借助于問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生走上“樂(lè)學(xué)數(shù)學(xué)”“會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)”之路

張潔

[摘? 要] 為了激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)有效性，引導(dǎo)學(xué)生走上“樂(lè)學(xué)數(shù)學(xué)”“會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)”之路，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，進(jìn)而借助于熟悉的、生活化的情境激發(fā)學(xué)生的探究欲，借助于啟發(fā)性情境、發(fā)現(xiàn)性情境促進(jìn)學(xué)生的思維能力、學(xué)習(xí)能力全面提升.

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題情境;思維能力;學(xué)習(xí)能力

面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很多學(xué)生是被動(dòng)的、消極的，因?yàn)閷W(xué)生常感覺(jué)數(shù)學(xué)是枯燥無(wú)味的，很難激起學(xué)習(xí)的熱情. 因此，為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的探究欲，筆者認(rèn)為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生借助于情境自然地融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而淡化數(shù)學(xué)的抽象感，消除學(xué)生的厭學(xué)情緒，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，提升學(xué)習(xí)能力.

[?] 借助于熟悉的情境激發(fā)探究欲

從學(xué)生熟悉的素材出發(fā)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，選取與學(xué)生息息相關(guān)的問(wèn)題，可拉近學(xué)生與問(wèn)題的距離，使問(wèn)題情境更具“親和力”，進(jìn)而更容易使學(xué)生產(chǎn)生探究欲，使學(xué)生興趣盎然地投入學(xué)習(xí)，有助于學(xué)習(xí)效率的提升.

案例1 “平均數(shù)”的應(yīng)用.

某區(qū)高三共有學(xué)生4000人，在某區(qū)組織的一模考試5道填空題中，前3題為必做題，第4題和第5題為選做題，這5道填空題的得分如下：前3題的平均分是12分;第4題共2500人作答，平均分為3分;第5題共1500人作答，平均分為1.5分. 問(wèn)：某區(qū)高三這一?？荚嚨?道填空題的平均分為多少？

教師在講解平均數(shù)時(shí)“就地取材”，選取了學(xué)生熟悉的情境，于是學(xué)生很快得出了答案：=14.435（分）.

為了讓學(xué)生更加深入地領(lǐng)悟“平均數(shù)”的應(yīng)用價(jià)值，教師又設(shè)計(jì)了一個(gè)變式題目：某品牌空調(diào)店經(jīng)銷1匹、1.5匹、2匹三種型號(hào)的空調(diào)，6月份第二周的銷售情況如表1所示. 問(wèn)：6月份第二周平均每天的銷售額為多少？

題目給出后，學(xué)生很快得到平均每天的利潤(rùn)為≈785.7（元），進(jìn)而得出“平均每天的利潤(rùn)=總利潤(rùn)÷總天數(shù)”.

平均數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，教學(xué)中教師可精選一些學(xué)生看得見(jiàn)的、摸得著的、熟悉的問(wèn)題情境來(lái)激發(fā)學(xué)生的求知欲，進(jìn)而達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣的目的.

[?] 借助于啟發(fā)性情境發(fā)展數(shù)學(xué)思維

雖然表面上看直接灌輸更加高效，然若在知識(shí)生成的關(guān)鍵點(diǎn)上缺乏思維過(guò)程，則將難以形成學(xué)習(xí)能力，因此可以在知識(shí)形成的“關(guān)鍵點(diǎn)”或“連接點(diǎn)”處創(chuàng)設(shè)啟發(fā)性情境，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、聯(lián)想、驗(yàn)證等思維過(guò)程促進(jìn)學(xué)習(xí)能力提升.

案例2 已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的三邊a，b，c成等比數(shù)列.

（1）求角B的最大值.

（2）滿足三邊a，b，c成等比數(shù)列的△ABC是否唯一？

求解第（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單，即由a，b，c成等比數(shù)列可得b2=ac，所以cosB==≥=，所以0<B≤. 所以角B的最大值為（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取“=”），取“=”時(shí)，△ABC為等邊三角形.

求解第（2）問(wèn)時(shí)教師采用了小組合作的模式進(jìn)行，通過(guò)“探究”將問(wèn)題引向深處，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情. 探究后學(xué)生給出了這樣的猜想：

生1：當(dāng)三邊a，b，c分別取1，2，4或1， 3，9或1，，時(shí)都不能構(gòu)成三角形，猜想這個(gè)三角形應(yīng)該是唯一的.

