基于區(qū)塊鏈思想的數(shù)學(xué)慢教育研究

朱桂鳳

摘? 要：把區(qū)塊鏈思想借用到數(shù)學(xué)“慢教育”課堂，旨在落實學(xué)得會、學(xué)得好和育好人的根本任務(wù). 區(qū)塊鏈思想包括概念區(qū)塊鏈、原理區(qū)塊鏈和方法區(qū)塊鏈，涉及見木見林、厚積薄發(fā)和觸類旁通學(xué)習(xí)目標的層次性實現(xiàn). 以“一元二次方程”單元教學(xué)為行動載體，展現(xiàn)區(qū)塊鏈教學(xué)的路徑、方法和策略，促進上好學(xué)目標的充分實現(xiàn).

關(guān)鍵詞：區(qū)塊鏈思想;數(shù)學(xué)慢教育;一元二次方程;課例研究

區(qū)塊鏈技術(shù)（Blockchain technology）是科技名詞，是繼蒸汽機、電力、信息和互聯(lián)網(wǎng)革命后，引發(fā)第五次人類社會顛覆性變革的技術(shù)，并開始在教育教學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生影響. 筆者把區(qū)塊鏈思想借用到數(shù)學(xué)慢教育課堂，旨在提高課堂育人的質(zhì)量，實現(xiàn)學(xué)得會、學(xué)得好和育好人的根本任務(wù). 區(qū)塊鏈思想包括概念區(qū)塊鏈、原理區(qū)塊鏈和方法區(qū)塊鏈，涉及見木見林、厚積薄發(fā)和觸類旁通目標的層次性實現(xiàn).

本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）九年級上冊第一章“一元二次方程”單元教學(xué)為行動載體，展現(xiàn)區(qū)塊鏈教學(xué)的路徑、方法和策略，落實讓學(xué)生上好學(xué)的目標. 在慢教育視域下，以“一元二次方程”概念教學(xué)為主線，引導(dǎo)學(xué)生站在章知識體系高度，把一元二次方程、一元二次方程解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、用一元二次方程解決問題等內(nèi)容整合融通，切實讓學(xué)生見木見林.

一、為學(xué)得會而慢，形成概念區(qū)塊鏈，突出見木見林目標

數(shù)學(xué)慢教育起于學(xué)得會，成于概念區(qū)塊鏈，終于見木見林. 當然，學(xué)得會不只在于會做題，更在于讓學(xué)生知道概念的來龍去脈，也就是讓學(xué)生體驗到從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程. 像從“正方形桌面問題”“圖書館藏書問題”“梯子靠墻問題”抽象出一元二次方程的概念，并進行變式、引申，就是學(xué)會的一種表現(xiàn). 概念區(qū)塊鏈就是新、舊知識關(guān)系得以順應(yīng)，結(jié)構(gòu)性概念得以增值，擴大經(jīng)驗的適用范圍. 像基于“一元一次方程”的經(jīng)驗來研究一元二次方程、一元一次不等式和一次函數(shù)等知識體系，就是概念區(qū)塊鏈建立的常見例子. 見木見林則是章節(jié)概念、學(xué)段概念和系統(tǒng)概念的左右勾連、上下貫通的衍生狀態(tài). 讓學(xué)生經(jīng)歷一元二次方程起始概念的學(xué)習(xí)，體驗到一元二次方程與一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)的關(guān)系及其內(nèi)部概念關(guān)系思維叢林，就是見木見林的經(jīng)典思維和長篙漫溯.

就認知需要層次來說，概念區(qū)塊鏈是指概念和概念關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系，通過一定的思維程序，建立起來的結(jié)構(gòu)化知識體系或認知心理體系的序列分布. 慢能讓“點動成線、線動成面、面動成體”的過程得以展示，能讓學(xué)生跟得上、聽得懂、學(xué)得會，慢能讓學(xué)生把零散的知識轉(zhuǎn)化為單元知識，把個知識轉(zhuǎn)化為類知識，把經(jīng)驗概念轉(zhuǎn)化為客觀的概念關(guān)系，進而見木見林. 在數(shù)學(xué)慢教學(xué)過程中，先行組織、舉一反三及同化順應(yīng)都是常見的建立概念區(qū)塊鏈的有效手段. 類比一元一次方程的概念、算法和應(yīng)用過程，來揭示一元二次方程的概念、算法和應(yīng)用本質(zhì)，就是概念區(qū)塊鏈形成的思維清樣. 有文章指出，概念圖是由節(jié)點、連線、連接語和層級組成，它作為一張表征知識的模板能將碎小的、零散的和支離破碎的知識組織在一起，并使之成為知識結(jié)構(gòu). 這里的概念圖就是概念區(qū)塊鏈的替代概念. 一方面，能讓學(xué)生直觀地懂（學(xué)得會）;另一方面，能讓學(xué)生直觀地見木見林. 常見的章節(jié)框圖、小結(jié)與思考的線路圖、知識關(guān)系圖等都是概念區(qū)塊鏈的一種外在表征.

