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    基于歷史名題的高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課教學(xué):徐東

    2022-06-09 23:46:26徐東
    關(guān)鍵詞:單元復(fù)習(xí)立體幾何數(shù)學(xué)文化

    徐東

    [摘? 要] 受《九章算術(shù)》運(yùn)用“鱉臑”解決大量實際問題的啟發(fā),以該歷史名“體”設(shè)計了三個層次的探究:采用“問題鏈”的方式,引導(dǎo)學(xué)生以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评眚炞C直觀想象,以系統(tǒng)的知識體系感受公理化思想,以“鱉臑”解構(gòu)形式各樣的幾何體、深刻體會我國古代數(shù)學(xué)的建模思想,培養(yǎng)空間意識與科學(xué)精神,感受數(shù)學(xué)史的教育價值.

    [關(guān)鍵詞] 鱉臑;立體幾何;單元復(fù)習(xí);歷史名題;數(shù)學(xué)文化

    [?]引言

    徐光啟在評論《幾何原本》時曾說過,“舉世無一人不當(dāng)學(xué)幾何”. “立體幾何初步”位于人教A版必修第二冊第八章,其主要任務(wù)是研究空間中物體的形狀、大小與位置關(guān)系. 在課程設(shè)置上,它是初中平面幾何的延續(xù),從二維增加到三維,又是高中必修第二冊6.4.3“余弦定理、正弦定理”的具體應(yīng)用,是高中數(shù)學(xué)課程的重要板塊.

    現(xiàn)實中,不少學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何之初感到困難較多,引入空間向量、空間直角坐標(biāo)系后,反而覺得簡單了. 從解題的角度來看,有了“坐標(biāo)法”的幫助,立體幾何的教學(xué)任務(wù)似乎已經(jīng)完成了,但從“立體幾何初步”的教育價值來看,卻仍然存在著較大差距. 主要體現(xiàn)在:一是高中立體幾何中的兩大位置關(guān)系——平行與垂直. “平行”在立體幾何直觀圖中能得到形象的表現(xiàn),而“垂直”往往不能僅憑觀察獲得,有時甚至與圖形相距甚遠(yuǎn),需要用幾何推理、論證才能判斷與確定,即用推理來豐富直觀想象. 二是我國日常教學(xué)中,隨著課時計劃的推進(jìn),學(xué)生的立體幾何知識是逐步獲得的,其認(rèn)知發(fā)展是線性的,若僅滿足于解題而忽視知識體系的整體建構(gòu),不易形成公理化思想,有悖于“立體幾何初步”的教學(xué)初衷. 以上兩點是這一單元復(fù)習(xí)課需要解決的主要問題.

    “鱉臑”是我國古代數(shù)學(xué)的一個常用幾何模型,比正方體更為精簡,但它蘊(yùn)含的位置關(guān)系和幾何特征卻更豐富. 如何利用這一歷史名“體”破解上述困難,筆者在教學(xué)中進(jìn)行了嘗試.

    [?]史料

    “鱉臑”是我國古代對三棱錐的稱謂. 《九章算術(shù)》第五卷“商功”第十五問[1]:

    今有陽馬,廣五尺,袤七尺,高八尺. 問積幾何?

    答曰:九十三尺、少半尺.

    術(shù)曰:廣袤相乘,以高乘之,三而一.

    劉徽(約公元225年—295年)注:邪解立方,得兩塹堵,邪解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑,陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑成一陽馬,合三陽馬而成一立方,故三而一.

    如圖1所示,將一個長方體沿一對角面截開,就得到兩個三棱柱,即“塹堵”.

    如圖2所示,將一個“塹堵”分解成一個四棱錐和一個三棱錐,所得的四棱錐就是“陽馬”,三棱錐是“鱉臑”.

    第五卷“商功”主要講的是土石工程的計算和各種立體體積的計算,包括正四棱柱、圓柱、圓臺、正圓錐等10種立體體積. 該卷共提出了28個立體幾何問題,而涉及“鱉臑”的有18個問題:直接應(yīng)用的有1題,間接使用的有17題,按使用方式統(tǒng)計如表1所示,相應(yīng)占比分析如圖3所示.

    可見我國古代先民以“鱉臑”為基本幾何構(gòu)件,解決了大量的空間度量問題.筆者受此啟發(fā),選取“鱉臑”為重要模型,進(jìn)行“立體幾何初步”單元復(fù)習(xí).

