以2021年廣東省一道中考題為例
——談對(duì)于尖子生初高中銜接的教學(xué)

廣東省廣州市白云廣雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510430) 袁 宏

2021年廣東省中考已經(jīng)落下帷幕,但是2021年廣東省這套數(shù)學(xué)試題是備受爭(zhēng)議的一套試卷,分開(kāi)每道題目來(lái)看,試卷出的不錯(cuò),考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面,難度也適中,但是組成一套試題學(xué)生感覺(jué)就比較難.學(xué)生之所以反饋難,本文作者認(rèn)為主要有兩個(gè)方面的原因:

第一,中等難度的題目太多,并且整套試題的計(jì)算量比較大;第二,考查學(xué)生的動(dòng)手畫(huà)圖能力比較多,方法比較靈活多樣,并且省中考時(shí)間和廣州市中考時(shí)間比少了30 分鐘.基于這兩個(gè)原因,學(xué)生做不完是常態(tài).本文以23 題為例來(lái)介紹題目解法的多樣性,并且指出在初三后期的教學(xué)中對(duì)學(xué)有余力的優(yōu)等生可以安排初高中銜接的內(nèi)容.

2021年廣東省中考試題23 題: 如題23 圖,邊長(zhǎng)為1 的正方形ABCD中,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),連接BE,將ΔABE沿BE折疊得到ΔFBE,BF交AC于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng).

本題考查的是正方形中的翻折問(wèn)題中的求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題,學(xué)生對(duì)求線段的長(zhǎng)度這類題目在初三后期已經(jīng)積累了一些方法,例如可以利用勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)以及等面積法等這些常用的方法來(lái)求線段的長(zhǎng)度.

認(rèn)真分析本題題干和觀察圖形,不難發(fā)現(xiàn)題目中有很多的平行線和直角,可以考慮嘗試用勾股定理或是相似三角形的性質(zhì)來(lái)求線段CG的長(zhǎng)度.但是若是考慮直接用勾股定理來(lái)求線段CG的長(zhǎng)度,我們要去說(shuō)明CG在直角三角形中,但是由題意我們不難發(fā)現(xiàn)BF與AC是不一定垂直的,所以想用勾股定理直接求線段CG是不太可取.觀察圖形,不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形給我們的感覺(jué)是殘缺、不完整.我們可以嘗試把圖形補(bǔ)全,例如延長(zhǎng)線段BF,交邊CD于一點(diǎn)或是交邊AD的延長(zhǎng)線于一點(diǎn),如下圖1、圖2.

由相似三角形的知識(shí),我們可以利用“X”的三角形相似,利用對(duì)應(yīng)邊的比值相等,求出要求的線段CG的長(zhǎng)度.若是利用圖1來(lái)求,需要求出CH的長(zhǎng)度,若是利用圖2來(lái)求,可以求出DM的長(zhǎng)度.這兩條線段我們都可以根據(jù)題意求出來(lái).接下來(lái)給出圖1的詳細(xì)解法.

解法一延長(zhǎng)線段BF,交邊CD于一點(diǎn)H,連接EH,如圖1-1.由翻折可得,ΔABE≌ΔFBE,AE=FE,AB=FB,∠EFB=∠EAB=90°,∠AEB=∠FEB,又 ∵E為AD的中點(diǎn),∴DE=AE=FE,又∵∠EFH=∠EDH=90°,∴在RtΔEDH和RtΔEFH中,∴RtΔEDH≌RtΔEFH(HL),∠DEH=∠FEH,又∵∠DEA=180°,∴∠HEB=90°,∠DEH+∠AEB=90°,又∵∠DEH+∠DHE=90°,∴∠AEB=∠DHE,∴RtΔEDH∽R(shí)tΔEAB,∴又 ∵DA=又∵四邊形ABCD是正方形,AD=1,∴AC=CD//AB,∴ΔCHG∽ΔABG,又∵AG=AC?CG=

本題目要求線段CG的長(zhǎng)度,認(rèn)真觀察圖形,不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G是直線AC和直線BF的交點(diǎn),若我們能夠求出這兩條直線的解析式,點(diǎn)G的坐標(biāo)就很容易求出,這樣線段CG的長(zhǎng)度也就求出來(lái)了.而要想求兩條直線的解析式,我們就要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,根據(jù)條件求出直線解析式,然后再聯(lián)立解析式把點(diǎn)G的坐標(biāo)求出即可.所以接下來(lái)我們給出解本題的另一種方法,即建系求交點(diǎn)的方法.

