基于深度學(xué)習(xí)的幾何習(xí)題課教學(xué)

聞國(guó)梁

摘? 要：習(xí)題課是中考復(fù)習(xí)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是知識(shí)回顧、整理及簡(jiǎn)單應(yīng)用后的研究主題的延續(xù)與拓展. 從中考的視角，看幾何習(xí)題課教學(xué)，要力爭(zhēng)達(dá)到“做一題、會(huì)一類、通一片”的效果. 文章以“三角形的內(nèi)接正方形”為背景，以問(wèn)題串形式驅(qū)動(dòng)深度學(xué)習(xí)，在定性分析中獲得新的研究對(duì)象和研究思路，再?gòu)亩拷嵌壬钊胩骄咳绾未_定內(nèi)接正方形，比較多個(gè)正方形面積的大小，從中獲得一般性的規(guī)律，體會(huì)“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑. 通過(guò)習(xí)題課教學(xué)，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞：中考復(fù)習(xí)課;問(wèn)題串;類比;深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)的概念最早由瑞典學(xué)者費(fèi)爾倫斯·馬頓和羅杰·薩廖在《學(xué)習(xí)的本質(zhì)區(qū)別：結(jié)果和過(guò)程》中提出. 2005年，何玲、黎加厚首次在國(guó)內(nèi)引入深度學(xué)習(xí)概念：深度學(xué)習(xí)是在理解的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判地學(xué)習(xí)新思想和新事實(shí)，并將他們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想之間建立聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延兄R(shí)遷移到新的情境中，做出決策和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí). 此后，深度學(xué)習(xí)在全國(guó)范圍內(nèi)引起廣泛關(guān)注. 2016年，教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心深度學(xué)習(xí)教學(xué)改進(jìn)項(xiàng)目組對(duì)深度學(xué)習(xí)的定義為：深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心地積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)的過(guò)程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀，成為既具獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神、基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來(lái)社會(huì)實(shí)踐的主人.

由此可見，深度學(xué)習(xí)既是教師的一種教學(xué)方式，又是學(xué)生的一種學(xué)習(xí)方式，深度學(xué)習(xí)有沒有發(fā)生，必須通過(guò)學(xué)生才能得以體現(xiàn). 在學(xué)習(xí)幾何的過(guò)程中，要讓學(xué)生不僅知道“有哪些性質(zhì)”，而且知道這些性質(zhì)“是怎么來(lái)的”，并進(jìn)一步掌握“發(fā)現(xiàn)性質(zhì)”的本領(lǐng). 本文以“三角形的內(nèi)接正方形”為背景設(shè)計(jì)習(xí)題課，按照“定性到定量”“特殊到一般”的研究路徑，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題串，學(xué)生在經(jīng)歷操作、思考、探索、歸納、證明、運(yùn)用等有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程后，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程;在問(wèn)題解決的過(guò)程中進(jìn)一步掌握發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的本領(lǐng)，把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)的思維方式，為今后處理其他問(wèn)題積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn). 現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計(jì)和思考過(guò)程呈現(xiàn)如下.

一、課題分析

1. 內(nèi)容解析

數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生來(lái)源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展需求和實(shí)際應(yīng)用的需求. 從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的發(fā)展來(lái)看，小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了“方中圓”和“圓中方”兩個(gè)基本圖形，知道正方形和圓的面積比. 初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)心和外心，會(huì)用尺規(guī)作三角形的外接圓、內(nèi)切圓，會(huì)求三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑. 對(duì)于三角形、正方形、圓三個(gè)基本圖形兩兩組合，一共有3種組合6類圖形，而學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了前面4類圖形，從系統(tǒng)的角度提出研究“三角形的內(nèi)接正方形”是自然的過(guò)程，從而建立知識(shí)間的整體聯(lián)系. 同時(shí)，該問(wèn)題也有實(shí)際應(yīng)用背景，如“從一塊三角形材料中裁出一個(gè)最大的正方形”，這類問(wèn)題綜合性強(qiáng)、難度大，在歷年中考中以壓軸題形式呈現(xiàn)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的好素材.

