對(duì)尺規(guī)作圖的再理解

摘要：關(guān)于尺規(guī)作圖的教學(xué)在我們的課堂中應(yīng)該怎么教，教到什么程度，值得我們思考，以2021年福建省一道中考試題為例，闡述尺規(guī)作圖的基本思路、操作流程與原理分析，對(duì)教學(xué)的實(shí)踐進(jìn)行思考，引導(dǎo)關(guān)注幾何教學(xué)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖;幾何教學(xué);初中數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）14-0026-03

收稿日期：2022-02-15

作者簡(jiǎn)介：林龍海（1977.8-），男，福建省福州長(zhǎng)樂(lè)人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

尺規(guī)作圖是初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的一塊重要內(nèi)容，隸屬于幾何與圖形板塊，中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查常常涉及多種方式，試題往往以不同的形式呈現(xiàn)，但無(wú)論何種形式，了解作圖的基本過(guò)程、理解作圖的基本原理、掌握作圖的基本技能與方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

1 對(duì)尺規(guī)作圖的知識(shí)應(yīng)用再理解

（2021·福建）如圖1，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A.

（1）求作四邊形ABCD，使得點(diǎn)B，D分別在射線AK，AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD∥AB;（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）略.

1.1 試題分析

本題的作圖并沒(méi)有明確指明使用哪一種基本作圖方式，屬于基本作圖的應(yīng)用，需要學(xué)生根據(jù)題意來(lái)選擇怎樣的基本作圖操作來(lái)實(shí)現(xiàn)求解.此類試題的解決在于首先要明確幾何圖形的基本性質(zhì)，然后根據(jù)其基本性質(zhì)，使用幾個(gè)基本的尺規(guī)作圖進(jìn)行疊加或組合完成.

1.2 解法分析

下面給出10種不同的解法，從不同角度、不同方式來(lái)重新認(rèn)識(shí)一下尺規(guī)作圖.

解法1作垂線得到點(diǎn)D

如圖2，使用“作一條線段等于已知線段”，以點(diǎn)A為圓心，a為半徑畫(huà)弧，在射線AK上作AB=a，作出點(diǎn)B，再次使用這個(gè)基本作圖，作出等邊三角形ABC，再過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AR，垂足為點(diǎn)D，得到點(diǎn)D.

分析看到60°想到等邊三角形，看到AR⊥AK想到作垂線得出CD∥AB.解法1使用2種基本作圖得到答案.

解法2作菱形得到點(diǎn)D

如圖3，同解法1得到點(diǎn)B和點(diǎn)C，再分別以點(diǎn)A，C為圓心，a為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E，得到菱形ABCE或菱形ABEC，直線CE與AR交點(diǎn)即為點(diǎn)D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD∥AB，想到菱形的性質(zhì)：對(duì)邊平行，作菱形出平行.解法2使用5次同一種基本作圖得到答案.

解法3作菱形得到點(diǎn)D

如圖4，同解法2得到點(diǎn)E，再以點(diǎn)C為圓心，a為半徑畫(huà)弧，交AR于點(diǎn)F，得到菱形ACFE，菱形ACFE的對(duì)角線CE與AF的交點(diǎn)即為點(diǎn)D.

分析看到60°想到等邊三角形，看到AR⊥AK為了得出CD∥AB，故利用菱形的性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直，作點(diǎn)D.

解法4作一個(gè)角等于已知角得到點(diǎn)D

如圖5，同解法1得到點(diǎn)B和點(diǎn)C，在點(diǎn)C處利用“作一個(gè)角等于已知角”得到∠DCE=∠ABC，直線CD與AR的交點(diǎn)即為點(diǎn)D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD//AB想到了平行線的性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行，作同位角相等得到答案.

解法5作一個(gè)角等于已知角得到點(diǎn)D

如圖6，同解法1得到點(diǎn)B和點(diǎn)C，在點(diǎn)C處再用“作一個(gè)角等于已知角”，作出∠BCE=∠ABC或∠DCB=∠CBK，直線CD與AR的交點(diǎn)即為點(diǎn)D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD∥AB想到了平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，作內(nèi)錯(cuò)角相等得到答案.

