帶跳混合高斯模型下的交換期權(quán)定價

涂曉玲

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

0 引言

交換期權(quán)是一種奇異期權(quán),期權(quán)持有者有權(quán)在到期日T時以一種資產(chǎn)換取另一種資產(chǎn),交換期權(quán)在本質(zhì)上是一種合約,在基金、國際貿(mào)易等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.通過對經(jīng)典的Black-Scholes定價模型[1]的研究,很多學(xué)者發(fā)現(xiàn)金融資產(chǎn)價格通常具有“尖峰厚尾”、長相依性和自相似性等特征.為了更好地刻畫標(biāo)的資產(chǎn)的這些特征,很多學(xué)者開始考慮用分?jǐn)?shù)布朗運動[2]和次分?jǐn)?shù)布朗運動[3]等修正的幾何布朗運動來描述標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化行為.次分?jǐn)?shù)布朗運動的性質(zhì)類似于分?jǐn)?shù)布朗運動,但是其收斂速度比分?jǐn)?shù)布朗運動更快,它簡化了期權(quán)定價問題.楊月等人[4]研究了帶跳次分?jǐn)?shù)布朗運動中亞式期權(quán)的定價,將跳-擴散過程引入到次分?jǐn)?shù)布朗運動中,得到了幾何亞式期權(quán)在次分?jǐn)?shù)跳-擴散模型下的定價公式.郭精軍等人[5]介紹了亞式期權(quán)冪在混合高斯和帶跳模型下的定價公式,運用風(fēng)險中性原理和自融資的理論得到了在帶跳混合高斯模型下幾何亞式冪期權(quán)的定價公式.徐峰等人[6]研究了混合次分?jǐn)?shù)布朗運動中交換期權(quán)的定價,通過偏微分方程的方法和隨機分析的理論,建立了金融市場模型,得到了交換期權(quán)在混合次分?jǐn)?shù)布朗運動中的定價公式.為了體現(xiàn)金融資產(chǎn)的長記憶性,本文用混合高斯模型來刻畫金融資產(chǎn)的價格,考慮到股票等金融資產(chǎn)價格有時會出現(xiàn)“跳躍”等異常波動,所以將泊松過程加入到期權(quán)定價模型,即運用帶跳混合高斯模型描述標(biāo)的資產(chǎn)價格過程,得到了帶跳混合高斯模型下交換期權(quán)滿足的Black-Scholes偏微分方程,求解該公式后,給出了交換期權(quán)的定價公式.

1 預(yù)備知識

下面介紹混合高斯模型及其基本性質(zhì)、無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn)的價格公式.

定義1 假設(shè)(Ω,F,Ρ)是一個完備的概率空間,則可用Wt來表示混合高斯模型

Wt=Wt(a,b)=mBH(t)+nB(t),?t≥0.

其中m,n是常數(shù),H是Hurst指數(shù),H∈(0,1).BH(t)為次分?jǐn)?shù)布朗運動,B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動且BH(t),B(t)相互獨立.

混合高斯模型Wt,?t≥0具有以下性質(zhì)[5]

1)Wt是一個中心高斯過程;

2) 當(dāng)t=0時,W0=mBH(0)+nB(0)=0;

3) ?s∈R+,?t∈R+,Wt與Ws的協(xié)方差函數(shù)是

下面給出無風(fēng)險資產(chǎn)和有風(fēng)險資產(chǎn)的價格公式.

定義2 假設(shè)金融市場里有三種證券,一種是無風(fēng)險資產(chǎn),比如債券,其價格滿足

(1)

另外兩種是有風(fēng)險的資產(chǎn),比如股票,第i種風(fēng)險資產(chǎn)價格滿足

dSi(t)=μiSi(t)dt+σiSi(t)(midBH(t)+nidB(t)+dQt)

(2)

在式(1)和式(2)中,r,ui,σi,mi,ni(i=1,2)是常數(shù),B(t)是布朗運動,BH(t)是次分?jǐn)?shù)布朗運動,Qt=Nt-λt表示補償泊松過程,用Nt表示強度是λ的泊松過程,并且BH(t),B(t),Nt相互獨立.

