數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之一： 抽象能力

摘? 要：抽象是數(shù)學(xué)的基本特征，也是數(shù)學(xué)的基本思想. 新頒發(fā)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把“抽象能力”作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之一，并以小學(xué)階段的數(shù)感、量感和符號意識為基礎(chǔ)，以高中階段的數(shù)學(xué)抽象為后繼，明確了小學(xué)、初中、高中三個階段的不同要求. 由于抽象能力是一種內(nèi)隱的心理特征，要落實(shí)在課堂教學(xué)與評價中，就需要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和活動，細(xì)化為一些可操作、可觀察、可測量的行為指標(biāo)，并針對這些行為指標(biāo)提煉與積累相應(yīng)的教學(xué)策略.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);抽象能力;表現(xiàn)行為;教學(xué)建議

抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，也是用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的基本方式. 由于數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，因此，數(shù)學(xué)中要抽象的是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式上的研究對象、關(guān)系與結(jié)構(gòu)，而不管其他方面（如物理）的屬性. 數(shù)學(xué)抽象是一種逐級的、理想化的、形式化的抽象.

初中階段的抽象能力，一方面，是小學(xué)階段數(shù)感、量感與符號意識的進(jìn)一步發(fā)展;另一方面，為高中階段更為嚴(yán)謹(jǐn)、形式化的數(shù)學(xué)抽象打下基礎(chǔ).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對初中階段抽象能力的內(nèi)涵與要求表述如下：

“抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力. 能夠從實(shí)際情境或跨學(xué)科的問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號予以表達(dá);能夠從具體的問題解決中概括出一般結(jié)論，形成數(shù)學(xué)的方法與策略. 感悟數(shù)學(xué)抽象對于數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的作用，感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意義，形成數(shù)學(xué)想象力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.”

下面，我們根據(jù)初中階段的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，給出抽象能力的具體表現(xiàn)與教學(xué)要求.

一、初中階段抽象能力的主要表現(xiàn)形式

初中階段的抽象能力主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、關(guān)系與方法的抽象上，具體包括以下幾個方面.

1. 進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感，能根據(jù)實(shí)際情境或數(shù)學(xué)問題情境抽象出有理數(shù)與實(shí)數(shù)的概念

數(shù)系的擴(kuò)張過程是一種典型的數(shù)學(xué)抽象過程. 初中階段學(xué)生將經(jīng)歷兩次數(shù)系的擴(kuò)張：一是引入負(fù)數(shù)，將正有理數(shù)集擴(kuò)張到有理數(shù)集;二是引入無理數(shù)，將有理數(shù)集擴(kuò)張到實(shí)數(shù)集. 通過這兩次擴(kuò)張，使學(xué)生能夠達(dá)到以下目標(biāo).

（1）理解負(fù)數(shù)的意義與必要性. 體驗(yàn)從“具有相反意義的量”抽象出負(fù)數(shù)概念的過程，理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的關(guān)系，以及數(shù)0的意義. 例如，在溫度計中，0℃是一個分界點(diǎn)，3℃與-3℃關(guān)于0℃對稱;在“收入與支出”模型中，收到100元可以記為100元，支出100元記為-100元，100 + （-100） = 0表示收支平衡.

（2）理解互為相反數(shù)的兩個數(shù)的特征與意義. 如果a，b互為相反數(shù)，那么[a+b=0]，反之亦然. 這反映了正數(shù)與負(fù)數(shù)的對稱性：① 每一個正數(shù)都對應(yīng)唯一的負(fù)數(shù);② 加法與減法互為逆運(yùn)算，即減去一個數(shù)可以看作加上這個數(shù)的相反數(shù). 這種對稱化的思想是數(shù)學(xué)抽象的一種常見方式.

（3）理解無理數(shù)的存在性及其在數(shù)學(xué)中的意義. 通過將兩個單位正方形剪拼成一個正方形的過程，體驗(yàn)一條不可公度的線段的存在性和引入新數(shù)的必要性;通過[2，π]這類具體的無理數(shù)感知無理數(shù)的無限不循環(huán)特征;知道無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，通過“一個無理數(shù)加減一個有理數(shù)的結(jié)果還是無理數(shù)”這樣的結(jié)論感知無理數(shù)的無限性;通過計算無理數(shù)的近似值初步感知極限的思想.