本課題安排在中考一輪復(fù)習(xí)之后，學(xué)生對(duì)各單元知識(shí)已經(jīng)進(jìn)行了回顧和整理，設(shè)計(jì)以“三角形的內(nèi)接正方形”為背景的幾何習(xí)題課. 通過(guò)回顧三角形的研究路徑，體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的基本套路，從兩個(gè)同類圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系入手，引出研究不同類圖形（三角形、正方形、圓）的位置關(guān)系，再回顧已經(jīng)學(xué)過(guò)的“圓中方”等熟悉圖形，為新的研究對(duì)象（三角形的內(nèi)接正方形）的獲得及研究思路奠定基礎(chǔ). 通過(guò)下定義和分類，明確概念的內(nèi)涵和外延. 在尺規(guī)作圖中，引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)單的圖形入手畫出內(nèi)接正方形，再類比推廣到一般三角形. 對(duì)于一個(gè)三角形中存在多個(gè)內(nèi)接正方形的情況，引導(dǎo)學(xué)生用作差法比較大小，從而得到一般性的結(jié)論.

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)類比舊知，發(fā)現(xiàn)和提出新的研究對(duì)象（三角形的內(nèi)接正方形），明確研究思路.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)類比，發(fā)現(xiàn)和提出新的研究對(duì)象（三角形的內(nèi)接正方形），會(huì)下定義和分類.

（2）能用尺規(guī)畫出有兩條共邊的內(nèi)接正方形，再類比推廣到只有一條共邊的情況.

（3）會(huì)用作差法比較正方形面積的大小，理解最短邊上的內(nèi)接正方形面積最大.

3. 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、正方形、圓的相關(guān)知識(shí)，已經(jīng)學(xué)過(guò)了圓的內(nèi)接正方形等圖形的尺規(guī)作圖，邊長(zhǎng)、面積的計(jì)算. 通過(guò)教材中習(xí)題的練習(xí)，對(duì)于三角形的內(nèi)接正方形，已學(xué)會(huì)根據(jù)三角形的底和高，求內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，會(huì)求特殊三角形中內(nèi)接正方形面積的最大值，這些舊知為新知的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)、指引了方向. 但是，學(xué)生不清楚確定內(nèi)接正方形的方法，不清楚如何用尺規(guī)畫出內(nèi)接正方形，在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，也缺乏對(duì)這方面的主動(dòng)思考.

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：用尺規(guī)畫出任意三角形的內(nèi)接正方形.

二、教學(xué)過(guò)程

1. 激活舊知

問(wèn)題1：幾何是研究空間結(jié)構(gòu)與性質(zhì)的一門學(xué)科，初中階段我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了哪些圖形？

生1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形、特殊四邊形、圓這些基本平面圖形.

追問(wèn)1：對(duì)于三角形、正方形、圓這類基本圖形，我們是按照什么學(xué)習(xí)路徑展開的？

生2：圖形的學(xué)習(xí)通常按照“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的順序展開學(xué)習(xí)，性質(zhì)的學(xué)習(xí)路徑又會(huì)經(jīng)歷“操作—猜想—證明—運(yùn)用”的環(huán)節(jié).

追問(wèn)2：對(duì)于兩個(gè)同類圖形，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用全等、相似、位似等聯(lián)系來(lái)刻畫. 那么對(duì)于兩個(gè)不同類圖形組合在一起，又能得到哪些熟悉的圖形？

生3：我們?cè)谛W(xué)階段學(xué)習(xí)了圓中方、方中圓，九年級(jí)又學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)切圓、三角形的外接圓.（教師展示圖1～4.）A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18

追問(wèn)3：在圖1中，我們把四個(gè)點(diǎn)都在圓上的正方形叫做圓的內(nèi)接正方形. 對(duì)于兩個(gè)不同類圖形，我們通常會(huì)研究它們之間特殊的位置關(guān)系. 對(duì)于圖1～4，我們還學(xué)過(guò)哪些知識(shí)？

生4：對(duì)于圖1～2，我會(huì)求正方形和圓的面積比、邊長(zhǎng)和半徑比.