片斷1：在一塊長是32 m、寬是24 m的矩形綠地內(nèi)，要圍出一個花圃，使花圃面積是矩形面積的一半. 你能給出設(shè)計方案嗎？（設(shè)計清樣如圖1 ～ 4所示.）

例如，在綠地中間開辟一個矩形的花圃（如圖4），使得四周的綠地等寬，綠地的面積與花圃的面積相等. 你能計算出綠地的寬嗎？

解析：在圖5中，設(shè)花圃四周綠地的寬度為[x]m，

則AE[=]CF[=][2x].

因為AB[=]24，CD[=]32，

根據(jù)題意，可得方程[32-2x24-2x=12×32×24].

解這個一元二次方程，得[x1=24]（不合題意，舍去），[x2=4]，

即花圃四周綠地的寬度為[4]m.

顯然，這是概念的抽象過程，也揭示了一元二次方程的“長相”和算法. 其中，將上述方程變形為[x-142=100，] 是概念、圖形、算法關(guān)系的外化，這就是單元概念思想.

【設(shè)計意圖】旨在讓學(xué)生經(jīng)歷方案設(shè)計過程，感受概念的來龍去脈和內(nèi)在的結(jié)構(gòu)關(guān)系，同時，體驗概念與概念關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系，概念、算法與圖形關(guān)系的勾連與貫通，進而理解方程模型服務(wù)社會、服務(wù)現(xiàn)實的作用. 同時，文獻研究顯示，學(xué)生利用概念圖進行學(xué)習(xí)的平均效果量只有0.239 7，而學(xué)生制作概念圖的平均效果量為0.951 9. 設(shè)計方案承擔(dān)了制作概念圖的作用，有助于概念區(qū)塊鏈的建立，進而透過樹木望見森林.

相關(guān)說明：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》明確指出，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同角度加以分析，從不同層次進行理解. 片斷1的設(shè)計方案就是一種整體思維和先行組織行為，是學(xué)生建立圖形關(guān)系的基礎(chǔ). 其中，圖1、圖2是基于學(xué)生的認知經(jīng)驗的設(shè)計，每名學(xué)生的思維都夠得著;圖3、圖4是一種中心對稱思想和舉一反三行為，有助于后續(xù)特殊四邊形的學(xué)習(xí)，為概念區(qū)塊鏈的形成奠定心理基礎(chǔ). 由圖4到圖5的變形與問題解決，則是不同角度看問題的實踐清樣，是概念、算法與圖形關(guān)系建立的有效載體，有助于概念的同化和順應(yīng)，體現(xiàn)了為學(xué)得會而慢的思維狀態(tài)和認知信念.

二、為學(xué)得好而慢，建立原理區(qū)塊鏈，實現(xiàn)厚積薄發(fā)目標

數(shù)學(xué)慢教育是一種教學(xué)氣象，慢在歸納、慢在聯(lián)想、慢在類比. 歸納、聯(lián)想和類比是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的有效手段. 從教材設(shè)置的“桌面問題”“藏書問題”“梯子靠墻問題”建立具體的方程關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、提煉、概括、內(nèi)化，獲得一般形式[ax2+bx+c=0]（a，b，c是常數(shù)，其中[a≠0]），就是最為常見的歸納方式. 可以說初中階段學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷這樣一個歸納過程，方能形成一般化思想. 聯(lián)想是一種思維活動，是把不同事物聯(lián)系起來的一種思想方法. 當學(xué)生歸納出一元二次方程的一般概念時，讓學(xué)生再寫出幾個具體的不同形式的一元二次方程（如[x2=2]，[x19-2x=24]，[51+x2=9.8]，[x2+][x-12=25]等），就有聯(lián)想成分在發(fā)揮作用. 同時，聯(lián)想也是一種能力，知識越豐富，聯(lián)想范圍越廣闊，因而聯(lián)想能力越強. 像用[a×a]，[a×b]，[b×b]長方形紙片拼圖，揭示“因式分解”的幾何意義，是測量聯(lián)想能力水平的好載體. 類比就是對兩個或幾個相似的東西進行聯(lián)想，把它們中間某個較為熟悉的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到和它相似的對象上去，從而做出相應(yīng)的判斷或推理. 例如，類比分數(shù)性質(zhì)研究分式性質(zhì)、類比整式的算法研究分式的算法、類比一元一次方程研究分式方程的解法等，都是學(xué)生構(gòu)建原理區(qū)塊鏈的聯(lián)想途徑和思維清樣.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B