（4）理解運(yùn)算律的意義，能夠?qū)⑿W(xué)中的運(yùn)算律推廣到有理數(shù)與實(shí)數(shù)，并用符號表示. 知道有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集對于四則運(yùn)算都是封閉的.

（5）理解數(shù)軸的作用與意義，初步感悟數(shù)形結(jié)合的思想. 數(shù)軸是數(shù)的直觀模型，實(shí)數(shù)可以與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系，可以利用數(shù)軸直觀理解數(shù)的幾何意義及各種數(shù)量規(guī)律. 例如，可以用數(shù)軸來定義絕對值的概念，把一個數(shù)的絕對值看作這個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離;可以用數(shù)軸來比較兩個數(shù)的大小，可以用數(shù)軸理解互為相反數(shù)的數(shù)的對稱性，等等. 還可以利用數(shù)軸直觀理解有理數(shù)的稠密性和實(shí)數(shù)的連續(xù)性.

2. 進(jìn)一步發(fā)展量感，理解度量在幾何研究中的作用與意義，培養(yǎng)初步的幾何直覺

在初中階段，圖形與幾何的學(xué)習(xí)將從小學(xué)階段的測量、實(shí)驗(yàn)、歸納方式逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橐猿咭?guī)作圖、類比和演繹為主的方式，研究的核心為圖形的性質(zhì)與變換. 量感的表現(xiàn)形式也將從基于操作經(jīng)驗(yàn)的感悟逐步轉(zhuǎn)變?yōu)榛诟拍詈屯评淼闹庇X. 具體表現(xiàn)為如下幾個方面.

（1）通過尺規(guī)作圖、折紙及剪拼活動能夠直觀理解圖形形狀與大小是剛體運(yùn)動不變量. 剛體運(yùn)動下的不變性是歐式幾何的本質(zhì)特征，也是尺規(guī)作圖及幾何度量守恒性的基礎(chǔ). 例如，給定三條線段，在滿足兩邊之和大于第三邊的條件下，通過尺規(guī)作圖可以作出唯一的三角形;通過實(shí)際操作，形成三角形形狀與大小由三邊唯一確定的直觀認(rèn)識，為三角形全等的證明提供直覺基礎(chǔ);通過在同一個圓上用尺規(guī)作圖作兩個相等的圓心角的過程，直觀認(rèn)識到圓心角的大小與所對弧和弦的長度的關(guān)聯(lián)性.

（2）能夠依據(jù)圖形的形狀與大小對相關(guān)的結(jié)論做出預(yù)判與猜想，為幾何推理提供思路. 利用尺規(guī)作圖作出的幾何圖形可以“真實(shí)”地反映圖形中的位置關(guān)系和形狀大小，由此形成的幾何直覺在幾何探究和推理中具有良好的啟發(fā)作用. 在許多幾何問題的解決中，一般可以依據(jù)圖形的位置與度量特征，“看出”結(jié)論或推理過程，然后再根據(jù)題設(shè)給出推理與論證的過程.

（3）能夠在幾何推理的基礎(chǔ)上對實(shí)際情境中的度量做出準(zhǔn)確的判斷，彌補(bǔ)視覺的“失真”和日常經(jīng)驗(yàn)的不足. 例如，兩條筆直的鐵軌“看上去”似乎在遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)，但我們知道這是不可能的，因?yàn)閮蓷l平行線之間的距離永遠(yuǎn)相等;水平放置的線段與垂直位置的線段“看上去”似乎不相等，利用幾何推理我們可以確定那常常是一種“錯覺”;利用相似圖形的性質(zhì)我們可以知道，如果窗子的相鄰兩邊加長一倍，那么新窗子的面積就會變成原來的四倍.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

（4）利用度量的直觀模型，初步感知無限的過程. 例如，通過圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形邊數(shù)的不斷增加，可以直覺地認(rèn)識到它們的面積越來越接近圓的面積，圓的面積大小“始終”介于兩個正多邊形面積之間;通過將一個單位正方形不斷“對分”，如圖1，可以直觀地認(rèn)識到和式[12+14+18+116+…]越來越接近單位正方形的面積1，但永遠(yuǎn)比1少一點(diǎn).

3. 進(jìn)一步發(fā)展符號意識，理解代數(shù)是算術(shù)的一般化，能用代數(shù)方法解決問題

小學(xué)階段的符號意識大體上處于代數(shù)符號思維的啟蒙階段. 從初中開始，學(xué)生將更多地與形式符號打交道，符號意識也將逐步發(fā)展為數(shù)學(xué)抽象能力及基于符號的運(yùn)算與推理能力. 其主要表現(xiàn)在以下幾個方面.