生5：對(duì)于圖3～4，我會(huì)用直尺和圓規(guī)作三角形的內(nèi)切圓與外接圓，根據(jù)三角形求圓的半徑.

小結(jié)：在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們往往按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，對(duì)于一個(gè)確定的圖形，如圓的內(nèi)接正方形、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外接圓，我們可以從如何確定圖形（尺規(guī)作圖）、定量計(jì)算線段長(zhǎng)度和圖形面積等方面進(jìn)行研究.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)舊知，激活已有知識(shí)，回顧三角形的研究路徑，體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的基本套路，從兩個(gè)同類圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系入手，引出研究不同類圖形（三角形、正方形、圓）的位置關(guān)系，再回顧已經(jīng)熟悉的圖形（圖1～4）中所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，從而為新的研究對(duì)象（三角形的內(nèi)接正方形）的獲得，以及研究思路奠定基礎(chǔ).

2. 定性分析，獲得研究對(duì)象

問(wèn)題2：對(duì)于三角形、正方形、圓兩兩組合，我們已經(jīng)研究了圓的內(nèi)接正方形、正方形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)切圓、圓的內(nèi)接三角形，類比圖1～4，你還能得到哪些圖形，試畫出圖形，并給圖形下定義.

生6：類比圖2，得到了圖5，我把△BCE叫做正方形ABCD的內(nèi)接三角形，定義：三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形邊上的三角形，叫做該正方形的內(nèi)接三角形.

生7：類比圖1，得到了圖6，我把正方形DEFG叫做△ABC的內(nèi)接正方形，定義：四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的正方形，叫做該三角形的內(nèi)接正方形.

追問(wèn)1：圖5、圖6中的內(nèi)接三角形、內(nèi)接正方形是唯一確定的嗎？

生8：圖5中的三角形不唯一，有無(wú)數(shù)個(gè)，圖6中的正方形是唯一確定的.

追問(wèn)2：我們今天就來(lái)研究三角形的內(nèi)接正方形，它真的是“唯一”確定的嗎？

生9：三角形有3條邊，而正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，則必有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形同一邊上，如圖7、圖8，還存在與BC共邊的情況，所以一共有3個(gè).

生10：我發(fā)現(xiàn)不是所有的三角形都存在3個(gè)內(nèi)接正方形. 當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)有三個(gè)內(nèi)接正方形;當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，存在2個(gè)內(nèi)接正方形;當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，只存在1個(gè)內(nèi)接正方形，如圖9～11所示.

追問(wèn)3：將圖6～11的六個(gè)內(nèi)接正方形進(jìn)行分類，并說(shuō)出你的分類標(biāo)準(zhǔn).

生11：按照正方形與三角形共邊的條數(shù)進(jìn)行分類，圖9中有2條共邊，另外5個(gè)正方形只有1條共邊.

【設(shè)計(jì)意圖】在三角形、正方形、圓兩兩組合的情況討論中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比圖1～4，自主思考、畫圖，提出新的研究對(duì)象（圖5、圖6），通過(guò)類比“圓的內(nèi)接正方形”的定義對(duì)新對(duì)象下定義，明確概念的內(nèi)涵. 追問(wèn)1、追問(wèn)2從圖形的確定性、唯一性展開，明確本節(jié)課的研究對(duì)象——三角形的內(nèi)接正方形，引導(dǎo)學(xué)生從定義的內(nèi)涵對(duì)內(nèi)接正方形的個(gè)數(shù)進(jìn)行分析，生10相比于生9，進(jìn)行了更深層次的思考與實(shí)踐. 在得到一系列新的圖形后，追問(wèn)3引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新的圖形進(jìn)行分類，確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，明確概念的外延. 同時(shí)，通過(guò)分類，將特殊的圖9提煉出來(lái)，為后面尺規(guī)作圖、定量計(jì)算環(huán)節(jié)按照“從特殊到一般”的方法的展開奠定基礎(chǔ). 通過(guò)問(wèn)題串的形式層層遞進(jìn)，在教師的引導(dǎo)下，將學(xué)生的思維逐漸引向深入.