    [?]教學(xué)實踐

    1. 創(chuàng)設(shè)情境

    課前發(fā)放《預(yù)習(xí)單》,向?qū)W生介紹“鱉臑”的幾何結(jié)構(gòu)及史料. 要求學(xué)生溫故教材,梳理出課本中與“鱉臑”相關(guān)的例題或練習(xí)題.

    《預(yù)習(xí)單》的回收情況表明教材中存在著大量的與“鱉臑”相關(guān)的問題,摘錄若干如下:

    人教A版必修第二冊第八章“立體幾何初步”,第158頁第3題和第171頁第13題,題目自身幾何體即“鱉臑”;第164頁第19題可以通過連接頂點得到三棱錐A-ABC即“鱉臑”;第152頁例4可以通過連接頂點得到三棱錐A-BBC即“鱉臑”;第170頁第11題過B作BE⊥CD于E,從而得到三棱錐A-BDE即“鱉臑”.

    這與表1統(tǒng)計《九章算術(shù)》中“鱉臑”的使用方式相似,這為課堂教學(xué)創(chuàng)造了有利條件.

    2. 課堂探究

    上課伊始,教師發(fā)放《學(xué)習(xí)單》.《學(xué)習(xí)單》中設(shè)計了三個層次的探究,每一層次的探究配置了若干問題,以“問題鏈”的方式,采取步驟“直觀感知→操作確認(rèn)→推理論證→度量計算”,引導(dǎo)學(xué)生溫故知識、整理方法,形成系統(tǒng)的立體幾何知識網(wǎng)絡(luò),提升空間觀念.

    探究1:驗證直觀感知.

    問題1-1:我們知道,空間中任意三點必共面,但是任意四點卻未必共面.如圖4所示,取AC,BC,BD,AD的中點分別為E,F(xiàn),G,H,連接EFGH,請觀察“鱉臑”中四邊形EFGH是否為平面圖形;如果是,猜想是什么圖形.

    問題1-2:由問題1-1得到的平行四邊形EFGH與AB是什么位置關(guān)系?

    問題1-3:記AC,BC的中點分別為E,F(xiàn),過EF的平面α交BD,AD(不包括端點)于G,H兩點,直線AB與直線GH是什么位置關(guān)系?

    問題1-4:如圖5所示,取AC,BC,CD的中點分別為E,F(xiàn),G,平面EFG與平面ABD是什么位置關(guān)系?

    問題1-5:取AC,BC的中點分別為E,F(xiàn),過EF且與平面ABD平行的平面α交CD于G,BD與FG是什么位置關(guān)系?

    問題1-6:在問題1-5中,平面α內(nèi)的任意一條直線與平面ABD是什么位置關(guān)系?

    問題1-7:“鱉臑”四個表面是否都為直角三角形?

    通過以上7個問題的探究引導(dǎo),師生共同梳理了相應(yīng)的知識(如圖6所示),并讓學(xué)生口述相應(yīng)位置關(guān)系的數(shù)學(xué)定義.

    本輪探究以學(xué)生易于想象的平行關(guān)系為基礎(chǔ),在他們猜想出共面、平行的情況下,促使他們主動提取平面的基本事實、線面平行判定定理、線面平行性質(zhì)定理等知識,對一個顯而易見的事實進(jìn)行證明,為下一步探究樹立大膽猜想、嚴(yán)密論證的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀;問題1-7為垂直關(guān)系的學(xué)習(xí)埋下了伏筆.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

    探究2:體驗嚴(yán)謹(jǐn)思維與精確度量.

    問題2-1:如圖7所示,直線AB與平面BCD是什么位置關(guān)系?

    問題2-2:線段BD上有一動點E,直線AB與CE是什么位置關(guān)系?

    問題2-3:思考并證明平面ABD與平面BCD的位置關(guān)系.

    問題2-4:在平面BCD內(nèi)過C作CE⊥BD于E,直線CE與平面ABD是什么位置關(guān)系?

    問題2-5:若

    AB

    =

    BC

    =

    CD

    =2,則直線AD與平面BCD所成角的正弦值為多少?

    問題2-6:若

    AB

    =

    BC

    =

    CD

    =2,則二面角B-AD-C的大小是多少?

    問題2-7:若

    BC

    =

    CD

    =2,二面角A-CD-B的大小為,則直線AD與平面ABC所成角的正弦值為多少?