（1）理解字母符號的各種意義與使用規(guī)則. 從字母代數(shù)開始，學(xué)生將經(jīng)歷字母表示一般意義的數(shù)，方程與不等式中的系數(shù)與未知數(shù)，以及變量與函數(shù)幾個層次. 能夠利用字母系數(shù)表示一般的方程與不等式，并給出一類方程的一般解;能夠在一個變換過程中發(fā)現(xiàn)相關(guān)的變量，并用變量與函數(shù)的方法解決問題.

（2）能夠?qū)Ψ栠M(jìn)行運(yùn)算與變換. 其中包括公式的變形，代數(shù)式的化簡、賦值與簡單的恒等變形，簡單分式與根式的運(yùn)算，方程與不等式的同解變形，因式分解，待定系數(shù)法、換元法，等等. 知道各種代數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)仍然是數(shù)的運(yùn)算，滿足各種運(yùn)算律.

（3）能夠發(fā)現(xiàn)或構(gòu)建數(shù)學(xué)符號的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題. 例如，在坐標(biāo)平面上建立有序數(shù)對與點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，能夠利用坐標(biāo)確定平面上點(diǎn)的位置，表示平面上點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，以及兩個坐標(biāo)之間的關(guān)系;能夠利用面積模型推導(dǎo)完全平方公式與平方差公式;知道可以用二次函數(shù)[y=ax2+bx+c][a≠0]表示一條拋物線，而且拋物線的形狀（開口方向）完全由二次項(xiàng)的系數(shù)確定.

（4）能夠利用符號表示一般規(guī)律，構(gòu)造猜想、假設(shè)，對所提出的數(shù)學(xué)命題做出判斷，用符號簡潔地表達(dá)推理過程. 例如，通過一元二次方程的等價變形發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），并運(yùn)用這種關(guān)系解決簡單的問題.

4. 能夠在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)中的概念、命題、方法與體系都是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果. 在初中階段，可以通過這些抽象活動，使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo).

（1）理解數(shù)學(xué)研究對象的抽象性. 數(shù)學(xué)的研究對象都是抽象的結(jié)果，在現(xiàn)實(shí)生活中并不存在. 例如，平面幾何中的“點(diǎn)”“線”“面”，現(xiàn)實(shí)生活中不存在“沒有大小”的點(diǎn)，也不存在無限延伸的直線;任何測量的結(jié)果都只能是有限小數(shù)，不可能獲得無限不循環(huán)小數(shù);等等.“數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界中的一些形式和關(guān)系，這些形式和關(guān)系客觀地具有與內(nèi)容無關(guān)的性質(zhì)，以至于能夠把它們完全從內(nèi)容中抽象出來，并且能夠在一般的形態(tài)中定義出來，達(dá)到明確性與精確性，保持豐富的聯(lián)系，以至于成為理論的邏輯發(fā)展的根據(jù).”

（2）理解概念引入的必要性、概念的定義過程，以及概念的多元表征，能夠運(yùn)用概念的定義解決問題. 例如，冪的定義，最初是基于簡化符號表達(dá)的需要，將n個字母a的乘積[a · a · a · … · a]記為[an]，就像把n個字母a的連加記為na一樣;在定義了冪的運(yùn)算規(guī)律后，發(fā)現(xiàn)這種記號可以極大地簡化代數(shù)式的運(yùn)算過程與結(jié)果;于是，又把指數(shù)的范圍從自然數(shù)拓展到整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)（高中階段）、復(fù)數(shù)（高等數(shù)學(xué)），進(jìn)而產(chǎn)生了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，冪的意義隨著一次又一次的拓展與抽象而產(chǎn)生更多的意義. 又如，平行四邊形的概念，可以采用多種定義方式，通過對不同定義的比較，理解定義是對概念的本質(zhì)屬性的反映，以及一個好的定義應(yīng)該滿足的要求，感悟數(shù)學(xué)抽象的過程與意義.

（3）理解數(shù)學(xué)命題的結(jié)構(gòu)與意義，能夠在具體的問題情境中，對數(shù)量關(guān)系與空間形式的規(guī)律進(jìn)行抽象，形成命題. 知道數(shù)學(xué)命題一般由條件與結(jié)論組成，如果由條件經(jīng)過邏輯推理可以得出結(jié)論，那就是一個真命題. 對命題的抽象是發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問題的表現(xiàn)之一.

