高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)三部曲:設(shè)問(wèn)、啟發(fā)、激活

徐春宇

[摘? 要] 問(wèn)題如何產(chǎn)生，又該如何解決，解決后學(xué)生的思維會(huì)發(fā)生哪些變化，都是值得探討的問(wèn)題. 結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循三個(gè)步驟展開(kāi)，即設(shè)問(wèn)、啟發(fā)、激活，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 設(shè)問(wèn);啟發(fā);激活;高中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)向來(lái)是圍繞問(wèn)題而實(shí)施的. 問(wèn)題如何產(chǎn)生，又該如何解決，解決后學(xué)生的思維會(huì)發(fā)生哪些變化，都是值得探討的問(wèn)題. 筆者以為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循三個(gè)步驟展開(kāi)，即設(shè)問(wèn)、啟發(fā)、激活. 設(shè)問(wèn)是基礎(chǔ)，啟發(fā)是過(guò)程，激活是目的. 文章結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐加以說(shuō)明，供同仁參考，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)斧正.

[?] 巧妙設(shè)問(wèn)，激發(fā)興趣

設(shè)問(wèn)是什么？在語(yǔ)文學(xué)科中，它是一種十分常見(jiàn)的修辭手法，起到強(qiáng)調(diào)作用. 為了強(qiáng)調(diào)某部分內(nèi)容，故意先提出問(wèn)題，明知故問(wèn)，自問(wèn)自答. 正確運(yùn)用設(shè)問(wèn)，能引人注意，啟發(fā)思考. 而數(shù)學(xué)教學(xué)中的設(shè)問(wèn)與之不同. 數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)問(wèn)主要是為了引起學(xué)生的注意和興趣，并引發(fā)學(xué)生思考. 因此，數(shù)學(xué)設(shè)問(wèn)有較強(qiáng)的針對(duì)性. 如果一個(gè)數(shù)學(xué)設(shè)問(wèn)不能引起學(xué)生的注意，更不能引起學(xué)生思考，那么這樣的設(shè)問(wèn)是無(wú)效的. 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該如何設(shè)問(wèn)呢？

常言道：“不憤不啟，不悱不發(fā). ”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師設(shè)問(wèn)既要緊扣教材，又要滿(mǎn)足學(xué)生的好奇心，打動(dòng)學(xué)生的心靈. 這就需要教師研究教材，研究學(xué)情，想學(xué)生所想，急學(xué)生所急[1].

比如，在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)中，為了讓學(xué)生了解指數(shù)效應(yīng)是怎么一回事，教師通過(guò)視頻呈現(xiàn)：手里有一張紙，經(jīng)測(cè)量，它的厚度是0.1毫米，假設(shè)將其反復(fù)對(duì)折，它就變得越來(lái)越厚. 同時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果把它對(duì)折15次，那么它的厚度可達(dá)到一個(gè)成年人身高的兩倍;如果對(duì)折27次，那么它的高度可以與喜馬拉雅山比拼;如果對(duì)折42次，那么我們可以順著這副紙?zhí)菖赖皆虑蛏下糜瘟? 請(qǐng)想一想，如果要使這張紙的厚度達(dá)到地球與太陽(yáng)之間的距離（約1.5億公里），則需要反復(fù)對(duì)折多少次？問(wèn)題一經(jīng)拋出，立即引發(fā)了學(xué)生的探究興致，學(xué)生做夢(mèng)也沒(méi)想到一張紙的對(duì)折，竟然會(huì)發(fā)生如此“奇跡”. 于是，學(xué)生紛紛動(dòng)起手來(lái)，把紙對(duì)折幾次后，開(kāi)始計(jì)算紙的厚度. 學(xué)生計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，如果對(duì)折42次，則紙的厚度是0.1×242（毫米）≈4.398×1042（米）= 43.98（萬(wàn)公里），這一厚度已經(jīng)超越了地球與月球之間的距離（約38.4萬(wàn)公里）;如果對(duì)折17次、21次、32次，不管怎樣，總可以用笨拙的辦法慢慢計(jì)算. 可在計(jì)算的過(guò)程中又出現(xiàn)了一個(gè)新的問(wèn)題：為了讓紙的厚度達(dá)到1.5億公里，需要對(duì)紙反復(fù)折疊多少次呢？學(xué)生想到了列方程：設(shè)需要對(duì)折n次，則0.1×2n=1.5×1014. 這一方程該如何求解？這是一個(gè)學(xué)生從未遇到過(guò)的方程，引發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突. 這時(shí)筆者不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生歸納該方程的特點(diǎn)：已知底數(shù)和冪求它的指數(shù)，這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù). 于是，對(duì)數(shù)的概念成功地引入了.