    通過以上7個問題的探究引導(dǎo),師生共同梳理了相應(yīng)的知識(如圖8所示).

    本輪探究以垂直關(guān)系為主線,在無法可視化獲得是否垂直這一結(jié)論的情形下,處理方式與平行關(guān)系已經(jīng)大為不同,必須依靠嚴(yán)密論證來找到垂直的位置關(guān)系,再系統(tǒng)規(guī)范地思辨、論證得到結(jié)果,“采用演繹的形式用文字、數(shù)學(xué)符號和普通的邏輯來表達(dá)”[2]. 為此,教師應(yīng)幫助學(xué)生將這些貌似雜亂的結(jié)論用邏輯鏈條重新鋪排,追根溯源至其原始概念——平面[3].

    “垂直”在立體幾何中具有特殊地位.求線面角時,需要通過垂線得到斜線在平面內(nèi)的射影. 求二面角時,需要二面角的棱與兩個半平面的射線同時垂直,得到其平面角. 如圖9所示,當(dāng)l⊥OA且l⊥OB時,∠AOB是二面角的平面角.

    在具體問題中,與二面角的棱垂直的兩條射線往往不是現(xiàn)成就有的.給出較多的是某半平面內(nèi)的斜線AC,如圖10所示,需要我們自己去作垂線AB⊥β,從圖中可以發(fā)現(xiàn),幾何體A-BOC就是“鱉臑”.

    計算線面角的關(guān)鍵就是找由斜線段、垂線高、射影組成的直角三角形. 高可以通過面面垂直的性質(zhì)定理得到,也可以通過線面平行等距轉(zhuǎn)化、相似三角形等比例轉(zhuǎn)化、等體積法轉(zhuǎn)化等間接得到.

    平行關(guān)系、垂直關(guān)系是立體幾何中最基本的關(guān)系,體現(xiàn)了從空間問題到平面問題的轉(zhuǎn)化,需要教師幫助學(xué)生提升圖形識別、空間想象、邏輯推理等能力.

    探究3:解構(gòu)與建構(gòu).

    很多立體幾何問題中都能找到“鱉臑”的身影. 為進(jìn)一步深化學(xué)生對于“鱉臑”的體驗與認(rèn)知,教師給出了以下6個探究問題,讓學(xué)生在復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)中尋找“鱉臑”.

    問題3-1:如圖11所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,已知∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=,M,N分別為BC,PC的中點,PD⊥DC,PM⊥MD. (1)證明:AB⊥PM;(2)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.

    注:三棱錐P-MCD即“鱉臑”.

    問題3-2:如圖12所示,在三棱臺ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,

    DC

    =2

    BC

    . (1)證明:EF⊥DB;(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.

    注:求線面角時可過D作DG⊥AC于G,連接GB,三棱錐D-GBC即“鱉臑”.

    問題3-3:如圖13所示,已知三棱柱ABC-ABC,平面AACC⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AA=AC=AC,E,F(xiàn)分別是AC,AB的中點. (1)證明:EF⊥BC;(2)求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.

    注:過C作CG⊥AC于G,三棱錐G-ABC即“鱉臑”.

    問題3-4:如圖14所示,已知多面體ABCABC,AA,BB,CC均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,AA=4,CC=1,AB=BC=BB=2. (1)證明:AB⊥平面ABC;(2)求直線AC與平面ABB所成角的正弦值.

    注:延長AB,使得AG=2AB,則三棱錐A-AGC即“鱉臑”.

    以上4個問題分別為浙江省2021年、2020年、2019年、2018年高考第19題.由此可見,“鱉臑”這一歷史名“體”融匯了立體幾何的多種知識與方法,成了高考的熱點問題.

    問題3-5:北京冬奧會的美好回憶始于一片雪花,講述了“世界大同,天下一家”的故事,完美契合了“更團(tuán)結(jié)”的奧運(yùn)精神. 北京冬奧會主火炬由一個六邊形及六個等腰三角形組成. 如圖15所示,ABCDEF是邊長為2的正六邊形,GHIJKL沿著正六邊形的各條邊向上翻折到同一點P,形成正六棱錐P-ABCDEF.

    (1)定義:多面體頂點的“曲率”是指“2π與這一點的面角之和的差”.若正六棱錐P-ABCDEF的側(cè)棱長為+,求正六棱錐P-ABCDEF的各個頂點曲率之和.

    (2)若平面ABP⊥平面DEP,求直線AP與平面DEP所成角的正弦值.