師：很大膽的想法，那你能夠用什么方法加以證明呢？（生1表示不能證明）

師：大家思考一下cosB的取值范圍，看看是否能聯(lián)想到什么呢. （教師及時(shí)引導(dǎo)，很快有了答案）

生2：由-1<cosB<1，得-1<<1，解得<<. 只要滿足<<這個(gè)條件，就會(huì)存在滿足三邊a，b，c成等比數(shù)列的三角形. 比如：取a=2，c=1，則b==. 這樣可以驗(yàn)證生1的猜想是不成立的，滿足該條件的三角形并不是唯一的.

本題的第（1）問(wèn)學(xué)生能輕松求解，在第（2）問(wèn)的求解過(guò)程中，部分學(xué)生的解題思路中斷，教師及時(shí)引導(dǎo)，使第（2）問(wèn)更加具體化，借助于啟發(fā)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生猜想、推理，進(jìn)而提升了解題信心，促進(jìn)了思維發(fā)展.

[?] 借助于生活化情境領(lǐng)悟“學(xué)以致用”

教師在問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)時(shí)要盡量貼近生活，順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，不能一成不變地照搬原有情境，那樣會(huì)使情境失去應(yīng)有的活力.

隨著時(shí)代的進(jìn)步，線上理財(cái)產(chǎn)品日益多樣化，在教學(xué)中可以創(chuàng)設(shè)與之相關(guān)的情境，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，方便學(xué)生為家人提供更加合理的理財(cái)規(guī)劃，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“學(xué)以致用”的樂(lè)趣，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí).

案例3 某銀行的手機(jī)銀行有這樣一個(gè)理財(cái)產(chǎn)品：該款理財(cái)產(chǎn)品是保本投資，其年化利率為5%，10萬(wàn)元起售，37天到期，若共買了10萬(wàn)元，37天可以獲得多少利息？

題目給出后，學(xué)生很快應(yīng)用計(jì)算平均數(shù)的經(jīng)驗(yàn)先根據(jù)年化利率計(jì)算出每天的利息，接下來(lái)再乘37即可計(jì)算出結(jié)果. 通過(guò)富有時(shí)代感情境的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生對(duì)理財(cái)形成了一個(gè)合理的認(rèn)識(shí)，懂得何為“保本投資”，何為“風(fēng)險(xiǎn)投資”. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的不是單純地考一個(gè)好成績(jī)，“學(xué)以致用”才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力所在. 只有讓學(xué)生體會(huì)到了“學(xué)以致用”的真正意義，學(xué)生才有興趣關(guān)注生活中的“數(shù)”，進(jìn)而將其抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助于數(shù)學(xué)的概念、公式、定理來(lái)解決現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題，使生活與數(shù)學(xué)相互轉(zhuǎn)化，既體驗(yàn)到了“做數(shù)學(xué)”的快樂(lè)，也體驗(yàn)到了“用數(shù)學(xué)”的價(jià)值，進(jìn)而拓展學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的空間，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

[?] 借助于發(fā)現(xiàn)性情境培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)若僅是“就題論題”，不重視拓展和延伸，那么學(xué)生的解題思路就難以拓寬，不利于解題能力的提升. 為此，在教學(xué)中教師要重視引導(dǎo)，充分暴露規(guī)律發(fā)現(xiàn)和探索的過(guò)程，進(jìn)而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)，提升解題能力.

案例4 設(shè)x>0，y>0，x+y=1，則+的最小值是______.

師：若x>0，x+的最小值是多少呢？

生3：根據(jù)基本不等式公式可得x+≥2=2. 當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取“=”，即x=1時(shí)取“=”. 所以當(dāng)x=1時(shí)，x+的最小值為2.

師：若x>0，2x+的最小值是多少呢？

生4：根據(jù)基本不等式公式可得2x+≥2=8. 當(dāng)且僅當(dāng)2x=時(shí)取“=”，即x=2時(shí)取“=”. 所以當(dāng)x=2時(shí)，2x+的最小值為8.

