巧用圓規(guī)解決折疊問題
——以一道中考題的分析為例

廣東省廣州市增城區(qū)石灘中學(511330) 陳明雙

折疊:指把物體的一部分翻轉(zhuǎn)和另一部分貼攏.“折疊問題”在初中數(shù)學主要應用于軸對稱變換這類幾何題型.

近幾年來,“折疊問題”在全國各地數(shù)學題中頻繁出現(xiàn),而更多時候是在中考的壓軸題當中出現(xiàn)該類問題,它通常與動點型的問題相結(jié)合,所涉及的考點主要有圖形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)和勾股定理的應用,主要考查學生的幾何直觀,空間觀念,推理能力,轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想等等.對于此類問題,它對學生的讀題能力、識圖能力、作圖能力有更高的要求.“折疊問題”大多數(shù)呈現(xiàn)于動點問題當中,而學生一遇到動點問題就束手無策.

1 試題呈現(xiàn)

在矩形ABCD中,BC=3,動點P從B出發(fā),以每秒1 個單位的速度,沿射線BC方向移動,作ΔPAB關(guān)于直線PA的對稱ΔPAB′,設點的運動時間為t(s).

(1)若AB=

①如圖2,當點B′落在AC上時,顯然ΔPAB′是直角三角形,求此時的t值;

②是否存在異于圖2的時刻,使得ΔPCB′是直角三角形? 若存在,請求出所有符合題意t的值;若不存在,請說明理由;

圖1

圖2

(2)當點P不與點C重合時,若直線PB′與直線CD相交于點M.且當t <3 時存在某一時刻有結(jié)論成立,試探究:對于的任意時刻,結(jié)論∠PAM=45°是否總是成立? 請說明理由.

分析本題的條件以作三角形關(guān)于某直線成對稱圖形為背景,實際上就是一道有動點問題的折疊題目.它考查了圖形的相似、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識點,涉及的數(shù)學思想有方程思想、轉(zhuǎn)換思想、分類討論思想.

2 題目分析及解答

2.1 題目分析

這是一道典型的“折疊”題目,題目以第(1)小題第①問為第一個臺階,提示學生該道題的折痕為直線AP,而本題的困難點就在于P點是運動的,從而導致折痕是一條變化的直線,也就是說:點B的對稱點B′落在何處是不確定的.第(1)小題第②問常規(guī)的作答方法是抓住ΔPCB′是直角三角形這個條件,在ΔPCB′的三個內(nèi)角當中,哪一個內(nèi)角是直角將作為本題分類討論的標準.

2.2 題目解答

(1)①解法一:由對稱的性質(zhì)得到兩個三角形全等,再用勾股定理得出三角形三邊的關(guān)系,采用方程的思想得出一條關(guān)于t的方程,從而求出t=

解法二:利用相似三角形的對應邊成比例也可得到一條關(guān)于t的方程,從而求出t的值.

②∵ΔPAB與ΔPAB′關(guān)于直線PA對稱,∴ΔPAB∠PB′C=90°,在矩形ABCD中,∴∠D=90°,AB=

如圖2-1,當∠PCB=90°時,∴CB′=CD?DB′=∴PC=3?t,在RtΔPCB′中,由勾股定理得

圖2-1

如圖2-2,當∠PCB′=90°時,∴CB′=CD+DB′=∴PC=t?3,在RtΔPCB中,由勾股定理得B′P2=PC2+B′C2,∴t2=+(t?3)2,∴t=6.

圖2-2

如圖2-3,當∠CPB′=90°時,∵∠DAB=∠B=CPB′=90°,∴四邊形ABPB′為矩形,∴AB=AB′=∴矩形ABPB′為正方形,∴t=BP=

圖2-3

(2)解略.

