深度學(xué)習(xí)理論下單元作業(yè)設(shè)計(jì)與思考
——以人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)《銳角三角函數(shù)》為例

郭煒?lè)f 趙 旭

（福州第十八中學(xué)，福建 福州 350001）

1976 年美國(guó)學(xué)者馬頓和薩爾喬借鑒布魯姆認(rèn)知分類理論，在論文《學(xué)習(xí)的本質(zhì)區(qū)別：結(jié)果和過(guò)程》中首先提出教育領(lǐng)域的“深度學(xué)習(xí)”概念。2006 年加拿大學(xué)者辛頓在《科學(xué)》雜志上刊登了深度學(xué)習(xí)的相關(guān)論文，激起了深度學(xué)習(xí)的研究熱潮。同年，華中師范大學(xué)發(fā)起推動(dòng)以發(fā)展能力為目標(biāo)深度教學(xué)研究，主張?zhí)岣邔W(xué)科能力，開展深度教學(xué)。2010 年國(guó)務(wù)院頒布的《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展綱要》提出，只有實(shí)施深度學(xué)習(xí)，才能真正增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新力和自主學(xué)習(xí)能力，至此國(guó)內(nèi)開始廣泛的重視深度學(xué)習(xí)的研究。［1］2021 年4 月12 日，教育部辦公廳發(fā)布了《關(guān)于加強(qiáng)義務(wù)教育學(xué)校作業(yè)管理的通知》，通知中提到“教師要提高自主設(shè)計(jì)作業(yè)能力，精準(zhǔn)設(shè)計(jì)作業(yè)，精選內(nèi)容，系統(tǒng)化選編，體現(xiàn)素質(zhì)教育導(dǎo)向，提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量。”筆者認(rèn)為以深度學(xué)習(xí)理論為主要設(shè)計(jì)理念，以單元為整體的單元作業(yè)設(shè)計(jì)，對(duì)挖掘教材本質(zhì)，整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，滲透教學(xué)價(jià)值，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)起到了有效的作用。本文以人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下學(xué)期《銳角三角函數(shù)》為例，對(duì)在深度學(xué)習(xí)理論下單元作業(yè)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)理念、設(shè)計(jì)思考及部分作業(yè)展示說(shuō)明。

一、基于深度學(xué)習(xí)理論的單元作業(yè)設(shè)計(jì)理念

深度學(xué)習(xí)是指通過(guò)對(duì)教學(xué)核心內(nèi)容的分析和教材的整合，通過(guò)學(xué)生認(rèn)知參與，獲得知識(shí)、過(guò)程、方法、價(jià)值的深度感悟，完善發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成學(xué)習(xí)能力，并能將這種能力遷移至新的情景，有效解決挑戰(zhàn)性問(wèn)題的學(xué)習(xí)，以促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)、注重批判理解、強(qiáng)調(diào)信息整合，注重遷移應(yīng)用、面向問(wèn)題解決為基本特征，以發(fā)展學(xué)生高階思維與能力為目的，這與當(dāng)今培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教育理念相吻合。

數(shù)學(xué)單元作業(yè)設(shè)計(jì)是指教師根據(jù)單元中的數(shù)學(xué)知識(shí)，以整合的思路來(lái)設(shè)計(jì)這個(gè)單元的作業(yè)。通過(guò)知識(shí)聚集，把本單元中零碎的知識(shí)要點(diǎn)串聯(lián)在一起。對(duì)教學(xué)內(nèi)容“結(jié)構(gòu)化”進(jìn)行組織，加強(qiáng)模塊或主題間的結(jié)合，注重各單元知識(shí)之間的相互聯(lián)系，從而使學(xué)生對(duì)整個(gè)單元理論體系產(chǎn)生全面、深刻理解，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)單元作業(yè)設(shè)計(jì)理念中的整合性、聯(lián)系性正是深度學(xué)習(xí)理論中的重要理念，除此之外，基于深度學(xué)習(xí)理論下的單元作業(yè)設(shè)計(jì)還應(yīng)重視知識(shí)的本質(zhì)由來(lái)和系統(tǒng)建構(gòu)，注重知識(shí)的遷移性，注重知識(shí)理論工具性及實(shí)際應(yīng)用性，從而使學(xué)生通過(guò)單元作業(yè)的訓(xùn)練，對(duì)本單元知識(shí)體系產(chǎn)生全面、深刻的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)的應(yīng)用能力，提高分析解決問(wèn)題的能力。