解法6作線段垂直平分線，作一個(gè)角等于已知角得到點(diǎn)D

如圖7，同解法1得到點(diǎn)B和點(diǎn)C，“作線段AB 的垂直平分線”，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，得到AE=BE，用“作一個(gè)角等于已知角”，過(guò)點(diǎn)E作∠AED=∠ABC，得到△AED≌△EBC，ED∥BC，利用全等的對(duì)應(yīng)邊相等，得到ED=BC，故四邊形EBCD是平行四邊形，CD∥AB.

分析看到60°想到等邊三角形，為得到CD∥AB故作出平行四邊形，由平行四邊形的對(duì)邊平行，得到答案.使用了3種基本作圖得到答案.

解法7作線段垂直平分線，作一條線段等于已知線段得到點(diǎn)D

如圖8，同解法1得到點(diǎn)B和點(diǎn)C，再作線段AB 的垂直平分線得到點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ED=BC，作點(diǎn)D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD//AB，利用AR⊥AK想到作矩形，利用矩形的對(duì)邊平行.

解法8作線段垂直平分線，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線得到點(diǎn)C

如圖9，同解法1得到點(diǎn)B，作線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ED=AB，得到△AED為含30°的直角三角形，作點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AR的垂線交線段AB的垂直平分線于點(diǎn)C.

分析看到60°，AR⊥AK想到含30°的直角三角形，為了得到CD∥AB，作CD⊥AR.使用了3種基本作圖得到答案.

解法9作線段垂直平分線，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線得到點(diǎn)C

如圖10，同解法8得到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AR的垂線，再過(guò)點(diǎn)D作DC=AE，得到點(diǎn)C.

分析看到60°，AR⊥AK想到含30°的直角三角形，為了得到CD∥AB，作CD⊥AR，利用DC=AE得到點(diǎn)C.

解法10作線段垂直平分線得到點(diǎn)D

如圖11，同解法1得到點(diǎn)B和點(diǎn)C，作線段AC 的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，再以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑畫(huà)弧，交AR于點(diǎn)D，作點(diǎn)D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD∥AB，看到AR⊥AK想到去得到∠ADC=90°，利用直徑所對(duì)的圓角為90°，得到答案.

上述10種解法，大多采用1種多次使用或2種或3種基本的尺規(guī)作圖組合完成，依據(jù)幾何性質(zhì)，找到相應(yīng)的基本作圖，產(chǎn)生出不同的解法.

2 對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)意義再理解

2.1 在尺規(guī)作圖教學(xué)中，可以利用一題多解與多解歸一方式培養(yǎng)核心素養(yǎng)

本題內(nèi)涵豐富，解法多樣，多種解法都能回歸到最基本的尺規(guī)作圖，教學(xué)中對(duì)每一種解題方法給出邏輯思考，讓學(xué)生在歷練基本作圖的基礎(chǔ)上，知法明理，結(jié)合直覺(jué)思維與邏輯推理，在動(dòng)腦、動(dòng)手的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，形成良好的直覺(jué)思維和幾何直觀等核心素養(yǎng).

2.2 在尺規(guī)作圖教學(xué)中，可以利用逆向思維方式培養(yǎng)探究意識(shí)

尺規(guī)作圖不僅是一種操作，更是對(duì)數(shù)學(xué)思維和探究的一種過(guò)程，一種溯源過(guò)程.教師在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生先自行獨(dú)立思考，嘗試各種解法，洞察學(xué)情，以學(xué)定教.

2.3 在尺規(guī)作圖教學(xué)中，可以利用經(jīng)典著作與故事滲透中國(guó)傳統(tǒng)文化的教育

尺規(guī)作圖是數(shù)學(xué)文化長(zhǎng)廊中的不可多得的耀眼明珠，廣大數(shù)學(xué)愛(ài)好者圍繞著它，產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用經(jīng)典著作與故事，可以更好地傳播數(shù)學(xué)文化，在操作與求證過(guò)程中，能深刻體會(huì)到尺規(guī)作圖彰顯了數(shù)學(xué)獨(dú)特的文化魅力.

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[責(zé)任編輯：李璟]