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    融合交叉學(xué)科知識(shí),彰顯數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值*
    ——以“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課為例

    2022-06-17 06:51:44上海市七寶中學(xué)201101童永健
    關(guān)鍵詞:拋物線光線光學(xué)

    上海市七寶中學(xué)(201101) 童永健

    1 拓展課堂,應(yīng)用數(shù)學(xué)

    傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多與現(xiàn)實(shí)生活較遠(yuǎn),需教師在日常教學(xué)及課堂設(shè)計(jì)中刻意挖掘,從而讓學(xué)生體會(huì)所學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用價(jià)值.我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中包括“數(shù)學(xué)抽象”和“數(shù)學(xué)建模”即與學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué),聯(lián)系實(shí)際有很大的關(guān)聯(lián),特別是“數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)”,課程標(biāo)準(zhǔn)指出:“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”,同時(shí),對(duì)高中學(xué)段數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)的開展有著明確的要求[2].

    另一方面,交叉學(xué)科的知識(shí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中呈現(xiàn)得并不多,更多還是各自學(xué)科各自為戰(zhàn),這也可以認(rèn)為是高中數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活割裂的原因之一.而數(shù)學(xué)不僅與物理、化學(xué)等理工類學(xué)科有著密切的聯(lián)系,也在社會(huì)科學(xué)中扮演著重要的角色[3],若能充分挖掘,精心設(shè)計(jì),不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,對(duì)概念、知識(shí)的本質(zhì)也能有更立體的詮釋.

    數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是高中學(xué)段較新的概念,實(shí)驗(yàn)以學(xué)生為主體,通過動(dòng)手操作,借助數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,參與到探究活動(dòng)中,并探求規(guī)律或答案.有別于傳統(tǒng)知識(shí)習(xí)得和高考評(píng)價(jià)體系下傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程實(shí)施的方法,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更多要求學(xué)生親自參與與實(shí)踐,是“雙新”背景下育人方式改革的一條嘗試路徑.

    以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為目標(biāo)取向,以交叉學(xué)科知識(shí)的融合為依托的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì),能夠彰顯數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值,讓學(xué)生“更易學(xué)”、“更愿學(xué)”.筆者認(rèn)為,以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的形式為載體,以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程中的拓展知識(shí)為切入點(diǎn),融合交叉學(xué)科知識(shí),以及簡單的模型思想,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),在高中拉近數(shù)學(xué)本體知識(shí)和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用距離的有效途徑.以下就以一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課為例,說明運(yùn)用交叉學(xué)科內(nèi)容在課堂中的融合,以體現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用.

    2 探究發(fā)現(xiàn),融合數(shù)理

    2.1 趣味實(shí)驗(yàn),引發(fā)思考

    從高空拋出垂直落體的小球,經(jīng)由反射面反彈匯聚到一點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)視頻.

    師:哪個(gè)反射面可使球反彈后匯聚到一點(diǎn)? A:圓弧;B:半橢圓;C:拋物線

    生:拋物線,如果把自由落體的小球看成平行光線,這個(gè)實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)了拋物線一種聚光的性質(zhì).

    問題一你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言概括拋物線的這種聚光性嗎?

    生:拋物線的光學(xué)性質(zhì):在拋物線開口側(cè),一束平行于對(duì)稱軸的光線射向拋物線,經(jīng)過拋物線反射會(huì)匯聚到焦點(diǎn),反之,從拋物線焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)拋物線反射,反射光線平行于對(duì)稱軸.

    設(shè)計(jì)意圖通過一個(gè)大型的實(shí)驗(yàn),引起學(xué)生興趣,引發(fā)學(xué)生思考,同時(shí)引出對(duì)圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的探究[4].

    2.2 深入探究,總結(jié)規(guī)律

    2.2.1 探究活動(dòng):直線的包絡(luò)線與拋物線的光學(xué)性質(zhì)

    問題二為什么從拋物線焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過拋物線反射,反射光線會(huì)平行于對(duì)稱軸?

    數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):折紙實(shí)驗(yàn):

    步驟①如圖,將矩形的紙對(duì)折得l0,在l0上取一定點(diǎn)F;

    ②將紙對(duì)折使底邊l上若干個(gè)點(diǎn)Mi與點(diǎn)F重合;

    ③畫出若干條折痕mi;

    ④觀察這些折痕所圍成圖形的形狀.

    師:請(qǐng)思考:(1)觀察所圍的圖形是什么曲線? 生:拋物線.