從審美需要來說，慢教育起于學(xué)得好、成于原理區(qū)塊鏈的構(gòu)建，終于厚積薄發(fā)目標的實現(xiàn). 學(xué)得好意味著知其然、知其所以然和何由以知其所以然. 讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生過程、形成過程和使用過程，以及解釋過程，就是學(xué)得好的一個表現(xiàn)形式. 另外，學(xué)生對習(xí)得的概念對象能舉一反三、聞一知十、以一當十、變式使用與解釋、審美補償、厚積薄發(fā)等，都是學(xué)得好的表現(xiàn). 換句話說，學(xué)得好不是簡單的模仿操作，而是遷移應(yīng)用. 當然，這種內(nèi)化過程需要用慢為數(shù)學(xué)思考提供審美直覺. 原理區(qū)塊鏈的建立至少表現(xiàn)在三個思維層次：（1）通過歸納，建立了概念與概念的關(guān)系;（2）通過類比，使得概念、算法與算理具有內(nèi)部關(guān)系的一致性;（3）經(jīng)歷聯(lián)想，使得概念結(jié)構(gòu)定向、算理算法上下貫通，產(chǎn)生“會一題、通一類、連一片”的思維效用. 從初中階段學(xué)生的認知心理特征和抽象能力較弱的背景來看，歸納、類比、聯(lián)想是獲得知識、學(xué)會思考的重要思維方式，是學(xué)生提高抽象和建模能力的有效手段，是學(xué)生建立審美直覺的思維前提. 厚積薄發(fā)是哲學(xué)名詞，是審美遷移發(fā)生的思維就緒狀態(tài)，是學(xué)生新、舊知識得以整合遷移的先行工具，是學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化為能力、將經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為方法、將思想轉(zhuǎn)化為成長的心理基礎(chǔ).

片斷2：用配方法解一元二次方程[x2+2x-24=0]，

配方的過程可以用拼圖直觀地表示.（具體拼圖過程如圖6 ～ 9所示.）

解析：首先，把方程[x2+2x-24=0]變?yōu)閇x2+2x=24.]

即把常數(shù)項移到等號的右邊.

其次，依據(jù)面積關(guān)系，可以得到[xx+2=24].

最后，配方的過程，可以看成將一個長是[x+2]、寬是[x]、面積是24的矩形割補成一個正方形.

具體來說，在面積思維的參與下，由圖6，可得到方程關(guān)系[xx+2=24].

圖7是一個“割”的過程，不難理解[x2+2x=24].

圖8是一個“補”的過程，不難理解[x2+2x+1=][24+1]. 這就是說，對于二次項系數(shù)是1的一元二次方程，配方時要在方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

圖9則是配方的完美形式[x+12=25]，在此基礎(chǔ)上，再借助直接開平方的方法或者平方根的意義，獲得方程的解，即[x1=4]，[x2=-6].

【設(shè)計意圖】旨在讓學(xué)生經(jīng)歷配方的發(fā)生過程，感知原理區(qū)塊鏈的構(gòu)建意義和形象化思維過程，強調(diào)學(xué)得好不只在于會做題，更在于體驗概念發(fā)生的“合情 + 合理”過程，揭示慢教育慢在過程、慢在歸納、類比和聯(lián)想. 同時，在分類思想的參與下，拼圖活動直觀地揭示了“為什么配方時，方程兩邊要加上一次項系數(shù)一半的平方”這一原理機制，這是培養(yǎng)學(xué)生提出問題的好載體，是學(xué)生厚積薄發(fā)的認知心理條件. 顯然，這比“記概念、練概念”有效果、有境界、有視野，這就是慢教育的教學(xué)育人思維剪影.

