GeoGebra在高中數(shù)學教學中的應用舉例

江蘇省揚州市揚州大學數(shù)學科學學院(225000) 劉 杰

1 GeoGebra 介紹

GeoGebra 是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的Markus Hohenwarter 教授在2002年設計的,是一款將幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計和微積分整合在一起的動態(tài)的教學軟件,對于傳統(tǒng)的動態(tài)教學軟件如幾何畫板來說,它不僅可以構造各種幾何圖形、函數(shù)圖像,而且可以比較條理清晰地看到作圖的代數(shù)過程步驟,“數(shù)”與“形”同步顯現(xiàn),十分方便.如圖1軟件分為代數(shù)區(qū)和幾何區(qū),代數(shù)區(qū)負責列出對象的數(shù)學式形態(tài)的定義,幾何區(qū)負責顯示對象如點、線、圖形、軌跡等.

圖1

2 GeoGebra 在教學中應用舉例

2.1 初等函數(shù)中教學應用——以指數(shù)函數(shù)為例

函數(shù)在高中數(shù)學知識的學習中是重點和難點,主要學習其概念以及圖像與性質,而對于函數(shù)的性質都是從圖像中總結而來,所以在教學中更多的是讓學生從圖像進行自主總結歸納,僅靠“描點法”等傳統(tǒng)方法作圖,只能展現(xiàn)函數(shù)的局部特征,一些關鍵點無法直觀的看到坐標,影響學生的探究過程,就有必要借助現(xiàn)代信息技術來完成.

指數(shù)函數(shù)圖像探究過程主要讓學生考慮指數(shù)函數(shù)概念中底數(shù)有限制范圍的原因,讓學生畫出一些特殊函數(shù)圖像,引發(fā)思考做出假設,然后進行歸納總結指數(shù)函數(shù)性質.教師所要做的是利用GeoGebra 整合學生畫出的圖像讓他們易于觀察做出假設,并最后利用GeoGebra 展示圖像因為底數(shù)a的變化而動態(tài)變化的過程，見圖2,總結指數(shù)函數(shù)的圖像及其相關性質,而且軟件中所做出的不同函數(shù)圖像是自帶不同顏色、標簽的,方便對其進行隱藏或顯示操作,圖像不易混淆,非常方便教學操作也有益于學生觀察.

圖2

2.2 立體幾何中教學應用——以旋轉體為例

立體幾何的學習中,學生不僅要有邏輯思維能力還需要空間想象能力,是落實數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內容,通過學習培養(yǎng)學生的空間直觀感知能力,能夠有邏輯的去判斷空間中各個元素的位置關系.高考中的立體幾何學生大部分選擇用向量法解題;在傳統(tǒng)的教學中一些簡單的立體幾何圖形教師一般是動手做簡易模型讓學生觀察線面位置等,但是對于復雜的立體幾何則無法展現(xiàn),教師則需要充分利用多媒體更加直觀而且精準的向學生展示三維圖形的各個面,或者從二維圖形向三維圖形轉化的過程,讓學生理解立體幾何的本質,建立空間觀念.

基本立體圖形是學習其他立體幾何的基礎,學生需要了解立體幾何的分類以及形成過程,能對復雜立體幾何的構成元素進行分析.利用GeoGebra 讓學生直觀看到從二維圖形到三維立體幾何的動態(tài)過程,了解知識本質,激發(fā)學習興趣,見圖3圓錐的形成,實現(xiàn)由二維三角形旋轉得到圓錐立體.

圖3

2.3 圓錐曲線中教學應用——以圓錐曲線定義為例

圓錐曲線在實際生活中都有很多應用,如火力發(fā)電廠的冷卻塔運用到了雙曲線模型,行星的運動是橢圓模型,自由落體、拱橋等涉及拋物線的知識.圓錐曲線在高中知識中是一個重點及難點問題,因為其中涉及的知識點比較多包括拋物線、橢圓、雙曲線的定義和各種性質,出題方面變化多端,不僅與直線、三角形、圓等知識進行融合而且還需要比較強的邏輯運算能力,出題類型多有求軌跡方程、定點定值、定比、最值范圍等,對學生的能力要求比較高.學生在做題中難以下手主要還是對于圓錐曲線的性質等問題理解的不夠透徹,不能應對多變的提問方式,所以就要求教師在教學中應該注重對于直觀想象力進行培養(yǎng),將圓錐曲線進行直觀、形象地展示,以促使“數(shù)”與“形”能夠有效融合.