（4）能夠在具體的問題解決中，抽象概括出數(shù)學(xué)的思想方法. 數(shù)學(xué)思想方法的抽象屬于數(shù)學(xué)抽象的較高層次. 一方面，數(shù)學(xué)思想方法的形成過程是抽象的結(jié)果;另一方面，數(shù)學(xué)思想方法的表現(xiàn)形式也是抽象的，需要借助具體的問題解決過程才得以呈現(xiàn). 此外，不同的數(shù)學(xué)思想方法往往具有不同的抽象水平，像解一元一次方程、一元二次方程的方法可以通過確定的算法程序?qū)崿F(xiàn)，相對比較具體，而平面幾何中的綜合方法就缺乏常規(guī)的思路，有一定的靈活性. 因此，這方面的要求應(yīng)該量力而為，逐步提高.

（5）能夠建立所學(xué)數(shù)學(xué)知識的橫向與縱向聯(lián)系，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu). 數(shù)學(xué)具有高度的統(tǒng)一性，不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識及思想方法通常具有廣泛的聯(lián)系. 例如，可以用函數(shù)的觀點(diǎn)處理方程、不等式的問題;用對稱的方法研究函數(shù)的圖象與性質(zhì);用平面直角坐標(biāo)表示圖形的運(yùn)動規(guī)律;等等. 因此，要求學(xué)生能夠利用單元小結(jié)、問題串、概念圖、思維導(dǎo)圖等方式對所學(xué)數(shù)學(xué)知識體系進(jìn)行提煉與重組，不斷優(yōu)化和完善自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

數(shù)學(xué)抽象的目的是揭示事物的本質(zhì)屬性，洞察現(xiàn)象背后的結(jié)構(gòu)與規(guī)律. 因此，初中階段抽象能力的培養(yǎng)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，還有助于學(xué)生養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，發(fā)展理性精神.

二、從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)

從小學(xué)進(jìn)入初中后，學(xué)生首先要面臨的是代數(shù)課程的系統(tǒng)學(xué)習(xí). 從算術(shù)到代數(shù)，不只是從具體的數(shù)字過渡到字母代數(shù)，也不只是增加了未知數(shù)、方程、不等式、變量、函數(shù)等抽象概念與符號，更重要的是要從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維.

那么，什么是代數(shù)思維呢？我們先來看一個典型的案例.

雞兔同籠：今有雞、兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

算術(shù)解法1：假設(shè)這50只都是雞，就該有100只腳，但題目有140只腳，說明其中還有兔. 所以用140減去l00所得的差40，正好是兔的頭數(shù)的2倍，于是結(jié)論是30只雞，20只兔.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

算術(shù)解法2（波利亞）：假設(shè)出現(xiàn)下面的奇觀，所有的雞都抬起一只腳，所有的兔都只用后腳站起來，這時站立的腳的總數(shù)是題目所給的腳的總數(shù)的一半，即為70，它恰好是雞的頭數(shù)與2倍的兔的頭數(shù)之和，所以用70減去50所得的差20就是兔的頭數(shù). 于是結(jié)論是30只雞，20只兔.

代數(shù)解法：設(shè)雞為x只，兔為y只，于是有方程組[x+y=50，2x+4y=140.] 解得[x=30，y=20，] 即30只雞，20只兔.

比較上述兩類解法可以看到，算術(shù)解法并不是所有人都能夠想到的，需要較高的智力水平（甚至是奇思妙想），而代數(shù)方法實(shí)際上只需要實(shí)施一定的程序，只要掌握這種程序，便可以解決問題;算術(shù)方法是一題一法，這里所用的方法一般不能用于別的問題，而代數(shù)方法是一種通法，可以形式化地解決一類問題;算術(shù)方法主要是通過運(yùn)算，從一個量得出另一個量，而代數(shù)方法側(cè)重于各種量之間的（相等）關(guān)系;算術(shù)方法是含情境的，其中的“數(shù)”有不同的含義，如“雞的腳數(shù)”“兔的腳數(shù)”“兔的頭數(shù)”，而代數(shù)方法是“去情境”的，其中的具體“量”已經(jīng)變成了一種抽象的符號，處于同等的地位;算術(shù)方法中的未知量是“捉摸不定”的，直到解出問題時才露出“廬山真面目”，而代數(shù)方法中的未知數(shù)是設(shè)定的、具體的，可以參與各種運(yùn)算.