解法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD所在直線為x軸和y軸建立圖3所示平面直角坐標(biāo)系.此時(shí)三點(diǎn)C,B,E坐標(biāo)分別為C(1,1),同時(shí)易得直線AC的解析式為:lAC:y=x,由正切值的二倍角公式可得,又∵tan ∠ABM=

設(shè)直線BF的解析式為:lBF:y=kx+將點(diǎn)B(1,0)代入直線BF的解析式中,得,聯(lián)立兩直線的解析式,解得∴交點(diǎn)又∵四邊形ABCD是正方形,AD=1,∴∠BAC=45°,

對(duì)比以上兩種解法,可以看到,利用建系的方法來(lái)求點(diǎn)坐標(biāo)是比較容易想到并且也是比較容易求的,但是在這種方法中唯一一個(gè)知識(shí)點(diǎn),二倍角的正切值這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生要熟悉的,否則利用建系這種方法來(lái)解此題還是有些困難.所以本人認(rèn)為在初三平時(shí)的教學(xué)中可以給學(xué)生拓展?jié)B透一些高中知識(shí),尤其是在后期復(fù)習(xí)階段可以讓學(xué)生熟練高中的一些結(jié)論,對(duì)于中考時(shí)可以借助高中的知識(shí)來(lái)解決一些題目是非?？旖莺?jiǎn)便.

據(jù)筆者多年帶畢業(yè)班的體會(huì),多總結(jié)一些可以用到的高中的常用的知識(shí),在平時(shí)教學(xué)中給學(xué)生拓展,有些是可以不必深究道理,可以直接告訴學(xué)生結(jié)論,讓他們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中慢慢滲透,學(xué)會(huì)熟練應(yīng)用.一些常用的知識(shí)點(diǎn)列舉如下:

1、兩點(diǎn)間的距離公式:已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB的長(zhǎng)度為:

此結(jié)論可以在學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理一章時(shí)給學(xué)生拓展補(bǔ)充,學(xué)生比較容易理解和接受,并且這一結(jié)論在初中階段的學(xué)習(xí)中也會(huì)經(jīng)常用到.

2、中點(diǎn)的坐標(biāo)公式:已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

這一結(jié)論可以在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)這一章節(jié)知識(shí)時(shí)給出補(bǔ)充,通過(guò)列舉具體的實(shí)例,學(xué)生是容易得到這一結(jié)論,并且也容易理解和記憶.并且這一結(jié)論在后期與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)都可以用上.

在一次函數(shù)這一章中,也有一些非常實(shí)用的知識(shí)可以給學(xué)生拓展.

3、兩直線平行時(shí)滿足的條件: 已知兩條直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,當(dāng)l1//l2時(shí),則有k1=k2.

4、若上述兩直線互相垂直時(shí),可以得到k1·k2=?1.

這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在學(xué)習(xí)一次函數(shù)這章時(shí)可以給學(xué)生拓展補(bǔ)充,在后期的綜合題目中可以選擇用這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決,非?？旖?

例如,2019年梧州的一道考題:直線y=3x+1 向下平移2 個(gè)單位長(zhǎng)度,所得直線的解析式是( )

A.y=3x+3 B.y=3x?2

C.y=3x+2 D.y=3x?1

本題我們利用知識(shí)點(diǎn)3 很容易得到平移之后的直線的k=3,直接設(shè)出平移之后的直線的解析式為:y=3x+b,然后再選擇一個(gè)特殊點(diǎn)如(0,1)向下平移2 個(gè)單位后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(0,?1),將這個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)帶入所設(shè)的解析式中,就可以求出b=?1,所以本題的答案很容易就得到是D.若是不用知識(shí)點(diǎn)3 我們常規(guī)解法用待定系數(shù)法,要設(shè)兩個(gè)系數(shù),并且要選兩個(gè)點(diǎn)帶入求出兩個(gè)系數(shù),增加了計(jì)算量,本題只是一道選擇題,可以直接用高中的一些結(jié)論性的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決,非?？旖莘奖?

