以問題為驅(qū)動 促進思維發(fā)展

廣東省東莞市麻涌鎮(zhèn)古梅第一中學(xué)(523133) 黃若明

1 問題的提出

良好的思維能夠幫助學(xué)生加深對于數(shù)學(xué)知識的理解和記憶,讓學(xué)生更好的理解掌握知識的基本表現(xiàn)形式和推理方法.培養(yǎng)思維品質(zhì),是新課程理念下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).那么,究竟該如何培養(yǎng)呢?

2 思維能力的培養(yǎng)

在實際的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)該精心設(shè)計有效問題,通過問題引導(dǎo)的方式,讓學(xué)生學(xué)會思考,并且通過對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí),逐漸增強自身解決問題的能力.接下來本人從數(shù)學(xué)問題設(shè)計的角度談?wù)勛约耗w淺的看法和做法.

3 問題設(shè)計思路

3.1 變式設(shè)計問題,培養(yǎng)學(xué)生的多層次思維能力

變式常見有兩種: 一題多解——解法多變;一題多變——條件改變或結(jié)論改變.抓住問題的本質(zhì),改變問題情境,遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,根據(jù)發(fā)展需要進行問題設(shè)計,促使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)展.

3.1.1 一題多解設(shè)計問題

一題多解設(shè)計問題要求學(xué)生可以從問題本身所包含的變化關(guān)系中找到解決問題的不同數(shù)學(xué)模型,對訓(xùn)練學(xué)生思維有很好的作用.

例1求證: 直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如圖3.1.1,RtΔABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求證：a2+b2=c2.

證法一畢達(dá)哥拉斯的證法

如圖3.1.1(1),大正方形的面積=小正方形的面積+4個全等直角三角形的面積和,其中,大正方形的邊長為(a+b),面積為(a+b)2;小正方形的邊長為c,面積為c2;直角三角形的直角邊分別為a,b,面積為列等式:化簡得:a2+b2=c2.

圖3.1.1

圖3.1.1(1)

證法二詹姆斯·加菲爾德的證法

如圖3.1.1(2),梯形的面積=等腰直角三角形面積+2 個全等直角三角形的面積,梯形面積為一個直角三角形面積為等腰直角三角形的面積為列等式:化簡得:a2+b2=c2.證法三歐幾里德證法

圖3.1.1(2)

如圖3.1.1(3),分別以直角三角形的三邊為邊長,作3個正方形,易證: ΔFAB≌ΔCAD.ΔFAB的面積等于的面積等于矩形DLMA的面積的一半,故矩形DLMA的面積為b2.同理可證,矩形LEBM面積為a2.由ABED的面積=DLMA的面積+MLEB面積,得:a2+b2=c2.

圖3.1.1(3)

以上三種證法分別從不同的拼接角度切入,用到了常見圖形的面積計算方法,這樣一種一題多解設(shè)計問題,可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

3.1.2 一題多變設(shè)計問題

有些數(shù)學(xué)問題可以改變其個別已知條件,保持問題的實質(zhì)一致,如能對這些一題多變問題進行歸類設(shè)計問題,可以使學(xué)生思考問題的能力得到提高.

例2如圖3.1.2(1),正方形ABCD,E是邊BC的中點,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于點F,求證:AE=EF.

圖3.1.2(1)

證明如圖3.1.2(2),在AB上取中點G,連結(jié)EG,易證ΔAGEΔECF,所以AE=EF.

圖3.1.2(2)

變式1如圖3.1.2(3),若把“點E是邊BC的中點”變?yōu)椤包cE是線段BC上的任意一點(端點B、C除外)”,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?

圖3.1.2(3)

分析如圖3.1.2(4),E在線段BC上,在AB上取點G,使AG=EC,連結(jié)GE,證明ΔAGF≌ΔFCF,得AE=EF.

圖3.1.2(4)

變式2如圖3.1.2(5),若把“點E是邊BC的中點”變?yōu)椤包cE是BC延長線上的任意一點”,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?

圖3.1.2(5)

分析本問題的證明同樣可以通過構(gòu)造全等三角形模型來解決問題.E在BC延長線上,如圖3.1.2(6),在BA延長線上取點G,使AG=CE,連結(jié)GE,證明ΔAGE≌ΔECF,得AE=EF.