可見，算術(shù)思維和代數(shù)思維在解決實(shí)際問題時有本質(zhì)的差異.

首先，在算術(shù)思維中，側(cè)重于利用數(shù)量的計算求出答案的過程，這個過程是程序性的、計算性的;而代數(shù)思維倚重的是關(guān)系的符號化及其運(yùn)算，這個運(yùn)算是結(jié)構(gòu)性的和一般性的.

其次，算術(shù)思維解決實(shí)際問題的過程是含情境的，具有特殊性的，甚至是建立在直觀上的;而代數(shù)思維解決實(shí)際問題的過程是去情境的、形式化的，并且在某種程度上是不能依賴直觀的.

最后，在算術(shù)思維中，表達(dá)式的作用是一種思考的記錄，是直接聯(lián)結(jié)題目與答案的橋梁;而在代數(shù)思維中，表達(dá)式的作用不再只是直接聯(lián)結(jié)問題與答案的過程記錄，還充當(dāng)著聯(lián)結(jié)各種量的媒介的角色.

此外，算術(shù)思維解決問題時采用的是一種目標(biāo)指引的直接的思路;而代數(shù)思維采用的則是“迂回戰(zhàn)術(shù)”，其過程被分成三個階段：第一階段是通過去情境、引入符號將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二階段是利用合適的代數(shù)模型解決相應(yīng)的代數(shù)問題;第三階段再把結(jié)果還原到實(shí)際情境中去. 在上面的這三個階段中，作為核心部分的第二個階段是一種與原問題、情境無關(guān)的形式（符號）運(yùn)算，運(yùn)用的是具有結(jié)構(gòu)性與抽象性的運(yùn)算法則. 正因?yàn)檫@一階段是脫離情境的，因此才可以發(fā)展成為一般化的途徑.

國際數(shù)學(xué)教育界知名學(xué)者基蘭認(rèn)為，從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡需要滿足以下五個條件：（1）聚焦關(guān)系，而不僅僅是數(shù)值運(yùn)算;（2）聚焦運(yùn)算和逆運(yùn)算，以及設(shè)而不求的思想;（3）聚焦對問題的表征及解決過程，而不只是答案;（4）聚焦字母符號，而不只是數(shù)字;（5）重新認(rèn)識等號的意義. 因此，“符號意識”是學(xué)生從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維的必要條件.

因此，要幫助學(xué)生從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維，需要在教學(xué)中關(guān)注以下幾個方面.

一是符號表征，即用符號或者由符號組成的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)去表示數(shù)學(xué)（或其他學(xué)科或現(xiàn)實(shí)生活）中的對象或結(jié)構(gòu). 其中包括：（1）能夠?qū)⒂米匀徽Z言表示的條件或命題寫成符號形式，如將“三個連續(xù)的自然數(shù)”表示為“n，n + 1，n + 2”或“n - 1，n，n + 1”，或根據(jù)題意寫出已知、求證等;（2）根據(jù)題設(shè)的相等關(guān)系、不等關(guān)系和函數(shù)關(guān)系分別列出方程、不等式和函數(shù)解析式;（3）能夠用自然語言去解釋符號操作的過程與結(jié)果.

二是符號變換，即各種表征之間的等價的或不等價的轉(zhuǎn)化. 其中包括：（1）代數(shù)式的賦值、化簡和恒等變形的技能;（2）解方程和不等式的技能;（3）換元法.

三是意義建構(gòu)，即解釋或發(fā)現(xiàn)形式符號或表達(dá)式背后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或?qū)嶋H模型及各種符號操作的意義與作用. 例如，知道任意一個數(shù)的絕對值[x]都是非負(fù)數(shù)，可以表示“數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”;知道一次函數(shù)的圖象是一條直線.

由此可見，小學(xué)階段培養(yǎng)的符號意識是初中階段形成抽象能力的基礎(chǔ)之一，而數(shù)學(xué)抽象能力則是符號意識的進(jìn)一步發(fā)展.

三、關(guān)注數(shù)學(xué)概念的發(fā)生和發(fā)展過程，多角度理解概念

概念是邏輯思維的基本形式之一，也是數(shù)學(xué)抽象的目標(biāo)及進(jìn)一步抽象的基礎(chǔ).

