫圖分析，一個(gè)重要的原因是他們從思想上根本沒有意識(shí)到幾何直觀的價(jià)值，沒有感受過應(yīng)用幾何直觀帶來的便捷。所以教師應(yīng)該思考如何巧妙設(shè)計(jì)教學(xué)過程，讓學(xué)生從方法的運(yùn)用中嘗到甜頭，這樣學(xué)生才會(huì)選擇慢慢接受和嘗試。比如教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)需要運(yùn)用幾何直觀來解決的環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生自主嘗試各自不同的解法，思考未果之后教師適時(shí)出示相關(guān)的圖式，先運(yùn)用正向思維從圖中找數(shù)學(xué)信息，說說與原題的異同，接著用逆向思維整理原題中的信息，形成對(duì)應(yīng)的圖式來完善自己的思路。一正一逆思維的訓(xùn)練會(huì)讓學(xué)生形成對(duì)比印象，更加深刻具體地感受幾何直觀的應(yīng)用價(jià)值。

（三）豐富應(yīng)用領(lǐng)域創(chuàng)造幾何直觀應(yīng)用時(shí)機(jī)

筆者教學(xué)分?jǐn)?shù)內(nèi)容時(shí)遇到這樣的題目：“把3個(gè)橙子平均分成4份，每份是1個(gè)橙子的幾分之幾？”這個(gè)題目學(xué)生解答時(shí)幾乎是全軍覆沒，很多同學(xué)都思維定式先看問題沒有單位，就直接想成：把3個(gè)橙子看作單位“1”，把單位“1”平均分成4份，每份就是?？墒沁@道題的關(guān)鍵在于第二小句問題的單位“1”變了，不再是3個(gè)橙子，而是1個(gè)橙子。我理清了這道題的易錯(cuò)點(diǎn)后，便向理解了的同學(xué)繼續(xù)講解：“1個(gè)橙子的幾分之幾就是問我們每份有多少個(gè)橙子，就是用3個(gè)橙子除以4得個(gè)橙子，也就是1個(gè)橙子的。”話音落下，很多同學(xué)都流露出似懂非懂的表情，我借機(jī)說道：“回憶一下我們是如何探究分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系的？能不能嘗試畫圖來解決這個(gè)問題呢？”立即有同學(xué)搶答道：“哦，畫那個(gè)圓餅圖?！睂W(xué)生各自畫完后，請(qǐng)學(xué)生投影展示：“把3個(gè)橙子一個(gè)一個(gè)地分，把每個(gè)橙子畫作一個(gè)圓，每個(gè)橙子都平均分成4份，都取其中的一份涂上陰影，把這三小塊涂陰影的放到一個(gè)橙子里，就可以得出就是1個(gè)橙子的?！贝藭r(shí)大家紛紛點(diǎn)頭，從學(xué)生的表情就可以看出他們借助圖形之后立刻就弄明白了。一些復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)小學(xué)生來說確實(shí)晦澀難懂，這就需要教師的適時(shí)點(diǎn)撥，引入幾何直觀來打開學(xué)生的思維，打破數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域之間的隔膜，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通。

（四）設(shè)置專門課程訓(xùn)練幾何直觀應(yīng)用方法

數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)較多，很多作業(yè)難題也都需要教師利用課堂時(shí)間講解，然而數(shù)學(xué)課堂上的時(shí)間十分寶貴，因此，許多教師只能一味地抓緊時(shí)間上課講練習(xí)，即使遇到需要幾何直觀來解決的問題，也大都是就題講題，缺乏拓展延伸與系統(tǒng)講解。教師應(yīng)該意識(shí)到，“質(zhì)”比“量”更重要，教師更需要優(yōu)化課程設(shè)計(jì)而非泛泛而講，挑重點(diǎn)講難點(diǎn)可以節(jié)約許多課堂時(shí)間，這樣教師就可以利用抽離出來的時(shí)間對(duì)一些重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行單獨(dú)訓(xùn)練。學(xué)生幾何直觀能力的養(yǎng)成并不是一蹴而就的，需要教師重視起來并長期進(jìn)行規(guī)范訓(xùn)練，利用整節(jié)課或是在常規(guī)課中設(shè)計(jì)一個(gè)環(huán)節(jié)來專門教學(xué)幾何直觀的方法與技巧，進(jìn)而真正提升學(xué)生靈活運(yùn)用幾何直觀來解決問題的能力。

三、經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化，發(fā)展提升數(shù)學(xué)思維

幾何直觀方法與技巧需要在教師的引導(dǎo)下不斷地訓(xùn)練，在此過程中學(xué)生在原有的知識(shí)基礎(chǔ)上逐漸建構(gòu)生成，把習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)揣摩內(nèi)化，完善自己的知識(shí)體系。在學(xué)生借助實(shí)物或圖形進(jìn)行思考和推理的過程中，數(shù)形結(jié)合帶來的直觀感受豐富了形象思維，幫助學(xué)生從冗雜的問題情境中剝離出數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生聚焦于思維碰撞過程。

“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，優(yōu)化思維表達(dá)”是幾何直觀教育價(jià)值的體現(xiàn)，靈活運(yùn)用幾何直觀表征數(shù)學(xué)問題，學(xué)生能更好地體會(huì)幾何直觀在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中的作用，進(jìn)而拓寬思維路徑，鍛煉探索實(shí)踐能力。隨學(xué)段螺旋上升的幾何直觀能力會(huì)讓學(xué)生思維產(chǎn)生進(jìn)階，學(xué)生的幾何直觀能力也會(huì)隨著思維水平的提高而得到進(jìn)一步發(fā)展，在二者的相互促進(jìn)下，形成一個(gè)良性循環(huán)，助推彼此的發(fā)展，提高學(xué)生分析和解決問題的綜合能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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