    (2)所圍曲線和折痕所在直線有什么位置關(guān)系? 生:直線與曲線相切,是切點(diǎn).

    師:包絡(luò)線的概念:把與一族直線中任意一條直線都相切的曲線稱為這族直線的包絡(luò).

    探究為什么經(jīng)由拋物線反射的反射光線PQ平行于對(duì)稱軸l0?

    將上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題:(3)已知拋物線C的對(duì)稱軸為l0,準(zhǔn)線為直線l,焦點(diǎn)為F,F是拋物線上任意一點(diǎn),|PF|=|PM|,m是過點(diǎn)P的切線,光線FP從F點(diǎn)出發(fā),在P點(diǎn)處反射,反射光線為PQ,求證:PQ//l0.

    生: 利用光的反射原理,通過角的等量代換,可證Q,P,M三點(diǎn)共線,由拋物線的定義,MP即為P到準(zhǔn)線l的距離,即MQ//l0.

    師:拋物線光學(xué)性質(zhì)的本質(zhì):由焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)過切線反射,反射光線與對(duì)稱軸平行.

    設(shè)計(jì)意圖通過學(xué)生探究活動(dòng),以及教師層進(jìn)式的引導(dǎo),借助于包絡(luò)線的概念及其與切線的關(guān)系,幫助學(xué)生一步一步揭開拋物線光學(xué)性質(zhì)的本質(zhì),體現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容的探究性、創(chuàng)新性及問題解決的滲透.

    2.2.2 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

    師:課后實(shí)踐:自己動(dòng)手,借助于折紙實(shí)驗(yàn),探究橢圓和雙曲線的形成:

    觀看幾何畫板課件演示.

    師:問題三:你能根據(jù)這一過程概括橢圓與雙曲線的光學(xué)性質(zhì)嗎?

    生:橢圓的光學(xué)性質(zhì)與雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

    設(shè)計(jì)意圖歸納總結(jié)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),讓學(xué)生類比拋物線的問題研究方法,進(jìn)行驗(yàn)證,進(jìn)一步加深對(duì)圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的理解.

    2.3 發(fā)散推廣,深度應(yīng)用

    2.3.1 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用舉例

    橢圓回音壁;音樂廳;醫(yī)用體外碎石機(jī);電影放映機(jī)

    雙曲線路口反光鏡;汽車后視鏡;柔光箱;喇叭

    拋物線太陽爐;手電筒;探照燈;遠(yuǎn)光燈;雷達(dá);射電望遠(yuǎn)鏡.

    總結(jié)圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的特點(diǎn):

    生:橢圓:匯聚、增強(qiáng);雙曲線:可發(fā)散可匯聚,發(fā)散時(shí)讓光減弱,照射面更廣;拋物線:可發(fā)散可匯聚,發(fā)散時(shí)平行光線照射距離遠(yuǎn).

    設(shè)計(jì)意圖結(jié)合數(shù)學(xué)與物理和現(xiàn)實(shí),體現(xiàn)圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用價(jià)值,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中的運(yùn)用.

    “中國天眼”的故事:中國天眼及其總工程師南仁東.

    例1“中國天眼”的原理與衛(wèi)星鍋類似,鍋面是一個(gè)巨大的拋物面,信號(hào)經(jīng)拋物面反射,被接收器接收,假設(shè)拋物面截面口徑是500 米,“鍋口”與底部高度差為360 米,試建立合適的直角坐標(biāo)系,計(jì)算:當(dāng)接收器安置在距“鍋底”多少米處時(shí),信號(hào)接收效果最佳?

    設(shè)計(jì)意圖介紹了“中國天眼”這個(gè)偉大的工程和南仁東先生的事跡,融德育于數(shù)學(xué),通過介紹,學(xué)生能夠了解射電望遠(yuǎn)鏡的基本原理,提升愛國情懷.在解題中,學(xué)生需自己建系解題,體現(xiàn)簡單的建模過程.

    2.3.2 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[5]

    (1)角平分線有關(guān)問題

    例2P為雙曲線C:上任意一點(diǎn),F1,F2分別為其兩焦點(diǎn),過P作雙曲線的切線l,與x軸交于點(diǎn)Q,連接F1P并延長至R,試在圖中找出一組由雙曲線反射的光線,并求證:PQ平分∠F1PF2.