師：根據(jù)上面的兩個(gè)小問(wèn)題，你能得出什么規(guī)律呢？

生5：對(duì)于x>0，求ax+的最小值問(wèn)題時(shí)，我們都可以應(yīng)用基本不等式的思路求解.

師：只要當(dāng)x>0嗎？如果求2x-的最小值，是否也適用呢？

生6：不行，因?yàn)槔没静坏仁奖仨毐ＷC其值為正，故條件應(yīng)該為x>0，a>0，b>0.

師：很好！+=

+

（x+y），該等式是否成立呢？為什么？

生7：成立，因?yàn)閤+y=1，故該等式成立.

按照這個(gè)思路，學(xué)生將等式+=

+

（x+y）的右側(cè)展開，得到4+++1. 利用基本不等式公式可得4+++1≥5+2=5+4=9. 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“=”，又x+y=1，所以當(dāng)x=，y=時(shí)，+的最小值是9.

講解本題時(shí)教師將問(wèn)題進(jìn)行了拆分，搭建了一個(gè)自由、和諧的問(wèn)題情境，讓學(xué)生輕松地解決小問(wèn)題后成功求解. x+y=1這一已知條件的巧妙應(yīng)用為基本不等式的實(shí)施奠定了基礎(chǔ). 在求解本題的過(guò)程中，學(xué)生不僅收獲了成功的喜悅，而且感受到了數(shù)學(xué)方法的微妙，進(jìn)而對(duì)此類問(wèn)題的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣. 基于此，教師及時(shí)引入了兩個(gè)變式題目，讓學(xué)生乘勝追擊，創(chuàng)造了下一個(gè)驚喜.

變式1：已知函數(shù)y=a1-x（a>0且a≠1）的圖像恒過(guò)點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0（mn>0）上，則+的最小值為多少？

變式2：已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a}滿足a=a+2a，若存在兩項(xiàng)a，a，使得=4a，則+的最小值為多少？

對(duì)于變式1，學(xué)生很快根據(jù)“函數(shù)y=a1-x（a>0且a≠1）的圖像恒過(guò)點(diǎn)A”求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），又mn>0，所以m>0，n>0. 接下來(lái)，學(xué)生利用案例4的解題思路順利求解了——求出+的最小值為3+2. 變式2較案例4和變式1的難度略有增加，學(xué)生在求解時(shí)遇到了一些小阻礙，這時(shí)教師營(yíng)造了幾個(gè)小問(wèn)題情境加以引導(dǎo).

師：變式2與原題（案例4）及變式1的結(jié)論相似，因此先想一下我們?cè)谇蠼膺@兩題時(shí)求出了什么關(guān)系，再思考變式2.

生8：應(yīng)先求出m，n的等量關(guān)系.

師：如何求m，n的等量關(guān)系呢？（教師留出時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考）

生9：由已知條件“正項(xiàng)等比數(shù)列{a}滿足a=a+2a”可得q=2，又=4a，可得m+n=6（m>0，n>0）.

師：很好，求出m，n的等量關(guān)系為m+n=6，但等式右側(cè)不是1，該如何轉(zhuǎn)化呢？

生10：（m+n）=1.

接下來(lái)，教師請(qǐng)學(xué)生板演了求解過(guò)程：+=

+

·（m+n）=

5++

≥

5+2

=，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“=”. 又m+n=6，所以m=2，n=4時(shí)，+的最小值為.

通過(guò)變式1和變式2的推廣，學(xué)生再遇到形如“ax+（x>0，a>0，b>0）”求最值的問(wèn)題時(shí)會(huì)格外輕松. 通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，學(xué)生不僅總結(jié)出了問(wèn)題的一般規(guī)律，而且學(xué)會(huì)了創(chuàng)造，進(jìn)而擁有了“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的能力. 數(shù)學(xué)題目雖然是多變的，然其往往蘊(yùn)含著不變的規(guī)律. 通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，可以使學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)越學(xué)越有趣，越探究越顯數(shù)學(xué)的魅力，從而逐漸引導(dǎo)學(xué)生走上自我探究和自我創(chuàng)新之路.

總之，要改變數(shù)學(xué)的枯燥乏味，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然流暢，離不開問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè). 因此，在教學(xué)中教師要根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)和題目的特征有針對(duì)性地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，以此提高教學(xué)的有效性.