3. 定量研究，確定對(duì)象

問(wèn)題3：選取任意一個(gè)三角形，用三角尺（作垂線）和圓規(guī)畫出它的一個(gè)內(nèi)接正方形.

生12：我選擇作圖9的正方形，它比較簡(jiǎn)單，因?yàn)樗袃蓷l邊與直角三角形共邊. 如圖12，作∠C的平分線，與AB交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥AC，EF⊥BC，即得正方形CDEF.

追問(wèn)1：對(duì)于圖6、圖12，記△ABC邊BC長(zhǎng)度為a，邊BC上的高為h，內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為x，用a，h表示x.

生13：在圖12中，可以用等積法，根據(jù)[S△ABC=S△ACE+]

[S△BCE]，可得[12ah=12ax+12hx]，即[x=aha+h]. 也可以用相似，根據(jù)△ADE ∽ △ACB，可得[h-xh=xa]，即[x=aha+h].

生14：在圖6中，根據(jù)△ADG ∽ △ABC，可得[h-xh=xa]，即[x=aha+h].

追問(wèn)2：通過(guò)計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生15：我發(fā)現(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)取決于與之共邊的三角形邊長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)邊上的高，與三角形的形狀無(wú)關(guān). 換言之，等底等高的三角形，等底邊上的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)相等.

追問(wèn)3：那么你能否類比圖12的方法，將另外5幅圖的三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，用尺規(guī)作出其內(nèi)接正方形呢？

生16：如圖13，過(guò)點(diǎn)C的直線m⊥BC，過(guò)點(diǎn)A的直線n⊥m，直線m，n交于點(diǎn)A′，連接A′B，作∠A′CB的平分線交A′B于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作A′C的垂線交AB，AC于點(diǎn)D，G，再作DE⊥BC，GF⊥BC，于是可得正方形DEFG. 其他圖形的作圖方法同理可得，略.

【設(shè)計(jì)意圖】尺規(guī)作圖要思考如何確定正方形的頂點(diǎn)，而只要確定正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，就能找到其余頂點(diǎn). 在前面定性分析的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠自然地想到圖9的尺規(guī)作圖是最容易的，只要畫出直角的平分線就能找到頂點(diǎn). 設(shè)置3個(gè)問(wèn)題串，通過(guò)算一算，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)取決于三角形的底和高，與三角形的形狀無(wú)關(guān). 既然與形狀無(wú)關(guān)，那么能否將其他三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形來(lái)構(gòu)圖？學(xué)生也能夠自然地想到通過(guò)作平行線，將其他三角形轉(zhuǎn)化成等底等高的直角三角形，一旦直角三角形的內(nèi)接正方形頂點(diǎn)找到了，那么一般三角形中的內(nèi)接正方形也隨之確定下來(lái)了. 通過(guò)問(wèn)題串的形式，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“從特殊到一般”的研究過(guò)程，體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在經(jīng)歷思維深層思考、解決了富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題后，讓學(xué)生收獲成功的喜悅，從而巧妙地突破了本節(jié)課的難點(diǎn).A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18

問(wèn)題4：在同一個(gè)直角三角形中，有2個(gè)內(nèi)接正方形，那么哪個(gè)正方形的面積更大呢？

生17：正方形面積大小比較可以轉(zhuǎn)化為比較邊長(zhǎng)，如圖9、圖10，記BC = a，AB = c，△ABC的面積為S，正方形邊長(zhǎng)分別為x1，x2. 參考生13的方法，由[x=][aha+h]，得[x1=2Sa+2Sa]. 化簡(jiǎn)，得[x1=2aSa2+2S]，[x2=2cSc2+2S]. 采用作差法比較大小，得[x1-x2=2Sc-aac-2Sa2+2Sc2+2S]. 由[c-a>0，] [12ac>S]，得[x1-x2>0]，即[x1>x2].