圖3.1.2(6)

經(jīng)過觀察、分析、比較,不難發(fā)現(xiàn)E 點位置雖然不同,但其本質(zhì)相同,都屬于構(gòu)造全等三角形模型來解題,只要掌握好這一規(guī)律,對于其它同類問題也就迎刃而解了.這樣的教學(xué)方法,不僅能提高了解題技巧與效率,也培養(yǎng)了學(xué)生思維的類比性.

3.1.3 綜合變式設(shè)計問題

有些問題雖然不同,但實質(zhì)一樣.對于這類問題,要找出問題相同的地方.為此可以有目的地設(shè)計問題,培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣.

例3如圖3.1.3(1),在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=2,PB=PC=1,求∠BPC的度數(shù).

圖3.1.3(1)

分析將ΔBPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,如圖3.1.3(2).連結(jié)PP′.可得ΔPP′B是等邊三角形,而ΔPP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,問題得到解決.

圖3.1.3(2)

變式如圖3.1.3(3),在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且求∠BPC的度數(shù).

圖3.1.3(3)

分析仿照等邊三角形的作法,在正方形中將ΔBPC旋轉(zhuǎn),利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和勾股定理逆定理求角度.如圖3.1.3(4),將ΔBPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得ΔBP′A,則ΔBPCΔBP′A.

圖3.1.3(4)

∴AP′=PC=1,BP=BP′=連結(jié)PP′,在RtΔBP′P中,∵BP=BP′=∠PBP′=90°,∴PP′=2,∠BP′P=45°.∵12+22=即AP′2+PP′2=AP2.∴ΔAP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°.∴∠AP′B=135°.∴∠BPC=∠AP′B=135°.

3.2 分解設(shè)問題,培養(yǎng)思維的有序性

有些問題看似復(fù)雜,但通過逐步分解,逐層遞進,思路也可以很清晰.

例4如圖3.2,國旗上的五角星圖案,有∠A、∠B、∠C、∠D、∠E五個角,并且這五個角都相等.

圖3.2

(1)∠1 是Δ____的外角;∠2 是Δ____的外角.

(2)∠1=____+____,∠2=____+____.

(3)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).

分析這道題如果直接求第(3)小題,對大多數(shù)學(xué)生來說都會有很大的難度,不知從何入手.可是采用分解設(shè)問之后,題目難度變小了許多.

3.3 分類討論題,培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性

分類討論能夠?qū)?fù)雜問題簡單化,化繁為簡,既做到將教學(xué)內(nèi)容條理化又清楚的呈現(xiàn)出問題本質(zhì),更易于解決問題.

例5如圖3.3,四邊形ABCD中,AB//DC,∠B=90°,E為BC上一點,且ΔABE與以C、D、E為頂點的三角形相似.若BC=8,AB=3,DC=4,求BE的長.

圖3.3

分析設(shè)BE的長為x,分兩種情況:

(1)當(dāng)ΔABE∽ΔECD時,即:解得:x1=2,x2=6,

(2)當(dāng)ΔABE∽ΔDCE時,即:解得:

3.4 開放性設(shè)計問題,培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

3.4.1 條件開放

此類題目一般采用逆向思維,由結(jié)論出發(fā),逆推結(jié)論成立的條件.

例6有三個式子: ①a2?ab;②a2?b2;③a2+ab.選擇兩個式子組成一個分式,并化簡.

這個問題只需要考慮結(jié)論成立的條件之一就可以了.

3.4.2 結(jié)論開放

通常數(shù)學(xué)證明題都有題設(shè)和結(jié)論兩部分組成,由于結(jié)論明確,解題時學(xué)生思維受到一定的限制,在教學(xué)過程中,我設(shè)計了一類只給條件,沒給結(jié)論的問題.由于沒給結(jié)論,學(xué)生要自己探尋結(jié)論,可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性.

例7在同圓或等圓中,一條弧是另一條弧的兩倍,那么它們所對的弦有什么關(guān)系?

如圖3.4.2 所示,有些學(xué)生猜想CD=2AB,有些學(xué)生猜想CD <2AB,也有學(xué)生AB和CD的大小關(guān)系不確定.

圖3.4.2

4 結(jié)束語

問題是思維培養(yǎng)的動力和源泉.合理的問題串設(shè)置,對于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)有直接的推動效果.教師發(fā)起的問題來源于學(xué)生,教師的提問能引導(dǎo)學(xué)生更好地解決問題.通過多年的教學(xué)實踐,筆者深深感到問題選擇好一點,學(xué)生思維就積極一些.把題海留給老師,把經(jīng)典留給學(xué)生.設(shè)計好問題是發(fā)展學(xué)生思維能力,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)的有效途徑.