不難發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的內(nèi)在聯(lián)系，能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)處不在，從而促使學(xué)生把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)作一種樂(lè)趣，并深深懂得學(xué)習(xí)的重要性.

[?] 巧妙啟發(fā)，激活思維

一時(shí)盛行的“滿(mǎn)堂灌”教學(xué)模式已“壽終正寢”，啟發(fā)式教學(xué)已經(jīng)取而代之. 在日常教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)遇到啟而不發(fā)的尷尬場(chǎng)面，究其原因，在于教師的啟發(fā)形式過(guò)于寬泛，缺乏針對(duì)性，讓學(xué)生無(wú)從想起. 好的啟發(fā)，往往來(lái)自好的問(wèn)題. 因此，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)置必須先考察其能否啟發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題. 巧妙的設(shè)問(wèn)，才能引發(fā)巧妙的啟發(fā)，從而巧妙地解決問(wèn)題[2].

比如，在高三一輪復(fù)習(xí)課堂中，筆者要求學(xué)生小試牛刀，解答一道高考真題：

設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（? ）

A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y

C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z

本題主要考查學(xué)生利用對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)值大小，作為復(fù)習(xí)課中的例題評(píng)析，不是只為了求得一個(gè)答案，而是啟發(fā)解題思路，總結(jié)解題方法，通過(guò)一道題的解決，掌握一類(lèi)題的解法. 針對(duì)這道題目，教師該如何啟發(fā)學(xué)生呢？

筆者是這樣啟發(fā)學(xué)生的：能否將x，y，z用同一個(gè)字母表示出來(lái). 于是學(xué)生得到了解法1：

令2x=3y=5z=t（t>0），則x=logt，y=logt，z=logt，2x=2logt=，3y=3logt=，5z=5logt=. 要比較2x與3y的大小，只需比較lg2與lg3的大小，即比較3lg2與2lg3的大小，即比較lg8與lg9的大小. 易知lg8<lg9，故2x>3y. 同樣，要比較2x與5z的大小，只需比較lg2與lg5的大小，即比較5lg2與2lg5的大小，即比較lg32與lg25的大小. 易知lg25<lg32，故5z>2x. 綜上，3y<2x<5z.

針對(duì)解法1的解答過(guò)程，筆者再次啟發(fā)：比較大小的最基本的方法是什么？（當(dāng)然是比較法）于是出現(xiàn)了解法2：

令2x=3y=5z=t（t>0），則x=logt，y=logt，z=logt，2x=2logt=，3y=3logt=，5z=5logt=，lg2-lg3=（3lg2-2lg3）=（lg8-lg9）<0，所以lg2<lg3，即2x>3y;lg5-lg2=（2lg5-5lg2）=（lg25-lg32）<0，所以lg5<lg2，即5z>2x. 綜上，3y<2x<5z.

按理說(shuō)，本題到此即可結(jié)束. 可選擇題沒(méi)有必要“小題大做”，于是筆者繼續(xù)啟發(fā)：對(duì)于含字母的選擇題，當(dāng)答案唯一時(shí)，哪種方法最經(jīng)濟(jì)有效？（當(dāng)然是特殊法）于是，學(xué)生有了解法3（限于篇幅，這里過(guò)程省略）.