從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來看，數(shù)學(xué)概念的來源一般認(rèn)為有兩個方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得;二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象所獲. 所以數(shù)學(xué)概念的形成是一個從具體到抽象的過程. 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生的抽象能力.

除了抽象性，數(shù)學(xué)概念的另一個顯著特點(diǎn)就是表征的多元性. 萊什（R.Lesh）將布魯納的動作、表象和符號表征的思維活動以直線方式的發(fā)展修正為平面網(wǎng)狀式的互動發(fā)展而提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種表征：實(shí)際情境、圖形、教具、口語符號、書寫符號. 萊什認(rèn)為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，除了布魯納的表征理論強(qiáng)調(diào)深度的提升外，加強(qiáng)廣度的學(xué)習(xí)有助于深度的提升. 因此，他增加了實(shí)物情境和口語符號兩種表征，并且強(qiáng)調(diào)各種表征內(nèi)部和表征之間的轉(zhuǎn)換（如圖2）.

上述圖形的一個附加功能就是可以作為概念理解的評價框架. 當(dāng)我們說學(xué)生理解了數(shù)學(xué)概念時，在一定程度上是指他能夠運(yùn)用圖2中勾繪的轉(zhuǎn)化程序. 例如，說學(xué)生理解了一次函數(shù)概念，意味著他們能夠用具體的實(shí)例（如勻速直線運(yùn)動，周長一定時矩形花園的長與寬的數(shù)量關(guān)系等），通過操作（利用表格列出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系）、圖形（畫出函數(shù)的圖象）、符號（寫出函數(shù)的代數(shù)不等式）、口語（用自己的語言表述函數(shù)值隨自變量變化而變化的過程）等多角度地描述一次函數(shù).

數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的高度抽象性使得它具有普遍的意義和廣泛的應(yīng)用，而外延表征的多元性又使得數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用具有一定的靈活性. 因此，在教學(xué)中要盡可能地使學(xué)生親歷概念的抽象過程，并從不同角度理解概念.A97FE098-F6EA-4ADF-8650-5E80F7CEC54B

按照拉卡托斯的觀點(diǎn)，許多科學(xué)概念的定義并非一開始就是精確的，其中涉及如下的抽象化和精致化過程：首先產(chǎn)生一個模糊的想法;嘗試對這個想法用語言進(jìn)行描述;接著通過形式的定義得到初步的概念;然后嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質(zhì)、驗(yàn)證相關(guān)的定理，尋找等價或者相似的對象;最后再對原先的定義進(jìn)行修正，以排除那些不合理的推論，進(jìn)而調(diào)整、變更或者拓展對概念的理解，以便適應(yīng)新的可能性. 因此，理解概念的定義是形成抽象能力的基本途徑.

要加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，可以從概念發(fā)生和發(fā)展的歷史過程、邏輯過程及心理過程考慮.

從歷史上看，許多數(shù)學(xué)概念都經(jīng)歷了起起落落、曲折漫長的發(fā)展過程，今天出現(xiàn)在教科書上的概念定義與表達(dá)形式往往都是幾代數(shù)學(xué)家不斷簡化、改進(jìn)的結(jié)果. 通過這種過程，學(xué)生不僅可以更深刻地理解概念的意義及其必要性，而且可以感悟數(shù)學(xué)抽象的特征和數(shù)學(xué)的人文精神.

從邏輯上看，數(shù)學(xué)概念都不是孤立的知識點(diǎn)，每一個概念都有一些相關(guān)的概念，它們之間組成各種邏輯結(jié)構(gòu)，形成一定的知識體系. 其中，特別是一些處于核心位置的概念，對于整個知識體系的抽象與理解至關(guān)重要.

從學(xué)習(xí)心理上看，概念的學(xué)習(xí)主要有概念形成與概念同化兩個過程. 關(guān)于這兩個過程的學(xué)習(xí)理論大都建立在皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上. 其中，概念形成過程實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類對象或事物的共同本質(zhì)特征的過程. 其具體過程如圖3所示.

