圓錐的內(nèi)切球問題教學(xué)案例分析

楊鐳

摘 要：文章以2020年全國3卷理科第15題為母題，開展“一題一課 多解變式”的教學(xué)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，探究圓錐的內(nèi)切球問題的多種解法，挖掘數(shù)學(xué)思想；結(jié)合一題多變，引導(dǎo)學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)知識體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；一題一課；立體幾何；解題教學(xué)

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）知識要點(diǎn)

與球有關(guān)的問題主要考查兩個方面：一是幾何體的外接球問題；二是幾何體的內(nèi)切球問題。本節(jié)課主要研究幾何體的內(nèi)切球問題，解決以圓錐為背景的內(nèi)切球問題，體會立體幾何問題與平面幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、解析幾何等知識的聯(lián)系；在變式和解題過程中，體會轉(zhuǎn)化思想和方程思想。

（二）學(xué)習(xí)背景

1．教材分析

本節(jié)課選自人教A版（2019年版）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊[1]第八章第8.3.2節(jié)《圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積》。幾何體的內(nèi)切球問題綜合性較強(qiáng)，靈活多變，能很好地考查學(xué)生對幾何體的內(nèi)切球問題的本質(zhì)及相關(guān)知識的熟練掌握程度，以及計(jì)算的靈活運(yùn)用能力。

2．學(xué)情分析

本節(jié)課是在學(xué)生剛學(xué)完《球的表面積與體積》之后，進(jìn)一步深入探究與幾何體的內(nèi)切球有關(guān)的問題。學(xué)生雖已初步掌握球的表面積與體積公式，但僅僅停留在公式的運(yùn)用階段，對于在復(fù)雜情境中求解幾何體的內(nèi)切球半徑，還沒有形成相關(guān)的知識體系，遇到稍復(fù)雜的、不熟悉的問題，仍找不到突破口。

（三）學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．核心素養(yǎng)目標(biāo)

（1）通過親身經(jīng)歷用多種解法求圓錐的內(nèi)切球問題的探究，體會等體積法的普適性以及平面幾何相關(guān)知識的靈活應(yīng)用，促進(jìn)直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升[2]。

（2）通過對母題進(jìn)行變式的探究，體會方程思想和轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)邏輯推理核心素養(yǎng)的提升。

2．關(guān)鍵能力目標(biāo)

（1）通過對求圓錐的內(nèi)切球半徑的各種解法的分析、評價(jià)，認(rèn)識數(shù)學(xué)方法的特殊性與一般性。

（2）能通過“改變條件”“去掉條件”等操作對一道題進(jìn)行變式，并通過變式練習(xí)認(rèn)識各種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)特點(diǎn)。

（3）能從自身已有知識儲備出發(fā)，從不同角度分析題干條件，選擇合適的方法解決問題。

（四）設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課采用“一題一課多解變式”的教學(xué)模式實(shí)施以下教學(xué)環(huán)節(jié)[3]：母題呈現(xiàn)→知識回顧→一題多解→一題多變→一題多思。

母題呈現(xiàn)：本節(jié)課以2020年全國3卷理科第15題為母題引入，并把它作為本節(jié)課的重點(diǎn)研究課題，引導(dǎo)學(xué)生積極探索用多種方法解決母題，總結(jié)求圓錐的內(nèi)切球半徑的方法，并對比分析每一種方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍。

知識回顧：引出課題后，引導(dǎo)學(xué)生回顧母題所涉及的知識點(diǎn)，并以思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行歸納，豐富和完善自身的知識體系。

一題多解：師生一同研讀母題，分析解題思路，引導(dǎo)學(xué)生從多角度進(jìn)行分析，嘗試多種解題方法。本環(huán)節(jié)以學(xué)生為主體，由學(xué)生完成，教師補(bǔ)充并與學(xué)生共同總結(jié)各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

一題多變：從母題出發(fā)，由淺入深地開展變式，可以適當(dāng)放開，讓學(xué)生自主開展變式，并把變式作為練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師點(diǎn)評。