橢圓、雙曲線、拋物線為何叫圓錐曲線,這就要追究到圓錐曲線的形成過程,此為知識的發(fā)生、發(fā)展過程,需要教師向學生展示知識本質,也是數(shù)學文化的滲透過程.教師可以利用GeoGebra 直觀演示平面斜截圓柱所得的交線的種類,見圖4,以此來引入圓錐曲線知識.其中教師可以用丹德林雙球模型推導出橢圓的焦半徑性質,見圖5,既有助于學生對橢圓定義的理解,也讓學生了解數(shù)學曲折的發(fā)展過程,提高學生學習興趣.

圖4

圖5

2.4 概率與統(tǒng)計中教學應用——以正態(tài)分布為例

概率與統(tǒng)計內容在日常生活中或多或少都有涉及,在教學過程中這部分內容的教學與案例也都是與生活情境密切相關的,讓學生深切了解生活中有數(shù)學,數(shù)學與生活密切相關,在信息技術發(fā)展的今天,對學生也提出了相應的技能學習,課程標準中的數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)也體現(xiàn)了這一點.通過學習這部分的內容,提高學生對隨機性的認識,并能夠初步學會收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù),傳統(tǒng)教學中教師會利用課本上的案例來進行知識講解,直接根據(jù)所給數(shù)據(jù)得出統(tǒng)計圖表,學生沒有經(jīng)歷收集、整理、分析數(shù)據(jù)的過程,只是機械的學會如何從圖表中求頻率,教學最重要的是要讓學生經(jīng)歷統(tǒng)計的過程,為了增加課堂效率和質量,避免手動畫圖帶來的誤差,利用信息技術直觀展現(xiàn)作圖,為學生提供了有理有據(jù)的圖表,提升了課堂的趣味性和教學效果,也有助于對于數(shù)據(jù)的分析.

正態(tài)分布是連續(xù)型隨機變量的一種分布形式,在統(tǒng)計中可以說是經(jīng)常見到,在進行教學時,需要討論參數(shù)μ和σ對正態(tài)分布曲線的影響,以及一般正態(tài)變量落入任意區(qū)間的概率,教師通過GeoGebra 可以任意改變參數(shù)μ和σ,讓學生看到曲線隨參數(shù)變化的規(guī)律,也可直接通過“概率統(tǒng)計”幾何區(qū)改變,見圖6.

圖6

3 利用GeoGebra 進行教學的幾點思考

3.1 教師要熟練操作信息技術,提高課堂效率

教師要緊跟時代發(fā)展,學習有利于課堂有利于學生發(fā)展的教學技能,現(xiàn)代課堂由以板書為主轉化成以多媒體展示為主,教師不僅要了解而且要熟練運用多媒體軟件,在課前做好準備,也要在課上能現(xiàn)場操作例如轉變相關參數(shù)、直接展現(xiàn)操作步驟讓學生直觀理解知識,有效率地學到知識.

3.2 教師要合理利用信息技術,提高課堂質量

教師要深入研究教材和教學內容,尋找教學與信息技術融合的最佳內容和最佳方式,不能說為了用信息技術而用信息技術,要使信息技術用的有用、有效,能夠讓學生比不用信息技術更能理解知識的本質.教師操作的時候讓學生專注于知識本身,而不是去追求圖形絢麗多彩的表面變化場景,這就需要教師做課件去思考相關情況并在課上通過語言去引導學生,提高課堂質量.

3.3 教師要深入發(fā)掘信息技術,展現(xiàn)數(shù)學價值

教師在教學中融入信息技術并不只限于教材中的知識點,數(shù)學是科學的、實用的、文化的、思想的,具有多方面價值,教師要深入挖掘數(shù)學知識中存在的價值,并將其生動地展現(xiàn)給學生,由此教師可以借助信息技術,讓學生感受數(shù)學的價值存在,如通過絢麗多彩的勾股樹展示數(shù)學定理,用形態(tài)多樣萬花尺來體現(xiàn)數(shù)學的美學價值,培養(yǎng)學生的理性思維,激發(fā)學生尋求數(shù)學發(fā)展歷史,提高數(shù)學的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識.

4 結語

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)中明確指出“注重信息技術與數(shù)學課程的深度融合,提高教學的實效性”.信息技術融入課堂已經(jīng)不是一個新的話題,但是大多還只是PPT 的展示,有時候并沒提高課堂教學的質量,如何在課堂中有效融入信息技術是一個重要問題,教師借助GeoGebra 等教學軟件,尋求與教學結合的最佳方式,向學生直觀、動態(tài)地展現(xiàn)數(shù)學知識的生成、演變過程,有利于學生了解知識本質,更能讓數(shù)學知識不再枯燥無味,讓課堂氣氛變的活躍,增進師生交流,提升數(shù)學素養(yǎng).