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    打通任督二脈,通殺立體幾何中的平行問(wèn)題

    2022-06-03 11:34:19胡紹隊(duì)
    速讀·上旬 2022年3期
    關(guān)鍵詞:邏輯推理能力立體幾何平行

    胡紹隊(duì)

    ◆摘? 要:近年來(lái),在數(shù)學(xué)高考題中,試卷結(jié)構(gòu)與題型比較穩(wěn)定,人教A版通常有六道大題,其中必有一道立體幾何問(wèn)題,可見(jiàn)立體幾何在高考中的重要地位。但對(duì)于對(duì)新疆考生來(lái)講,難度較大!故歷年考試結(jié)果來(lái)看得分率不高,很多考生望而卻步。

    ◆關(guān)鍵詞:立體幾何;平行;邏輯推理能力

    一、知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理

    1.定義:同一平面內(nèi),不相交的兩條直線,叫平行線。

    2.判定定理:

    (1)同位角相等,兩直線平行

    (2)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行

    (3)同旁同角互補(bǔ),兩直線平行

    3.性質(zhì)定理:

    (1)兩直線平行,同位角相等

    (2)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等

    (3)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)

    4.相關(guān)高頻輔助知識(shí)點(diǎn):

    三角形的中位線定理:三角形的中位線,平行于第三邊,且等于第三邊的一半。

    5.線面平行系列

    (1)定義:直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn),叫直線與平面平行

    (2)判定定理:不在平面內(nèi)的直線,與平面內(nèi)的某條直線平行,則這條直線和這個(gè)平面平行

    專業(yè)符號(hào)語(yǔ)言:a?α,b?α,a∥b,則a∥α

    (3)性質(zhì)定理:直線與平面平行,過(guò)此直線的平面與已知直線相交,則這條直線與此交線平行

    專業(yè)符號(hào)語(yǔ)言:a∥α,a?β,α∩β=b,則a∥b

    6.面面平行系列

    (1)定義:兩平面沒(méi)有公共點(diǎn),叫兩平面平行

    (2)判定定理:一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行專業(yè)符號(hào)語(yǔ)言:a∥β,b∥β,a?α,b?αa∩b=M,則α∥β

    (3)性質(zhì)定理:兩面平行,被第三面所截,他們的交線平行專業(yè)符號(hào)語(yǔ)言:a∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥b

    二、基本題型

    1.基本定理型:此類題目要求考生知道定理是什么,并知道如何用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)定理即可,要求每位學(xué)生都要撐握的題型。

    例1:已知經(jīng)定的三棱錐S-ABC,M,N分別是SA和SB的中點(diǎn),

    求證:MN∥平面ABC

    證明:因?yàn)镾M=MA,SN=NB,所以MN是中位線,所以MN∥AB,又因?yàn)镸N ?面ABC,AB ?面ABC,所以MN∥面ABC

    2.雙軌相交直接雙滑式:指欲證明的線面平行中,直線線兩端均在單根直線軌道上,兩根軌道直線相交且兩根軌道直線均與平面相交于MN兩點(diǎn),則直線MN即為所要找的面內(nèi)線。其本質(zhì)是線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用。

    例2:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為AD1、CD1的中點(diǎn).求證:EF∥平面ABCD;

    分析:EF兩點(diǎn)均在單根直線D1A,及DC上,且相交于D1點(diǎn),兩條真線分別與平面交于AC兩點(diǎn),符合雙軌直滑式模型,故AC即為面內(nèi)線,連接AC即可證明。

    證明:如圖,連接AC,

    ∵E、F分別為AD1、CD1的中點(diǎn),∴EF∥AC,

    EF?平面ABCD,AC?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.

    3.雙軌不交單滑式:指欲證明的直線上兩點(diǎn)分別在兩條軌道直線上,但兩條直線并不相交,但均與平面相交于兩點(diǎn)。此類題目需選擇一根軌道把直線沿這條軌道滑過(guò)到平面內(nèi),結(jié)合所給條件,證明線面平行,是高考的主力題型。對(duì)考生的觀察能力,推理能力,條件聯(lián)系能力和綜合分析能力均有一定的要求。

    例3:如圖所示,四棱錐P—ABCD的底面ABCD是平行四邊形,E、F分別是棱AD、PC的中點(diǎn).

    證明:EF∥平面PAB;

    分析:欲證的EF兩點(diǎn),分別在單軌道 PC及AD上,兩條直線并不相交,但兩條直線均與平面ABP相交,符合數(shù)學(xué)模型。在兩點(diǎn)中,顯然E點(diǎn)在AD這條水平標(biāo)準(zhǔn)線上,沿此直線滑向平面ABP,顯然E點(diǎn)將落于A點(diǎn),猜想F點(diǎn)沿水平方面右移將落于BP線段上,依據(jù)F點(diǎn)為CP的中點(diǎn),猜想將落于BP的中點(diǎn)M處。故取BP中點(diǎn)M,形成猜想直線AM,并封口FM形成四邊形,顯然只需證明為平行四邊形即可。即把矛盾EF與AM平行轉(zhuǎn)移至FM與AE平行即可,依據(jù)兩中點(diǎn)F,M形成的中位線,通過(guò)橋梁CB,與AD發(fā)生關(guān)系,問(wèn)題得到解決。其本質(zhì)依然是線面平行的性質(zhì)定理的高級(jí)應(yīng)用。

    證明:如圖所示,取PB中點(diǎn)M,連接MF,AM.

    因?yàn)镕為PC中點(diǎn),所以MF∥BC,且2MF=BC

    由已知有BC∥AD,BC=AD,

    又由于E為AD中點(diǎn),因而MF∥AE且MF=AE,

    故四邊形AMFE為平行四邊形,所以EF∥AM.

    又AM?平面PAB,而EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB.

    當(dāng)然若選擇F點(diǎn)沿CP滑向面內(nèi)的P點(diǎn),則E點(diǎn)較難控制(可行,但不推薦),建議使用數(shù)學(xué)化歸思想把雙軌不交型,巧妙轉(zhuǎn)化為雙軌相交型,必然要借助于P點(diǎn)軌道上的端點(diǎn)C,故,連接C點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)E點(diǎn),并延長(zhǎng),使之與目標(biāo)平面相交于N點(diǎn),則順利轉(zhuǎn)化為雙軌直滑式,故連結(jié)PN即可輕松解決問(wèn)題。

    方法二:

    證明:如圖所示,連接CE交BA的延長(zhǎng)線于N點(diǎn),連接PN.因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),而AD∥BC,且AD=BC,故AE是BCM的中位線,即E為CN中點(diǎn),而F是CP的中點(diǎn),因而EF∥AP,又PN?平面PAB,而EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB

    通過(guò)這種系統(tǒng)梳理,深入淺出的把知識(shí)體系架構(gòu)清楚,再輔以一定量的練習(xí),即可有效的用科學(xué)的數(shù)學(xué)思想解決平行類問(wèn)題,從而達(dá)到對(duì)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。

    參考文獻(xiàn)

    [1]梁乾培,程金鋒.用向量法處理立體幾何中的平行、垂直問(wèn)題[J].數(shù)理化解題研究(高中版),2007(04):16-17.

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