一題多思：總結(jié)本節(jié)課的知識點(diǎn)、題型及思想方法，以及引導(dǎo)學(xué)生分享本節(jié)課的收獲與感悟。

二、教學(xué)過程

（一）母題呈現(xiàn)

已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為? ? ? ? ? 。

設(shè)計(jì)思路：這道題來源于2020年全國3卷理科第15題（文科第16題），本題以圓錐及其內(nèi)切球?yàn)檩d體，考查圓錐的性質(zhì)及其內(nèi)切球、軸截面、球的體積公式，屬于探索創(chuàng)新情境，在課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容要求是“知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題”，學(xué)業(yè)要求是“掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單的實(shí)際問題”。

教學(xué)環(huán)節(jié)：先給學(xué)生兩分鐘的時(shí)間研讀該題，在波利亞解題思想的指導(dǎo)下，獨(dú)立分析該題的已知條件和所求的未知量，并挖掘該試題涉及的知識點(diǎn)，學(xué)生研讀后分享自己的分析結(jié)果。

（二）知識回顧

教學(xué)環(huán)節(jié)：讓學(xué)生回顧本題所涉及的知識點(diǎn)（本題涉及圓錐的性質(zhì)及其內(nèi)切球、軸截面和球的體積公式），并以思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行總結(jié)，教師補(bǔ)充并強(qiáng)調(diào)該注意的地方。

（三）一題多解

教學(xué)環(huán)節(jié)：學(xué)生再研讀母題，分析解題思路，引導(dǎo)學(xué)生從多角度分析，用自己的方法解決。然后小組討論，小組派代表到黑板上展示解法，教師視情況補(bǔ)充解法。

問題1：你以前遇到過類似的問題嗎？以前是怎么解決的？

生：遇到過求三棱錐的內(nèi)切球半徑問題，我的做法是先畫出一個圖，分析圖形。這道題雖然沒有提到“內(nèi)切球”一詞，但是可以判斷出圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積應(yīng)該是圓錐的內(nèi)切球的體積。以往遇到內(nèi)切球的問題可以采用等體積法解決。

解法一：等體積法

思路分析：利用等體積法“圓錐的體積等于圓錐的表面積與圓錐內(nèi)切球半徑乘積的三分之一”[4]，構(gòu)造方程求解。

歸納總結(jié)：有內(nèi)切球的幾何體可以用等體積法構(gòu)造方程解決，本質(zhì)是方程思想，也體現(xiàn)了整體與部分的轉(zhuǎn)化思想。

問題2：在掌握了等體積法的基礎(chǔ)上，采用類比的手法，我們還能想到使用什么方法解決該問題？

生：我想到了等面積法?？梢宰龀鰣A錐的軸截面，將問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形中內(nèi)切圓的半徑問題。

解法二：等面積法

思路分析：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，利用三角形面積相等，從整體與部分兩個角度表示面積，構(gòu)造方程求解。

歸納總結(jié)：首先從整體的角度直接求出圓錐的軸截面面積，再從分割的角度用內(nèi)切圓半徑表示圓錐的軸截面面積，然后利用面積相等構(gòu)造方程，從而解出內(nèi)切圓半徑，其本質(zhì)是方程思想，也體現(xiàn)了整體與部分的轉(zhuǎn)化思想。

問題3：從宏觀角度來看，等面積法體現(xiàn)了整體思想，如果從微觀角度來看，我們還能以哪些方面作為突破口求三角形內(nèi)切圓的半徑？

生：可以利用圓錐的軸截面中，三角形內(nèi)切圓所蘊(yùn)含的垂直關(guān)系，由勾股定理建立等量關(guān)系，解出內(nèi)切圓的半徑。

解法三：方程法

思路分析：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，利用勾股定理，尋找邊的關(guān)系，構(gòu)造方程求解。

歸納總結(jié)：利用平面幾何關(guān)系，找到三角形中“邊”的關(guān)系，最后利用勾股定理構(gòu)造方程，從而解出內(nèi)切圓半徑，本質(zhì)思想是方程思想。