從本例可以看出，巧妙啟發(fā)不是單一的，應(yīng)該具有多向性，在不同的啟發(fā)下得到不同的解決問(wèn)題的方法，以促使學(xué)生產(chǎn)生“頭腦風(fēng)暴”，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的多樣性與靈活性.

[?] 巧妙激活，有效遷移

經(jīng)過(guò)設(shè)問(wèn)與啟發(fā)，學(xué)生的興趣和思維得以激發(fā)，但要讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的有效遷移，仍然需要教師來(lái)激活，以使學(xué)生能夠提出新的問(wèn)題，并按照已經(jīng)解決問(wèn)題的方法去解決新的問(wèn)題，真正達(dá)到舉一反三、連成一片的學(xué)習(xí)境界. 激活思維后，學(xué)生會(huì)類(lèi)比、會(huì)歸納、會(huì)猜想、會(huì)反思，從而學(xué)會(huì)用科學(xué)研究的方法來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移，這也正是數(shù)學(xué)教師教學(xué)期待達(dá)到的最終目的.

比如，在圓錐曲線(xiàn)復(fù)習(xí)課上，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓錐曲線(xiàn)中的某些重要結(jié)論，然后讓學(xué)生乘勝追擊，繼續(xù)探究，從而收獲一片. 筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓有如下4個(gè)性質(zhì)：

（1）若P（x，y）在橢圓+=1（a>b>0）外，過(guò)P作橢圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為P，P，則切點(diǎn)弦PP所在的直線(xiàn)方程是+=1.

（2）AB是橢圓+=1（a>b>0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則k·k=-.

（3）若P（x，y）在橢圓+=1（a>b>0）內(nèi)，則被P所平分的中點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)方程是+=+.

（4）若P（x，y）在橢圓+=1（a>b>0）內(nèi)，則過(guò)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是+=+.

得出以上4個(gè)性質(zhì)后引導(dǎo)學(xué)生逐一進(jìn)行證明，這似乎是一根導(dǎo)火索，通過(guò)類(lèi)比，學(xué)生緊接著發(fā)現(xiàn)了雙曲線(xiàn)相類(lèi)似的4個(gè)性質(zhì)：

（1）若P（x，y）在雙曲線(xiàn)-=1（a>0，b>0）上，則過(guò)P的雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程是-=1.

（2）若P（x，y）在雙曲線(xiàn)-=1（a>0，b>0）外，過(guò)P作雙曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為P，P，則切點(diǎn)弦PP所在的直線(xiàn)方程是-=1.

（3）若AB是雙曲線(xiàn)-=1（a>0，b>0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則k·k=.

（4）若P（x，y）在雙曲線(xiàn)-=1（a>0，b>0）內(nèi)，則被P所平分的中點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)方程是-=-.

由此看出，巧妙激活能產(chǎn)生更大的課堂效益. 此時(shí)，學(xué)生接受的不再是教師的“魚(yú)”，而是教師的“漁”. 學(xué)生有了自己的思想，會(huì)越飛越高，越飛越遠(yuǎn)！

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是個(gè)系統(tǒng)工程，設(shè)問(wèn)、啟發(fā)與激活三個(gè)步驟，一個(gè)也不可懈怠. 要讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，作為教師，必須先研究如何設(shè)問(wèn)、如何啟發(fā)與如何激活.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 王戰(zhàn)雄. “設(shè)問(wèn)式”課堂教學(xué)方式的探究——以解三角形的教學(xué)片段為例[J]. 高中數(shù)理化，2020（14）：21.

[2]? 馬麗欣. 基于一題多解與一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維能力[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（24）：43-44.

[3]? 黃慶鋒. 學(xué)習(xí)遷移理論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D]. 上海師范大學(xué)，2012.