相關(guān)說明：從教材九年級的設(shè)置來看，一元二次方程解法包括直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法. 其中，配方法是這些解法中的算法中樞，以直接開平方為基礎(chǔ)，又為公式法和因式分解法提供原理，研究、學(xué)習(xí)的意義可想而知. 從教學(xué)目標層面來說，確立以下通用目標：（1）會用直接開平方法解形如[x+h2=k]（h，k為常數(shù)，[k≥0]）的方程;（2）理解配方法，會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;（3）會用公式法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，并通過公式的推導(dǎo)，體會轉(zhuǎn)化的思想方法;（4）會用因式分解法解某些數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，能根據(jù)具體方程特征選擇方程的解法，進一步提高學(xué)生運算素養(yǎng). 在這里，除了配方法確立“理解→會用”的目標，其他解法用“會用”來描述. 可見，研究配方法產(chǎn)生的過程及其原理的必要性. 為了更好地構(gòu)建原理區(qū)塊鏈，筆者添加“配方變式”和“任意寫一個條件方程”的思維事項（如[2x2-4x+3=0]），落實理解目標. 同時，在閱讀教材的前提下，讓學(xué)生嘗試用公式法和因式分解法解一元二次方程. 這些認知舉措都是構(gòu)建原理區(qū)塊鏈的有效途徑，有助于學(xué)生因聯(lián)想學(xué)得好，因類比而厚積薄發(fā)，這就是慢中向快和慢中生道的價值所在.

三、為育好人而慢，構(gòu)筑方法區(qū)塊鏈，落地觸類旁通目標

在自我實現(xiàn)目標層次，慢教育為育好人而慢，慢在思考、慢在審美、慢在遷移.

育好人意味著讓學(xué)生既獲得知識，又獲得能力，同時獲得做人的道理. 像從不同角度看問題可以培養(yǎng)學(xué)生換位思考的能力，這是學(xué)生走上社會必備的能力;還有平常在做題過程中，持之以恒、迎難而上、不畏挫折的克服困難的意志力，也是學(xué)生寶貴的精神財富. 方法區(qū)塊鏈的構(gòu)筑能讓學(xué)生“會一題、通一類、連一片”，能讓學(xué)生觸類旁通、遷移創(chuàng)新、換位思考. 方法區(qū)塊鏈是指在問題解決過程中理解算理、掌握算法，以及總結(jié)經(jīng)驗，提煉基本方法，形成思想方法體系，進而提高應(yīng)用能力、創(chuàng)新意識和整體數(shù)學(xué)水平. 具體來說，方法區(qū)塊鏈的構(gòu)筑需要做好以下三個方面的工作：一是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中獲得客觀的知識和準確的結(jié)論;二是讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會換位思考;三是讓學(xué)生在學(xué)以致用和用以致學(xué)的過程中學(xué)會估計知識的價值. 由此可見，方法區(qū)塊鏈的構(gòu)筑不只在于觸類旁通，更在于育好人、好育人，有助于知識本位轉(zhuǎn)向育人為本，有助于教的觸類旁通、學(xué)的旁通觸類，體現(xiàn)了慢教育的“高觀點、低起點”的教學(xué)育人境界.

當然，慢教育本身就是一種深度教學(xué)，有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)思考中增長智慧，在問題解決中形成分析綜合、評價反思等高階思維，進而學(xué)真知、做真人. 慢課堂育好人的過程就是理解數(shù)學(xué)，理解教法、學(xué)法和算法，理解數(shù)學(xué)的歷史和現(xiàn)狀，形成積極向上的數(shù)學(xué)態(tài)度，進而在應(yīng)用數(shù)學(xué)中遷移數(shù)學(xué)，并獲得人格生長、品德內(nèi)化的能力. 在慢教育教學(xué)法范疇，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移是一種學(xué)習(xí)中習(xí)得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對另一種學(xué)習(xí)的影響，也就是已有經(jīng)驗的具體化與新課題的類化過程，或新、舊經(jīng)驗的協(xié)調(diào)過程. 像基于一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，研究類化一元二次方程的方法體系，就是新、舊經(jīng)驗整合遷移的過程. 其中，算法的轉(zhuǎn)化、解法的增值都是深度認知遷移的一個表現(xiàn). 這就是方法區(qū)塊鏈建立的積極意義. 正如美國數(shù)學(xué)教育家Wilkins的觀點，數(shù)學(xué)教育的目標是讓每名學(xué)生都應(yīng)該：（1）掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容知識;（2）具有數(shù)學(xué)推理能力;（3）承認數(shù)學(xué)的實用性和社會影響（服務(wù)社會的精神）;（4）理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和歷史發(fā)展（應(yīng)用意識的增長）;（5）對數(shù)學(xué)有積極的態(tài)度（人格生長、品德升華）.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B

片斷3：把一根長為80 cm的繩子剪成兩段，并把每一段繩子圍成一個正方形（如圖10）.