問題4：利用三角形中“邊”的關(guān)系，借助勾股定理構(gòu)造等量關(guān)系，從微觀角度體現(xiàn)了方程思想。除了利用初中所學(xué)的“勾股定理”獲得“邊”的等量關(guān)系，還能從什么角度獲得“邊”的等量關(guān)系？

生：相似三角形中對應(yīng)邊成比例。

解法四：相似法

思路分析：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，利用相似三角形，尋找邊的關(guān)系，構(gòu)造方程求解。

歸納總結(jié)：利用平面幾何關(guān)系，從相似三角形中得到對應(yīng)邊的關(guān)系，從而求出內(nèi)切圓半徑，本質(zhì)是方程思想。

問題5：解法3和解法4都是初中所學(xué)知識，能否從高中的解三角形角度思考求解呢？

生：跟相似三角形的解題原理類似，可以利用同角的正弦相等，在兩個直角三角形中利用不同的邊去表示同一個角的正弦值。

解法五：三角函數(shù)法

思路分析：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，利用同角三角函數(shù)，得出內(nèi)切圓半徑與圓錐高度的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解。

歸納總結(jié)：利用三角函數(shù)關(guān)系，得到內(nèi)切圓半徑與圓錐高的數(shù)量關(guān)系，從而求出內(nèi)切圓半徑，本質(zhì)是函數(shù)與方程思想。

問題6：從三角形“邊”的角度出發(fā)，利用三角函數(shù)知識可以得到內(nèi)切圓半徑與圓錐高度的數(shù)量關(guān)系，如果從三角形“角”的角度出發(fā)，能否建立相關(guān)等式呢？

生：三角形的內(nèi)切圓圓心是角平分線的交點(diǎn)，因此角度有倍數(shù)關(guān)系，可以結(jié)合二倍角公式解決。

解法六：三角變換法

思路分析：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，從等腰三角形特征與內(nèi)切圓的特征中發(fā)現(xiàn)二倍角關(guān)系，利用三角恒等變換求解。

歸納總結(jié)：將內(nèi)切圓與角平分線聯(lián)系起來，將相切和直角聯(lián)系起來，得到二倍角的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成三角變換的求值問題，其本質(zhì)是函數(shù)思想。

問題7：對比以上幾種解法，你認(rèn)為哪種解法最簡便？

生：等體積法和等面積法。思路明確，計(jì)算簡單。

問題8：通過以上探究，我們能否總結(jié)出求圓錐的內(nèi)切球半徑的幾種方法？各自有什么適用范圍？

生：等體積法。只要有內(nèi)切球的幾何體都可以利用等體積法求解內(nèi)切球半徑，這是通解，適用范圍廣。

生：等面積法。先將立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，再結(jié)合平面幾何知識建立面積的等式求解。這種方法要求我們必須熟練掌握將空間問題轉(zhuǎn)為平面化的思維。

生：方程法和相似法。利用平面幾何知識，從“邊”或“角”的角度建立等量關(guān)系，構(gòu)造方程求解。這兩種方法是使用頻率較高的方法，體現(xiàn)了方程思想，適用范圍廣。

生：三角函數(shù)法與三角變換法。在三角形背景下探索邊角關(guān)系，利用三角函數(shù)與三角恒等變換等知識解決。這兩種方法僅適用于截面圖形有三角形的問題，且對三角函數(shù)知識的掌握要求較高，有時(shí)計(jì)算量稍顯復(fù)雜。

（四）一題多變

變式角度一：改變題目載體

變式1.已知正三棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為3，求該正三棱錐內(nèi)半徑最大的球的體積。

變式角度二：改變題目問題

變式2.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，求該圓錐的外接球的體積和表面積。

變式3.已知三棱錐的一條棱長為3，其余各棱長均為2，求該三棱錐的外接球的體積和表面積。

變式角度三：變?yōu)閺?fù)雜情境

變式4.已知某圓錐的內(nèi)切球的半徑為2，求該圓錐的表面積的最小值。

（五）一題多思

設(shè)計(jì)思路：在課堂尾聲，教師總結(jié)本節(jié)課所涉及的知識點(diǎn)以及思想方法，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主變式，并在課后探究解題思路。