5、這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是前面我們用過(guò)的三角函數(shù)正切值的二倍角公式的一般形式,兩個(gè)角的和或差的正切.不過(guò)在初中階段我們給出的角度都是在銳角的范圍.若已知兩個(gè)銳角,∠A,∠B,則tan(∠A±∠B)=

這兩個(gè)公式用處我們可以通過(guò)上面的一題的第二種解法可以感受到,非常有用.在求一些特殊角的正切值時(shí)也是非常方便的.

如可以利用上述公式求tan 15°,tan 75°.

分析可得，

6、點(diǎn)到直線的距離公式: 已知直線l的解析式為:y=kx+b,可變形為kx?y+b=0,或是更一般的表達(dá)形式:Ax+By+C=0(A,B,C為常數(shù)).直線外一點(diǎn)P(a,b),則點(diǎn)P到直線l的距離為:d=

7、初中階段學(xué)習(xí)的勾股定理的推廣: 余弦定理.對(duì)于任意三角形,任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積,若三邊為a,b,c三角為A,B,C,則有以下結(jié)論:a2=b2+c2?2bccosA或b2=a2+c2?2accosB或c2=b2+a2?2bacosC.

8、正弦定理: 在任意一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于這個(gè)三角形外接圓的直徑.即:=2r(r為三角形外接圓的半徑).

這兩個(gè)定理都是三角形中的兩個(gè)基本定理,是建立了三角形中的邊和角之間的關(guān)系,在求三角形的邊長(zhǎng)或是角度是非常有用的.

除了高中這些常用到的知識(shí)點(diǎn)外,對(duì)于尖子生我們還可以對(duì)他們拓展一些初中被刪除掉,不做為必學(xué)的知識(shí)點(diǎn).補(bǔ)充學(xué)習(xí)這些知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候,可以讓學(xué)生利用已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)給出詳細(xì)的證明,加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用,而不至于死記硬背知識(shí)點(diǎn).常用到的有以下圓中的一些知識(shí)點(diǎn):

9、證明四點(diǎn)共圓的結(jié)論:在一個(gè)四邊形中,若滿足四邊形的對(duì)角互補(bǔ),則一定可以得到四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

還有圓冪定理:相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理四個(gè)常用定理.

10、相交弦定理:若圓內(nèi)任意弦AB、弦CD交于點(diǎn)P,則PA·PB=PC·PD;

11、切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng);

12、割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等;

13、弦切角定理:圓的切線與圓相交的弦相交所形成的夾角稱為弦切角,弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù).

以上的四個(gè)定理是圓冪定理的四個(gè)結(jié)論,也是比較常用的幾個(gè)結(jié)論,可以用一節(jié)課的時(shí)間讓學(xué)生來(lái)學(xué)習(xí)推導(dǎo)一下,拓展學(xué)生的視野,開(kāi)闊學(xué)生的思路.

除了以上的幾個(gè)常用的知識(shí)點(diǎn)外,還有一些常用的解題方法,如建立平面直角坐標(biāo)系解決一些幾何問(wèn)題或是代數(shù)綜合性的題目,平時(shí)的教學(xué)中也需要給學(xué)生滲透一些.這樣學(xué)生在步入高中學(xué)習(xí)時(shí)就不會(huì)感覺(jué)那些知識(shí)很突兀,慢慢感受到高中學(xué)習(xí)是在進(jìn)一步加深知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí),不會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門(mén)很難學(xué)的學(xué)科,從心理上可以接受它,從而擺脫了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的恐懼心理.