2 帶跳混合高斯模型下交換期權(quán)的定價模型

定理1 假設(shè)Xt=Wt+Qt為帶跳混合高斯過程,Wt=mBH(t)+nB(t),f(t,x)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo),則有

(3)

在[0,t)內(nèi),當(dāng)f跳躍的次數(shù)服從泊松過程時,考慮所有的跳躍次數(shù),則有

(4)

又因為Xt=mBH(t)+nB(t)+Nt-λt,那么

(5)

將式(5)帶入式(4)的表達式中,得到

證畢.

根據(jù)定理1，可以得到以下推論.

推論1 隨機微分方程(2)的解是

證明下面,對S1(t)進行證明,S2(t)可以類似得到.

則dS1(t)=d(f,m1BH(t)+n1B(t)+Q1),再結(jié)合定理1可以證得結(jié)論成立.

定理2 假設(shè)用F(.,.,.)∈C1,2,1(R+×R×R→R)表示未定權(quán)益的價值過程,設(shè)F=F(t,S1(t),S2(t)),則帶跳混合高斯模型下的Black-Scholes偏微分方程是

證明

(6)

由定理1和推論1,可以得到.

由式(1)和式(2)，可得

dF(t)=(θt0rC(t)+θt1μ1S1+θt2μ2S2)dt+θt1S1σ1(m1dBH(t)+n1dB(t)+dQ1) +

θt2S2σ2(m2dBH(t)+n2dB(t)+dQ2)

(7)

比較式(5)和式(6)得

(8)

(9)

根據(jù)式(7)和式(8),即

化簡后可以得到定理2的表達式,從而定理2得證.

3 求解模型

交換期權(quán)可以被視為在T時刻到期的未定權(quán)益F=[S2(T)-S1(T)]+,下面，給出帶跳混合高斯模型下交換期權(quán)定價公式.

定理3 假設(shè)股票的價格滿足式(2),那么交換期權(quán)U(t,S1,S2)在到期日為T,任意時刻t的價格為

U(t,S1,S2)=S2Φ(d2)-S1Φ(d1),

其中

證明由定理2可知,交換期權(quán)U(t,S1,S2)滿足下列偏微分方程

(10)

初始條件為

U(t,S1,S2)=[S2(T)-S1(T)]+,

采用下列變量替換,令

則有

將上面的變換代入到式(10)中,整理得

(11)

(12)

再使用變量替換,令

V(Y,t)=v(η,τ),η=x+α(t),τ=ω(t).

則可以得到

將上面的變換代入式(12)中，得

(13)

假設(shè)

則有

則可得

ω(t)=-α(t).

且式(13)可化簡為

(14)

式(14)中邊界條件為

v(η,0)=(eη-1)+.

由熱傳導(dǎo)方程的經(jīng)典解理論可知,上述方程(14)存在唯一的強解

通過進一步的計算,可以得到

(15)

將η=x+α(t),τ=ω(t)代入式(15)中,得到

U(t,S1,S2)=S2Φ(d2)-S1Φ(d1).

其中

定理3得證.

推論2 當(dāng)未定權(quán)益F=[S1(T)-S2(T)]+,則可以推得交換期權(quán)U(t,S1,S2)在到期日為T,任意時刻t的價格為

U(t,S1,S2)=S1Φ(d2)-S2Φ(d1),

其中

注1 當(dāng)Xt=mBH(t)+nB(t)時,定理3的結(jié)果即是文[6]中定理4的結(jié)果.

注2 當(dāng)Xt=mBH(t)+nB(t)+N(t)-λt中的m=1,n=0時,定理3和推論2的結(jié)果即是文[7]中定理2和推論1的結(jié)果.

4 結(jié)論

本文采用帶跳混合高斯模型來刻畫股票價格的變化,研究了帶跳混合高斯模型下交換期權(quán)定價模型,利用變量替換法求解了偏微分方程,得到了該方程的顯式解,也就是在該模型下交換期權(quán)的定價公式.文中的模型也可以用于其他期權(quán)的研究,如重置期權(quán)、利差期權(quán)等.