    解:(1)各個頂點的曲率之和為4π;

    (2)如圖16所示,取AB的中點為R,ED的中點為K,連接PR,PK,記平面ABP與平面DEP的交線為l. 可得l⊥PR且l⊥PK,故平面ABP與平面DEP所成二面角為∠RPK,即∠RPK=90°. 不妨設(shè)正六邊形的邊長為2,則在直角三角形RPK中,RP=,側(cè)棱長PA=. 由直線AB∥平面PED得點A到平面PED的距離等于R到平面PED的距離RP,故直線AP與平面DEP所成角的正弦值為=.

    注:三棱錐P-OKE即“鱉臑”.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

    問題3-6:有一種柳葉精銑刀,截面如圖17所示,其中

    AF

    =

    DF

    =4,

    DB

    =

    EB

    =5,

    FC

    =

    EC

    =. 現(xiàn)將D,E,F(xiàn)三點分別沿著AB,BC,AC翻轉(zhuǎn)到點P. (1)△ABC是什么三角形?(2)求直線PD與平面PAB所成角的正弦值;(3)在三棱錐P-ABC與底面及側(cè)面都相切的球的最大體積為多少?

    解:(1)△ABC是直角三角形;(2)直線PD與平面PAB所成角的正弦值為;(3)用“割補(bǔ)法”得球半徑為,球體積為π.

    注:三棱錐P-ABC即“鱉臑”.

    [?]學(xué)生反饋

    (1)本節(jié)課哪個環(huán)節(jié)對你留下了深刻印象?

    學(xué)生甲:本節(jié)課給我印象最深刻的是“解構(gòu)”環(huán)節(jié),高考題連續(xù)出現(xiàn)了“鱉臑”,沒想到已經(jīng)熱門到這個程度.

    學(xué)生乙:“知識梳理”環(huán)節(jié)給我的印象最深刻,可以有效地幫助我搭建知識網(wǎng)絡(luò).

    (2)“鱉臑”對你解決問題時帶來的啟示有哪些?

    學(xué)生丙:“鱉臑”是一個基本的模型,我們以“體”制“體”,可以化繁為簡.

    (3)“鱉臑”這一歷史名“體”給你的學(xué)習(xí)帶來了哪些影響?

    學(xué)生?。簩W(xué)習(xí)立體幾何需要想象,但也不能單憑想象,還需要有公理化思想.

    學(xué)生戊:我國古代數(shù)學(xué)成就比我想象的還要大,我感到很自豪,也增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

    [?]教學(xué)反思

    借助于“鱉臑”這一幾何體,為系統(tǒng)、規(guī)范復(fù)習(xí)立體幾何帶來了極大的便捷,在復(fù)習(xí)的過程中,要注意證明的規(guī)范性、表達(dá)的嚴(yán)密性、思維的完整性.教師在立體幾何教學(xué)時,可以借助于GGB等數(shù)學(xué)信息化工具,能夠極大程度上幫助學(xué)生認(rèn)清幾何體的各個結(jié)構(gòu)特征.在處理立體幾何問題時,樹立起空間到平面的轉(zhuǎn)化方法,三維降低到二維的觀念能夠幫助學(xué)生較快地掌握具體的解題方法. 運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì),建立空間觀念[4].

    華羅庚說:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要經(jīng)歷‘由薄到厚以及‘由厚到薄的過程.”通過教師指導(dǎo)作用下的系統(tǒng)整理,做到知識的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化,能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時‘由薄到厚的過程.

    數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué),其最終目的是促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),為未來的發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)[5]. 在立體幾何復(fù)習(xí)中,引入歷史名題,能夠增進(jìn)師生交流,加深學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗,促進(jìn)數(shù)學(xué)文化的提升,在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的過程中,打造富有生命力的數(shù)學(xué)課堂.

    參考文獻(xiàn):

    [1]? 張蒼等. 九章算術(shù)[M]. 重慶:重慶出版社,2016.

    [2]? 菲利克斯·克萊因. 高觀點下的初等數(shù)學(xué)(第一卷)[M]. 上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2008.

    [3]? 王芳. 序言課:學(xué)科大概念教學(xué)的HPM路徑[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué),2021(08):30-34.

    [4]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

    [5]? 余慶純,汪曉勤. 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實證研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2020,29(03):68-74.08AA3884-264E-415B-A096-A806850E2679

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