3 題目解答反思

本題的(1)②是該題目的精髓部分,它既是一個動點問題,又是一個折疊問題.《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》在評價建議中提出:“在對學生進行評價時,教師可以關(guān)注以下幾個不同的層次:第一,學生是否能理解題目的意思,能否提出解決問題的策略,如通過畫圖進行嘗試……”題目當中,點P的運動路徑是一條射線,也就是說折痕AP不確定,這樣一來,要畫出該題的圖形的難度就加大了.但是,題目當中的“ΔPCB′是直角三角形”這個條件給學生解答改題目指引了方向,一般地,學生和教師看到該條件時都會采用分類討論的方法對三角形的三個內(nèi)角進行分類:(1)當∠PCB′=90°時;(2)當∠CPB′=90°時;(3)當∠PB′C=90°.而第(3)種情形很明顯就不存在.所以,學生就會針對第(1)(2)這兩種情況進行畫圖解答.所以,在大部分學生畫的圖形當中,他們認為∠PCB′=90°這種情形已經(jīng)畫出來了(如圖2-1),因此漏掉了圖2-2 這種情況,導致t的結(jié)果只有兩種.

4 技巧呈現(xiàn)

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》在課程設計思路中指出:“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題,借助幾何直觀,可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明形象,有助于探索解決問題的思路,預測結(jié)果.幾何直觀,可以幫助學生直觀地理解數(shù)學,在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用.”

通過以上的分析,我們借助幾何直觀,找出“折疊問題”中不變的量,另辟蹊徑,動中找定,從另一個角度來分析改題目當中的幾種情形,做到不偏不漏.

在日常的數(shù)學學習當中,我們通常會借助數(shù)學工具——三角尺、圓規(guī)作圖,而利用圓規(guī)作圖時,它作出來的圖形不僅僅是一個圓形,圓里面隱含著很多不變的量：半徑、直徑、直徑所對的圓周角等等.

在解答改題目時,最關(guān)鍵的是做出ΔPAB的對稱圖形ΔPAB′,因此,我們先不去考慮題目當中“ΔPCB′是直角三角形”這個條件,先考慮動點的運動軌跡,我們已經(jīng)知道點P的運動路徑是一條射線,那么點B′的運動軌跡呢?由軸對稱的性質(zhì)可知,在點B′的運動過程中,它總是保證AB′=AB這個不變的量,所以我們可以以A為圓心,線段AB的長為半徑作圓(如圖3).這樣一來,點B′的運動軌跡就是⊙A,我們就可以很輕松的畫出ΔPCB′的幾種情形.

圖3

5 方法應用

例1如圖4,在矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=6,點E是AB的中點,點F是邊AD上的一個動點,將ΔAEF沿EF所在直線翻折,得到ΔA′EF,求線段A′C的最小值.

圖4

分析本題是一道折疊的動點問題,題目中的點E是定點,點F是主動點,點A′是從動點,在點的運動過程中,一直遵循EA′=EA這個條件,因此,我們可以引導學生使用圓規(guī)以為圓心,EB為半徑作圓,由此看到點A′的運動軌跡,所以,當E,A′,C三點共線時,從而得到A′C的最小值為

圖4-1

例2如圖5,在邊長為4 的正方形ABCD中,E,F分別是邊BC、DC上的動點,且EF=4,Q為EF中點,P是邊AD上的一個動點,求PQ+PB的最小值.

圖5

圖5-1

分析本題是一道典型的動點最值問題,E,F是主動點,Q為EF中點這個條件可以發(fā)現(xiàn)CQ的長度是一個定值,所以,點Q的運動軌跡是以為圓心,2 為半徑的圓弧上,由此我們可以引導學生借助圓規(guī)找到點Q的運動軌跡,題目要求PQ+PB的最小值,而點P也是動點,B、Q在定直線AD的同一側(cè),我們可以借助折疊,做B點關(guān)直線AD的對稱點B′,這樣可以得到PB=PB′,所以,當B′,P,Q三點共線時,PQ+PB′最小,即PQ+PB最小.

6 感悟

圖形的運動來源于我們的生活,幾何變換實質(zhì)就是圖形的運動,我們在解決含有動點的“折疊問題”時,要善于在動中求靜,找出題目當中不變的元素,采用幾何直觀幫助學生直觀的理解數(shù)學,運用數(shù)學.