《銳角三角函數(shù)》是人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)教材的第二十八章的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了初中數(shù)學(xué)的大部分知識(shí)內(nèi)容及思想方法，而這一單元與高中《三角函數(shù)》模塊的學(xué)習(xí)密切相關(guān)，是初高知識(shí)銜接的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)?；谏疃葘W(xué)習(xí)理念，從完善發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)角度來(lái)看，《銳角三角函數(shù)》在幾何領(lǐng)域是初中三角形研究的最后階段，在代數(shù)領(lǐng)域它又是初中學(xué)習(xí)的最后一個(gè)初等函數(shù)。從知識(shí)聯(lián)系角度來(lái)看，銳角三角函數(shù)與相似三角形、勾股定理等知識(shí)密切相關(guān)，且與圓、四邊形等章節(jié)均可產(chǎn)生聯(lián)系。從遷移應(yīng)用、面向問(wèn)題解決角度上看銳角三角函數(shù)對(duì)幾何圖形定量研究提供了工具性的作用，在實(shí)際問(wèn)題中有著大量應(yīng)用。

基于上述論述，本文擬從知識(shí)構(gòu)建、知識(shí)遷移、知識(shí)整合三個(gè)方面來(lái)探討基于深度學(xué)習(xí)理論下該單元作業(yè)設(shè)計(jì)的策略。

二、深度學(xué)習(xí)理論下的單元作業(yè)設(shè)計(jì)策略

（一）知識(shí)構(gòu)建：深度理解銳角三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)涵與外延

這一章節(jié)知識(shí)內(nèi)涵有：1.銳角三角函數(shù)是以相似三角形知識(shí)為基礎(chǔ)，刻畫了直角三角形邊角之間的關(guān)系。2.銳角三角函數(shù)值與角所在的直角三角形無(wú)關(guān)，只與角度的大小有關(guān)，其銳角三角函數(shù)值唯一確定，等角的三角函數(shù)值相等。反之，對(duì)于給定的銳角三角函數(shù)值可以求出對(duì)應(yīng)的唯一銳角角度大小。角度的大小與銳角三角函數(shù)值之間呈一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。3.銳角三角函數(shù)是實(shí)現(xiàn)邊與角關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的重要橋梁，可以通過(guò)銳角三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)“知邊求角”，或是“知角求邊”。這一章節(jié)知識(shí)外延主要有：1.銳角三角函數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想中“以數(shù)解形”思想的體現(xiàn)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，在高中后續(xù)課程學(xué)習(xí)中，將專門從函數(shù)的眼光來(lái)討論三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。2.三角函數(shù)的概念在整個(gè)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用大量存在，例如，高中解析幾何中直線斜率的概念正是通過(guò)正切進(jìn)行刻畫?；谏鲜龇治?，筆者以相似三角形為該單元知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，以等角的三角函數(shù)值相等這一性質(zhì)作為與該單元知識(shí)核心要點(diǎn)，以斜率概念的滲透作為該單元知識(shí)的重要外延，形成知識(shí)構(gòu)建。設(shè)計(jì)了如下單元練習(xí)，目的在于讓學(xué)生全面領(lǐng)會(huì)三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)涵，弄清三角函數(shù)概念的由來(lái)、深層含義，為后續(xù)教學(xué)的應(yīng)用作鋪墊。

例1 如圖1、2，在Rt△ABC與Rt△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠E=90°，求證：cosA=cosD.

圖1

圖2

解題思路：由∠A=∠D，∠C=∠E，可知：△ABC相似于△DFE，得到，證得：cosA=cosD.

設(shè)計(jì)意圖：許多學(xué)生學(xué)完一整章對(duì)于余弦值定義的唯一確定性認(rèn)識(shí)還是不到位。只要角相等，那么對(duì)應(yīng)的余弦值也相等，余弦值的大小與角所在的直角三角形無(wú)關(guān)。理解余弦定義的本質(zhì)由來(lái)，加深對(duì)余弦乃至銳角三角函數(shù)定義的認(rèn)識(shí)。

例2 如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，CD=3，AC=4，sin∠DCB=______

圖3

解題思路：由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：CD=BD=3，從而∠DCB=∠DBC，故：sin∠DCB=sin∠DBC=