而概念同化的心理過程則主要包括以下兩個階段.（1）辨認(rèn). 辨認(rèn)定義中的新觀念哪些是已有概念，新、舊觀念之間存在什么關(guān)系，辨認(rèn)過程包含了回憶與知識的重現(xiàn). 例如，學(xué)習(xí)矩形的概念，在給出矩形的定義后，學(xué)生必須對四邊形、平行四邊形、相鄰兩邊的夾角等已有概念進(jìn)行回憶和辨認(rèn).（2）同化. 建立新概念與原有概念之間的聯(lián)系，把新概念納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使新概念被賦予一定的意義. 例如，上述關(guān)于矩形概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生將矩形與平行四邊形比較，發(fā)現(xiàn)新概念是已有舊概念的組合，于是通過建立新、舊概念的聯(lián)系獲得矩形的概念，同時，獲得新概念后又?jǐn)U大和改組了原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu). 通過將新概念與某些反例相聯(lián)系，使新概念更加穩(wěn)固和清晰.

四、通過具體的問題解決過程，感悟數(shù)學(xué)的通性、通法

在抽象能力的培養(yǎng)中，最具有挑戰(zhàn)性的是對數(shù)學(xué)思想方法的抽象能力.

數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識和基本看法，既包括從某些具體的數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出來的并在后繼的認(rèn)識活動中通過反復(fù)運(yùn)用而證實(shí)的正確的認(rèn)識結(jié)果或觀點(diǎn)，又包括對數(shù)學(xué)的本質(zhì)和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系及地位作用、數(shù)學(xué)內(nèi)部各部分之間對立統(tǒng)一關(guān)系的認(rèn)識，同時還包括關(guān)于數(shù)學(xué)概念、方法、理論的產(chǎn)生與發(fā)展的認(rèn)識. 數(shù)學(xué)的思想方法不僅是抽象的產(chǎn)物，其存在形式也是抽象的. 數(shù)學(xué)思想方法的形成通常蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念、原理、命題的抽象過程及數(shù)學(xué)問題的解決過程中.

由于數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)涵與形式上都是抽象的，因此，在初中階段的教學(xué)中需要通過具體的問題解決過程將其明晰化，使學(xué)生逐步感悟與內(nèi)化. 同時，應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注具有一般意義的通性、通法，而不是一些高難度的解題技巧.

中小學(xué)數(shù)學(xué)中的通性、通法主要是一些最基本的、常用的，而且大多數(shù)學(xué)生可以自然想到、掌握的方法. 例如，配方法是解決“二次問題”（一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)，乃至高中階段的二次曲線）的通性、通法. 首先，配方法有著直觀的幾何意義，歷史上早期就是通過面積來解決一元二次方程問題的;其次，配方法的目的是消去一次項(xiàng)，從而把所有的一元二次方程化歸為最簡形式[ax2=c]，然后通過開方運(yùn)算或者平方差公式化歸為一次方程，進(jìn)而解得方程或者進(jìn)行根的討論，這種“消項(xiàng)”“降次”的方法可以推廣到一元三次方程和一元四次方程的公式解法，反映了代數(shù)的基本特征;最后，由配方法可以得到二次函數(shù)圖象的對稱軸，從而利用對稱性解決問題（如最大值、最小值問題），而運(yùn)用對稱性可以收到事半功倍的效果.

由于數(shù)學(xué)思想方法具有高度的抽象性，同樣應(yīng)該遵循從具體到抽象的教學(xué)原則. 以配方法的教學(xué)來說，首先，學(xué)生需要經(jīng)歷完全平方公式的推導(dǎo)過程，熟悉此公式在數(shù)與代數(shù)的運(yùn)算中的應(yīng)用;其次，從簡單的數(shù)字系數(shù)的二次三項(xiàng)式開始，逐漸變化到字母系數(shù)，從對一個字母變元的配方到針對一個代數(shù)式的配方;最后，根據(jù)問題解決的需要，靈活地從正向和逆向兩個角度運(yùn)用配方法.

最后，需要注意的是，雖然初中生已經(jīng)處于皮亞杰所說的“形式運(yùn)算”的認(rèn)知發(fā)展階段，是培養(yǎng)抽象能力的關(guān)鍵期，但由于數(shù)學(xué)中的抽象是一種逐級抽象過程，可以在不同的層面上進(jìn)行抽象. 因此，需要選擇合適的知識固著點(diǎn)作為抽象的基礎(chǔ). 此外，初中階段的“抽象能力”與高中階段的“數(shù)學(xué)抽象”相比，前者可以是局部的、借助直觀的抽象，后者更關(guān)注數(shù)學(xué)抽象的系統(tǒng)性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

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