活動環(huán)節(jié)：總結(jié)本節(jié)課你所學(xué)到的知識、方法或數(shù)學(xué)思想。結(jié)合母題及以上變式方法，你還能提出什么變式問題？

三、教學(xué)反思

（一）一題多解建體系

此題為2020年全國3卷理科第15題，在新高考改革的背景下，此題雖難度不大，但仍對高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考具有很大的參考價(jià)值。此題思路頗多，解決的方法涉及立體幾何、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的知識板塊探索此題解法，鼓勵不同層次的學(xué)生不要輕易放棄，學(xué)會靈活運(yùn)用自身所學(xué)知識解決問題，讓其意識到數(shù)學(xué)知識從來都不是獨(dú)立存在的，其中都有很多內(nèi)在聯(lián)系，在今后遇到陌生問題時(shí)能多思考幾個方法，對比各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍，綜合分析得出最優(yōu)解決方案。

此題考查范圍較廣，涉及的數(shù)學(xué)思想方法有轉(zhuǎn)化與劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，教師在教學(xué)中應(yīng)有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，這些思維有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。

（二）一題多變悟通法

此題僅以圓錐為背景，在立體幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生還會遇到以棱錐、圓柱、棱柱、圓臺、棱臺等更具一般性的幾何體為背景的問題。數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個?！痹诮忸}教學(xué)活動過程中，要學(xué)會采“蘑菇”，善于引導(dǎo)學(xué)生對一個好問題進(jìn)行變式改造，如改變題目的條件、結(jié)論、圖形、敘述方式等，進(jìn)而對問題進(jìn)行更深層次的探索。因此，在教學(xué)中可以設(shè)置一些變式問題，啟發(fā)學(xué)生思考解決圓錐內(nèi)切球問題的方法是否具有一般性，能否用解決圓錐問題的方法去解決其他問題，若教師提出這兩個問題，學(xué)生一定會提起興趣，并陷入深思，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生會進(jìn)一步思考每一種解法的可行性與實(shí)用性，這將對其思維發(fā)展起到積極影響。

（三）一題多思成習(xí)慣

筆者接觸過很多數(shù)學(xué)學(xué)困生，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，他們最大的困惑是“明明自己做了很多題，數(shù)學(xué)成績卻依舊沒有提升或提升效果不明顯，這是為什么？”每當(dāng)學(xué)生提出這樣的疑問，我都會回答：“是十分鐘做完十道題有意義，還是十分鐘做好一道題并反思總結(jié)更有意義？”很多學(xué)困生并不是比別人笨，而是用錯了學(xué)習(xí)方法。筆者認(rèn)為，學(xué)生數(shù)學(xué)的進(jìn)步等于練習(xí)加反思，倘若一味采取“題海戰(zhàn)術(shù)”，缺少對問題的反思和總結(jié)，這樣的學(xué)習(xí)方法只會事倍功半，并且大大打擊學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。因此在解決一道問題之后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆此己涂偨Y(jié)，當(dāng)教師將一題多解和一題多變的思考方式印刻在學(xué)生腦海中時(shí)，這將會讓學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)地分析問題、解決問題、反思問題的好習(xí)慣，學(xué)生的思維將不再受限，或許在未來的某一天，教師也能收到學(xué)生帶來的意想不到的思維火花。

結(jié)束語

本文以“一題一課多解變式”教學(xué)模式為理論基礎(chǔ)，以一道高考圓錐的內(nèi)切球問題的求解為母題開展“一題一課多解變式”的教學(xué)實(shí)踐。教學(xué)中，筆者從一道簡單題入手，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度開展多種解法探究，再從母題出發(fā)進(jìn)行不同方式、不同難度的變式，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從會解一道題到會解一類題。但由于筆者自身能力有限，在實(shí)際教學(xué)中仍存在些許問題，這些都有待進(jìn)一步研究。

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