設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)涵的理解，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例3 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l：y=2x+1 與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)且在直線l上，則tan∠BAO=____。

圖4

解題思路1：設(shè)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xB，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2xB+1，易得A（-0.5，0），tan∠BAO=

解題思路2：設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C，易求得A（-0.5，0），C（0，1），tan∠BAO=tan∠CAO=

設(shè)計(jì)意圖：思路1 直接從定義著手，結(jié)合代數(shù)的思想，通過(guò)設(shè)點(diǎn)法求出tan∠BAO。思路2 將變化的點(diǎn)B轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn)C，化一般為特殊，直接求出tan∠CAO。通過(guò)對(duì)比兩種方法，形成深刻理解，加深對(duì)三角函數(shù)定義本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。該題與坐標(biāo)系結(jié)合，初步滲透高中知識(shí)中的斜率概念，體現(xiàn)知識(shí)的外延性。

（二）知識(shí)遷移：深度掌握銳角三角函數(shù)理論的工具性及實(shí)際應(yīng)用，注重知識(shí)遷移

如何求邊或是求角是幾何學(xué)研究中的一個(gè)重要內(nèi)容，而在初中幾何教學(xué)中也經(jīng)常會(huì)遇到求邊或是求角相關(guān)的問(wèn)題，銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)理論在求邊或是求角方面體現(xiàn)了強(qiáng)大的工具性作用。銳角三角函數(shù)理論不僅可以解直角三角形也可以用來(lái)解一般三角形。即：知道三角形中的某些元素，可以把剩余的元素求解出來(lái)。如果一個(gè)三角形滿足下列條件之一：1.已知三邊。2.已知兩邊一夾角。3.已知兩角一邊。4.已知兩邊一對(duì)角。這時(shí)可以通過(guò)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)結(jié)合勾股定理求解其余未知元素［2］。求解的一般方法是通過(guò)作垂線的方式構(gòu)造出直角三角形。在讀題時(shí)一定要注意讀透條件，分析三角形中哪些元素已知，如果條件滿足上述四種條件之一，該三角形中剩余未知元素即可求解，從而推導(dǎo)出更多的條件，得到的條件越多越有助于問(wèn)題的分析求解。另外，解三角形到了高中的教學(xué)中會(huì)學(xué)習(xí)專門的理論知識(shí)，主要是根據(jù)余弦定理和正弦定理。注重運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，體現(xiàn)了三角函數(shù)際應(yīng)用性?；谏鲜龇治觯P者認(rèn)為以解三角形作為銳角三角函數(shù)理論工具性的核心要點(diǎn)，對(duì)知識(shí)遷移及應(yīng)用產(chǎn)生良好的效果，設(shè)計(jì)了如下單元練習(xí)，目的在于提高學(xué)生分析問(wèn)題能力，獲得知識(shí)應(yīng)用的深度感悟。培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

例4 在△ABC中，（1）如圖5，若AB=4，BC=7，AC=5，則∠B=____cosC=____

圖5

（2）如圖6，若cosA=，AB=10，AC=8，則BC=____

圖6

解題思路：通過(guò)作垂線，將這兩個(gè)三角轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行求解。（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)BD=x，根據(jù)勾股定理可列方程-x2=52-（7-x）2，解得：x=4，即BD=4，CD=3，易求得：∠B=45°，cosC=（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由AC=8，cosA=，求得：AD=6，CD=，BD=4，再由勾股定理求得：BC=

設(shè)計(jì)意圖：本題的兩個(gè)小題都是為了強(qiáng)化解三角形的一般方法，題（1）可以看成是知道“三邊”解三角形，題（2）可以看成是知道“兩邊一夾角”解三角形。這題亦是為了后續(xù)綜合性問(wèn)題作鋪墊。讓學(xué)生深刻理解可以求解三角形的一般條件，當(dāng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的三角形滿足上述四個(gè)條件之一時(shí)，剩余的邊、角（或角的三角函數(shù)值）就可以求解，從而得到更多條件，有助于問(wèn)題的求解。從而使學(xué)生能應(yīng)用求解三角形一般方法解決綜合性問(wèn)題。

例5 如圖7，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°，若飛機(jī)離地面的高度CE為1000 米，且點(diǎn)E，A，B在同一水平直線上，求這條江的寬度AB。

圖7

解題思路：作CD//EB，依題得：∠CAE=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°，通過(guò)正切的定義，分別求得：AE=1000，BE=1000從而求得AB=BE-AE=10001000.

