探究幾何畫板在解決中考動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、折疊問題中的優(yōu)勢

杜方欣 任巧紅

摘要：隨著科技的發(fā)展，信息技術(shù)與課程融合在時(shí)代的呼吁下正大跨步的走進(jìn)課堂，幾何畫板作為數(shù)學(xué)中的制圖軟件，逐漸體現(xiàn)出它的優(yōu)勢。《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》及2022年《中考考試大綱》都分別對圖形的變換作出了要求，復(fù)雜的圖形變換借助幾何護(hù)畫板的動(dòng)態(tài)演示，使中考中的動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、折疊問題得到更好地解決。

關(guān)鍵詞：幾何畫板;中考;動(dòng)點(diǎn);旋轉(zhuǎn);折疊

正文

中考試題中，常動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、折疊問題[1]幾乎每年都考，而這些題目由于變化多端，導(dǎo)致考生望而生畏，傳統(tǒng)教學(xué)對此類問題的解決有很大的局限性。教師課堂上在黑板上作圖，不僅花費(fèi)時(shí)間較長，而且不能很好地體現(xiàn)出動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)學(xué)生很努力地聽講，卻聽的模模糊糊，使得課堂效率低下。而幾何畫板中的一個(gè)“動(dòng)畫”按鈕，或者用鼠標(biāo)拖動(dòng)，可以生動(dòng)地表現(xiàn)出圖形由一般到特殊、運(yùn)動(dòng)過程的變化，在數(shù)學(xué)課堂課堂中具有明顯的優(yōu)勢[2]。

一、幾何畫板解決中考中的動(dòng)點(diǎn)問題

1.例題

例：如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=4，BC=3，P是△ABC內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP長的最小值。

2.分析：

此題中，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，究竟何時(shí)CP的值最小，同學(xué)們一頭霧水，不知如何分析。

教師引導(dǎo)：∠PAB=∠PBC，此條件有何用？

生：∠PAB+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°，即∠APB=90°

教師引導(dǎo)：∠APB的度數(shù)會(huì)隨著點(diǎn)P的移動(dòng)發(fā)生變化嗎？AB的長確定嗎？一條定長線段所對的角永遠(yuǎn)是90°，這種情況會(huì)出現(xiàn)在什么圖形中呢？點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

在一系列的引導(dǎo)下，同學(xué)們思考，最終得出點(diǎn)P 是在以AB為直徑的圓周上。

教師請學(xué)生操作幾何畫板，顯示出已隱藏的圓，改變點(diǎn)P的位置，臺(tái)上學(xué)生反復(fù)操作，臺(tái)下學(xué)生認(rèn)真觀察CP的變化，很快得出當(dāng)點(diǎn)C、P、O三點(diǎn)在同一直線時(shí)，CP最短，且CP=OC-OP。

教師再次引導(dǎo)：點(diǎn)C、P、O三點(diǎn)不共線時(shí)，CP與OC-OP的大小關(guān)系如何？

利用幾何畫板，讓學(xué)生由直觀的觀察感受，深化到了對知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用理解及掌握。

二、幾何畫板解決中考中的旋轉(zhuǎn)問題

1.例題

將等邊三角形ABC的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB’，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB’，過點(diǎn)C作CE垂直于直線BB’，垂足為E，連接CB’，取BC邊的中點(diǎn)F，連接AF。當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出 的值。

2.分析

此題中，學(xué)生的難點(diǎn)在于如何在直線AF上準(zhǔn)確的找到點(diǎn)E的位置，既要滿足CE⊥BB’，又要滿足AB’=AB，學(xué)生往往找到了點(diǎn)E，又得不到滿足條件的B’，找到了B’，又得不到滿足條件的點(diǎn)E。

針對此問題，教師進(jìn)行了引導(dǎo)：

（1）∠CEB=90°，BC為等邊三角形的邊長，由此可知，點(diǎn)E應(yīng)在以BC為直徑的圓周上。（2）利用幾何畫板，以BC為直徑構(gòu)造圓F，構(gòu)造線段CE，構(gòu)造直線BE。（3）AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了AB’，由此可推出點(diǎn)B’的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心AB長為半徑的圓周。（4）利用幾何畫板，構(gòu)造出圓A，此時(shí)直線BE與圓A有交點(diǎn)，此交點(diǎn)即為滿足條件的B’。（5）移動(dòng)點(diǎn)E的位置，使其與AF共線，對應(yīng)的B’即到達(dá)相應(yīng)的位置，發(fā)現(xiàn)A、E、F三點(diǎn)共線共有兩種情況。（6）根據(jù)此位置下的一些特殊的角度值，利用三角函數(shù)值，或勾股定理完成最終的求解。

教師和學(xué)生有了幾何畫板的幫助，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生步步參與，步步發(fā)問，步步思考，最終構(gòu)造出神奇的圖形，實(shí)現(xiàn)了由抽象到形象的一個(gè)過程，實(shí)現(xiàn)了化復(fù)雜為簡便的一個(gè)過程，分析過程又運(yùn)用了不同的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生體驗(yàn)到了作圖的過程，加深了知識(shí)點(diǎn)的掌握，在一步步的研究過程中，拓展了學(xué)生對此類問題解決的思維，增強(qiáng)了學(xué)生克服難題的信心。

三、幾何畫板解決中考中的折疊問題

1.例題

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)D作DE⊥BC交AB邊于點(diǎn)E，將∠B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處.當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，BD的長為？

2.分析

此題中將△BDE沿直線DE折疊后得到的△AEF為直角三角形，哪個(gè)角為直角，位于何處時(shí)為直角，這些問題對于個(gè)別有基礎(chǔ)有空間想象能力的學(xué)生來說還可以做出來，但對于絕大多數(shù)學(xué)生想不出來滿足條件的圖形該如何畫，畫不出來圖形，題目就無從下手，更不知道用哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)來解決問題。

教師引導(dǎo)：（1）利用幾何畫板構(gòu)造Rt三角形ABC，在BC邊上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D構(gòu)造BC的垂線，交AB于點(diǎn)E。（2）選中DE，標(biāo)記鏡面，選中△BDE，進(jìn)行反射變換，構(gòu)造出折疊后的圖形。（3）度量△AEF的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)，移動(dòng)點(diǎn)D的位置，觀察三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的變化。（4）發(fā)現(xiàn)∠AEF=60°不變，另外兩個(gè)角度發(fā)生變化，均有等于90°的情況出現(xiàn)。（5）當(dāng)△AEF有內(nèi)角為90°時(shí)，停止移動(dòng)點(diǎn)D，在此種情況下，利用折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。

在幾何畫板的幫助下，學(xué)生不僅能很直觀地感受到圖形的變化，從而解決問題。反過來還能幫助學(xué)生對題目有更深入的理解，比如有同學(xué)剛開始并不能意識(shí)到∠AEF不可能等于90°，但在幾何畫板的演示下，學(xué)生意識(shí)到∠AEF的度數(shù)沒有變化，從而指引學(xué)生反思為何∠AEF的度數(shù)不變，從而打開了學(xué)生探索的心門，增加了學(xué)生探索知識(shí)的欲望。

參考文獻(xiàn)：

[1]鼎成中考精準(zhǔn)提分.數(shù)學(xué)/鼎成主編.——西安：西安出版社，2020.8，ISBN 978-7-5541-4839-6

[2]《幾何畫板》在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用與思考