（1）要使這兩個正方形的面積的和等于200 cm2，應(yīng)該怎樣剪？

（2）這兩個正方形的面積的和可能等于488 cm2嗎？為什么？

解析：（1）不妨設(shè)其中一個正方形的邊長為[x]cm，

根據(jù)題意，可得[x2+20-x2=200].

解得[x1=x2=10].

所以應(yīng)該把繩子剪成長度相等的兩段.

（2）不妨設(shè)其中一個正方形的邊長為[x]cm，

根據(jù)題意，可得[x2+20-x2=488].

解得[x1=22，] [x2=-2].

因為[x1>20，] [x2<0，]

所以正方形的面積之和不可能為488 cm2.

從上述解法中，不難看出兩個方程的解法滲透了根的判別式大于0和等于0的情況，但從方法體系層面則缺少了無解的情況，不利于方法區(qū)塊鏈的有序建立.

為此，筆者切入根的判別式小于0的視角.

在題干條件不變的情況下，添加了如下問題：兩個正方形的面積和可能為198 cm2嗎？為什么？

解析：不妨設(shè)其中一個正方形的邊長為[x]cm，

根據(jù)題意，可得[x2+20-x2=198].

經(jīng)過變形，可得[x2-20x+101=0].

因為[Δ=b2-4ac=202-4×1×101][=-4<0，] 根的判別式為負數(shù)，這說明方程無解，

因此，兩個正方形的面積和不可能為198 cm2.

這說明方法區(qū)塊鏈的建立，不只在于客觀知識的獲得，更在于觸類旁通和服務(wù)社會.

【設(shè)計意圖】旨在讓學(xué)生通過系列問題的解決，將解法、算理、算法與應(yīng)用創(chuàng)新意識整合融通，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，增值解法經(jīng)驗，形成算法區(qū)塊鏈，達成觸類旁通的育好人目標. 其中，觸類旁通不是口號，更不是一種簡單的結(jié)果，而是方法區(qū)塊鏈建立的過程性思維的產(chǎn)物，意味著讓學(xué)生聽得見思考、看得見思維、帶得走課堂，進而學(xué)會估計知識的價值. 正如盧梭的觀點：愛彌兒的知識不多，我不是教給他各種各樣的知識，而是教他怎樣在需要的時候取得知識，教給他學(xué)會估計知識的價值. 慢課堂的本質(zhì)就是讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會估計知識的價值，在學(xué)會估計知識的價值中學(xué)會做事、學(xué)會做人、歷練人格、鍛煉品格.

相關(guān)說明：在懷特?？磥?，教育不是向行李箱里塞滿物品的過程. 方法區(qū)塊鏈的建立是一個整合、遷移的過程，需要觸類旁通和經(jīng)驗調(diào)用. 一般情況下，問題解決意味著面臨比較困難的問題時，需要把這個問題的新信息同現(xiàn)有的全部有關(guān)的知識或經(jīng)驗綜合起來，或者是滿足于使這些信息與某種已經(jīng)掌握了的一般性觀念建立一定的關(guān)系，并把信息轉(zhuǎn)化為術(shù)語或詞匯（根的判別式等），納入認知結(jié)構(gòu)（方程解法的增值與適用范圍的擴大），形成方法區(qū)塊鏈及其意義體系. 因此，慢教育慢在過程化思考、慢在重組遷移、慢在換位思考、慢在方法區(qū)塊鏈的建立與審美選擇.

當然，任何事物的發(fā)展都有局限性. 區(qū)塊鏈思想的使用要審視數(shù)學(xué)現(xiàn)實、權(quán)衡教學(xué)現(xiàn)實、直面育人現(xiàn)實，方能有的放矢，方能育好人，提高慢的教學(xué)境界.

參考文獻：

[1]劉榮玄，蔡金，賴清. 概念圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生認知影響的實證研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（1）：83-88.

[2]曹才翰，章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.

[3]王立君. 概念圖在促進認知和評估知識結(jié)構(gòu)方面的理論與實證研究[D]. 上海：上海師范大學(xué)，2009.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B