設(shè)計(jì)意圖：以實(shí)際問(wèn)題為背景，運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解，體現(xiàn)三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

例6 如圖8，在△ABC中，BC=AC=10，AB=12，D為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，延長(zhǎng)FD交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求sinE的值。

圖8

解題思路：△ABC三邊已知，故而△ABC其余未知元素均可求解（知三邊可解三角形），結(jié)合解三角形的理論方法，同例4（1），過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC，垂足為G，可得cosC=，又根據(jù)∠E與∠C互余，從而求出sinE=

設(shè)計(jì)意圖：該題解題的核心要點(diǎn)在于利用解三角形理論讀出更多條件。讀題時(shí)發(fā)現(xiàn)△ABC中三邊已知，故而可以通過(guò)解三角形的方法求出cosC。該題注重知識(shí)遷移運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，完善發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深對(duì)三角函數(shù)理論工具性作用的理解。

（三）知識(shí)整合：深度加強(qiáng)銳角三角函數(shù)知識(shí)與其他單元之間的綜合聯(lián)系，強(qiáng)化知識(shí)整合

銳角三角函數(shù)是在九年級(jí)下學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以與之前許多單元知識(shí)章節(jié)產(chǎn)生聯(lián)系，例如，三角形、勾股定理、圓等章節(jié)。筆者以銳角三角函數(shù)工具性作為與其他章節(jié)結(jié)合點(diǎn)，解決相關(guān)問(wèn)題，從而與其產(chǎn)生有機(jī)聯(lián)系，形成知識(shí)整合。基于此，設(shè)計(jì)了如下單元練習(xí)，目的在于提高知識(shí)的遷移性，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用能力，發(fā)展學(xué)生高階思維。

例7 如圖9，A，B，C，D是圓O上的點(diǎn)，連接AD，

圖9

AB，AC，AD=6，∠DAC=90°，sin∠DBA=求圓的半徑r。

解題思路：連接CD，由∠DAC=90°，可知DC 經(jīng)過(guò)圓心O，由∠DBA=∠DCA，得sin∠DBA=sin∠DCA=再根據(jù)AD=6，求得CD=10，故r=5。

設(shè)計(jì)意圖：與圓相關(guān)知識(shí)結(jié)合，學(xué)會(huì)通過(guò)弧等則圓周角相等進(jìn)行“轉(zhuǎn)角”。加深對(duì)“角等則三角函數(shù)值相等”的認(rèn)識(shí)。

例8 如圖10，在△ABC中，∠ACB=45°，AC=BC=10，將△ABC折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，EF為折痕，若AE=6，求sin∠BFD的值。

圖10

解題思路：結(jié)合翻折性質(zhì)及外角定理發(fā)現(xiàn)∠EDC=∠BFD，故sin∠BFD=sin∠EDC，易知CE=4，ED=6，且∠C=45°，對(duì)于△CED 已知兩邊一對(duì)角，故可以求出剩余未知的元素，結(jié)合解三角形的理論方法，同例4（2）作EM⊥CD，可求得：sin ∠EDC=故sin ∠BFD=

設(shè)計(jì)意圖：該題結(jié)合翻折知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用能力。不易直接求得∠BFD的正弦值，發(fā)現(xiàn)∠BFD=∠CDE，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解sin∠CDE，從解三角形的眼光來(lái)看，在△CED中，CE，ED，∠C是已知的，知道了兩邊一對(duì)角，從而可求出sin∠CDE。培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想及挖掘隱含條件的能力；培養(yǎng)高階思維，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“解三角形”相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用能力。

三、反思與總結(jié)

本文以《銳角三角函數(shù)》為例闡述了筆者基于深度學(xué)習(xí)理論下單元作業(yè)設(shè)計(jì)的理念。深度學(xué)習(xí)理論下單元作業(yè)設(shè)計(jì)一定要結(jié)合學(xué)生的具體學(xué)情，全方位思考單元作業(yè)設(shè)計(jì)的有效性，細(xì)致地整理單元知識(shí)要點(diǎn)、思想方法，找出知識(shí)的串聯(lián)點(diǎn)，體現(xiàn)知識(shí)理論工具性及實(shí)際應(yīng)用性，引導(dǎo)學(xué)生全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，引發(fā)學(xué)生深層次地思考，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。