追問(wèn)：由上述計(jì)算過(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)，可以類比推廣到銳角三角形嗎？

生18：在直角三角形中，直角邊上的內(nèi)接正方形面積比斜邊上的內(nèi)接正方形面積大. 推廣到銳角三角形中，最短邊上的內(nèi)接正方形面積最大.

【設(shè)計(jì)意圖】在問(wèn)題3中，我們已經(jīng)用底和高表示出正方形的邊長(zhǎng)，對(duì)于一個(gè)三角形中有多個(gè)內(nèi)接正方形時(shí)，我們自然而然地想到，去比較它們面積的大小. 問(wèn)題4的解決也運(yùn)用了“從特殊到一般”的研究方法，先研究直角三角形中的2個(gè)正方形，通過(guò)作差、通分、因式分解，再對(duì)單個(gè)子項(xiàng)逐一討論后，確定出直角邊上的內(nèi)接正方形面積較大. 最后，類比遷移到銳角三角形中的3種情況，將學(xué)生的思維引向深入地思考，得到一般性的結(jié)論——最短邊上的內(nèi)接正方形面積最大，也為后面的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

4. 應(yīng)用拓展

例? 如圖14，現(xiàn)有一批三角形木料，邊長(zhǎng)分別為42 dm，40 dm，26 dm，現(xiàn)要加工出面積最大的正方形（不能拼接）. 試在圖中用三角尺和圓規(guī)畫出△ABC所包含的面積最大的正方形，簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖方法（不要求證明），并判斷正方形的邊長(zhǎng)能否超過(guò)15.5 dm.

【設(shè)計(jì)意圖】此題為應(yīng)用題，考查三個(gè)知識(shí)點(diǎn)：（1）與最短邊共邊的內(nèi)接正方形面積最大;（2）類比問(wèn)題3，用尺規(guī)作出內(nèi)接正方形;（3）運(yùn)用相似三角形知識(shí)，計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活.

5. 回顧總結(jié)

（1）你學(xué)會(huì)了有關(guān)三角形內(nèi)接正方形的哪些知識(shí)？

（2）這些知識(shí)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了哪些環(huán)節(jié)？

（3）我們是如何想到去研究三角形的內(nèi)接正方形的？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)三個(gè)問(wèn)題和板書引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，建立知識(shí)之間的整體聯(lián)系. 通過(guò)操作、猜想、證明、應(yīng)用等環(huán)節(jié)感悟知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，體會(huì)“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，滲透類比、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力.

三、教學(xué)反思

習(xí)題課是中考復(fù)習(xí)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是知識(shí)回顧、整理及簡(jiǎn)單應(yīng)用后主題的延續(xù)與拓展，挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的很好的素材，可以幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)思維能力. 筆者認(rèn)為習(xí)題課要達(dá)成深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)需要具備以下三個(gè)要素.

1. 選題源于教材，高于教材

當(dāng)前，最常見的復(fù)習(xí)課是教師以“奇、特、巧、新”等為選題標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)“講解題，不講怎樣解題”“講解法，不講如何想到解法”的方式給學(xué)生灌輸技巧，最后總結(jié)為“解法—技巧”.“解法多的題” ≠ “好題”，那些與重要概念和性質(zhì)相關(guān)、反映數(shù)學(xué)本質(zhì)、體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)聯(lián)系性的題才是真正的“好題”. 好的解法應(yīng)追求把問(wèn)題簡(jiǎn)單地說(shuō)清楚，并從中提煉基本結(jié)構(gòu)、思想方法，這樣才能真正做到一通百通. 本課題基于教材和中考情況，設(shè)置有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，以問(wèn)題串的形式驅(qū)動(dòng)課堂學(xué)習(xí)，將學(xué)生已有的知識(shí)推廣到一般三角形中，通過(guò)尺規(guī)作圖、求最值等問(wèn)題，引發(fā)深度學(xué)習(xí). 浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）八年級(jí)下冊(cè)第19頁(yè)作業(yè)題第5題，考查了等腰直角三角形中求最大的正方形的面積，教材九年級(jí)上冊(cè)第149頁(yè)作業(yè)題第5題，考查了一般三角形中，已知底和高，運(yùn)用相似三角形知識(shí)求內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng). 學(xué)生在前期學(xué)習(xí)中，已經(jīng)對(duì)相關(guān)內(nèi)容有了初步的了解. 同時(shí)，該結(jié)構(gòu)也經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)在中考試題中，如2019年浙江嘉興卷、浙江舟山卷. 同時(shí)，在廣東、山東、遼寧、天津的中考試題中均有出現(xiàn)，是中考中的?？停彩菍W(xué)生考試答題的難點(diǎn). 基于上述分析，筆者確定了“三角形的內(nèi)接正方形”的學(xué)習(xí)主題.