    (2)利用光學(xué)性質(zhì)求軌跡

    例3已知P是橢圓C:上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接F2P并延長至F′1,使|PF′1|=|PF1|,連接F1F′1,過點(diǎn)P作橢圓的切線l,l與F1F′1交于點(diǎn)Q,則Q點(diǎn)的軌跡方程是____.(x2+y2=16).

    變式雙曲線相關(guān)問題

    設(shè)計(jì)意圖從“形”的角度出發(fā),利用切線反射光線的本質(zhì),幫助解決數(shù)學(xué)問題,加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)本質(zhì)的理解.

    2.4 歸納提升,數(shù)理融合

    師:本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,數(shù)學(xué)思想方法.

    總結(jié)強(qiáng)調(diào)數(shù)理融合,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用.

    3 分析課例,深化主題

    3.1 課例分析

    本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)包括讓學(xué)生了解并能夠運(yùn)用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì);探究其原理,體會(huì)數(shù)學(xué)與物理知識(shí)的交叉融合,以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用;培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神,提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

    體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的應(yīng)用應(yīng)是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),而探究的過程和圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的理解則是學(xué)生把握問題的突破口.

    本節(jié)課結(jié)合滬教版教材中的相關(guān)內(nèi)容,將教材中橢圓的光學(xué)性質(zhì)推廣到三種圓錐曲線,并探討了其原理,拓展了教材內(nèi)容的外延,同時(shí)緊扣圓錐曲線的定義分析、解決問題,深化學(xué)生對(duì)圓錐曲線的理解,挖掘了教材的內(nèi)涵.

    課例從引入到探究再到與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系均有一定的創(chuàng)新,以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為主線,形式較為多樣,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的過程給予學(xué)生較多的“臺(tái)階”,引導(dǎo)學(xué)生順利抽象出,并解決數(shù)學(xué)問題.例題的選擇包含了簡單的建模過程,將現(xiàn)實(shí)情境設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)問題,將數(shù)學(xué)與德育相融合,后兩例利用概念的本質(zhì)指導(dǎo)解題,難度遞進(jìn),也與前半部分的探究相呼應(yīng),體現(xiàn)探究的價(jià)值.例題的選用,拓寬了學(xué)生的思路,教學(xué)的主題,能夠?qū)栴}化繁為簡,數(shù)形結(jié)合的思想方法,提示學(xué)生解題前用心思考、細(xì)致品味、三思而行.

    3.2 核心素養(yǎng)指導(dǎo)下的拓展課教學(xué)設(shè)計(jì)思路

    依托本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),筆者對(duì)核心素養(yǎng)概念下的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行了一番思考.首先,可以拓展內(nèi)容及拓展課為切入點(diǎn),逐步深化核心素養(yǎng)的體現(xiàn),因?yàn)橥卣箖?nèi)容相對(duì)常規(guī)知識(shí)結(jié)構(gòu)下的內(nèi)容設(shè)置有較大的“改動(dòng)”和發(fā)揮空間,而其往往能夠起到打開學(xué)生思路、拓寬學(xué)生視野、提升學(xué)生興趣的作用.是體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),和培養(yǎng)問題解決能力的“沃土”.

    其次,如何將數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)有機(jī)融合是時(shí)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中熱議的話題之一,其過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)的滲透.而學(xué)生迫于考試的壓力和內(nèi)容設(shè)置的問題,在學(xué)習(xí)中往往是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)割裂的,這從某種程度上讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更為抽象和困難.在相關(guān)的活動(dòng)設(shè)計(jì)和改進(jìn)中,應(yīng)更多利用現(xiàn)實(shí)中真實(shí)存在的例子和素材,如本課例中的引入,及所舉圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)應(yīng)用的例子,將實(shí)驗(yàn)和其他學(xué)科知識(shí)融合進(jìn)來,不失為一個(gè)有效的思路.

    再者,交叉學(xué)科知識(shí)在傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)課堂中的滲透是一個(gè)較新的話題,利用其他學(xué)科的知識(shí)來幫助將數(shù)學(xué)問題具體化,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).提升了學(xué)生綜合問題解決能力的作用.

    最后,高中數(shù)學(xué)的抽象性對(duì)青少年而言是一個(gè)不小的挑戰(zhàn),數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)概念的引入,為學(xué)生提供了“做中學(xué)”的方案,如本課例中的“折紙實(shí)驗(yàn)”.通過觀察、動(dòng)手、嘗試,化抽象為直觀,“實(shí)驗(yàn)”實(shí)則是一個(gè)小型的研究過程,能夠更好地幫助理解,加深記憶.

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