2. 課堂以生為本，學(xué)為中心

深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵要求課堂教學(xué)中要以生為本，以學(xué)為中心. 教學(xué)設(shè)計(jì)要站在學(xué)生的角度去設(shè)計(jì)問(wèn)題，在教師的指導(dǎo)下，既要讓學(xué)生自然地獲得研究對(duì)象和思路，又要讓學(xué)生進(jìn)行挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望. 本課題按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，層層遞進(jìn)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，并將學(xué)習(xí)的思維引向深處. 尺規(guī)作圖是本節(jié)課的難點(diǎn)，筆者查閱資料，發(fā)現(xiàn)有圖15～17三種作法，均利用了位似來(lái)進(jìn)行構(gòu)圖，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，幾乎難以想到. 筆者按照由易到難的原則，圖9中的正方形是學(xué)生容易想到的，通過(guò)算一算發(fā)現(xiàn)等底等高的三角形，等底邊上的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)一樣，通過(guò)類比圖9，將其他圖形轉(zhuǎn)化成等底等高的直角三角形，從而巧妙地突破了本節(jié)課的難點(diǎn). 在研究同一三角形中面積最大的正方形時(shí)，先研究直角三角形中的2個(gè)正方形，通過(guò)作差法比較大小，再類比遷移到銳角三角形中的3種情況，將學(xué)生的思維引向深處.

3. 一般觀念引領(lǐng)幾何學(xué)習(xí)

一般觀念指與核心概念和理論相關(guān)的研究問(wèn)題的一般“套路”. 例如，如何抽象一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象;怎樣研究一類數(shù)學(xué)對(duì)象. 幾何教學(xué)中可遵循“基本事實(shí)—概念—性質(zhì)—結(jié)構(gòu)”的公理化體系，按照“從定性到定量”“從特殊到一般”的研究路徑展開學(xué)習(xí). 本課題通過(guò)問(wèn)題1，激活學(xué)生的已有知識(shí)，包括小學(xué)階段學(xué)習(xí)的圓中方、方中圓，九年級(jí)階段學(xué)習(xí)的三角形內(nèi)切圓和外接圓，從而自然引出本節(jié)課的研究對(duì)象. 從所學(xué)習(xí)的已有知識(shí)內(nèi)容中，包括定性上對(duì)內(nèi)接圖形存在性的討論，尺規(guī)作圖，定量計(jì)算長(zhǎng)度和面積，為新的研究對(duì)象明確了研究方向和研究思路. 在教師的精心組織下，學(xué)生經(jīng)歷了操作、猜想、證明、應(yīng)用等環(huán)節(jié)，既自然地得到新的研究對(duì)象和研究思路，又進(jìn)行了有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，在運(yùn)用特殊、類比、轉(zhuǎn)化等方法解決難題的過(guò)程中，經(jīng)歷了更深層次的思考，獲得了成功的體驗(yàn)，感悟?qū)W習(xí)的一般方法. 通過(guò)習(xí)題課教學(xué)，學(xué)生在提高解題能力的同時(shí)，提高了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，體會(huì)研究問(wèn)題的一般路徑，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)成深度學(xué)習(xí).

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