初中數(shù)學(xué)解題中相似三角形的巧妙運(yùn)用

劉賢華

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中平面幾何是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn).學(xué)生們經(jīng)常需要解決一些計(jì)算線段長(zhǎng)度、角度、比例以及角相等、邊相等或成比例的問(wèn)題.這些問(wèn)題的求解過(guò)程中，學(xué)生可以使用多種多樣的解題方法，其中借助相似三角形的方法能夠幫助學(xué)生快速解題.因此，本文從“求解線段長(zhǎng)度問(wèn)題”、“求解角的度數(shù)問(wèn)題”、“求解線段比例問(wèn)題”、“證明線段相等問(wèn)題”四個(gè)方面談一談如何利用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】相似三角形;初中數(shù)學(xué);解題思路

1 求解線段長(zhǎng)度問(wèn)題中利用相似三角形

在有關(guān)求解線段長(zhǎng)度的問(wèn)題中，學(xué)生們經(jīng)常會(huì)使用代數(shù)的方法對(duì)線段的長(zhǎng)度進(jìn)行求解.在這個(gè)過(guò)程中，不僅需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，還要求學(xué)生們能夠運(yùn)用對(duì)應(yīng)的定理，這對(duì)學(xué)生具有很大的挑戰(zhàn).因此，為了能夠讓學(xué)生在面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，能夠快速具有解題思路，且準(zhǔn)確運(yùn)用特定的解題方法，教師們就需要引導(dǎo)學(xué)生掌握相似三角形的特性，促使學(xué)生們能夠在解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)能夠借助相似三角形進(jìn)行快速解題.

例1 如圖1所示，將三角形ABC紙片進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)B落在AC上為點(diǎn)D，其折痕為EF.已知△ABC中AB=AC=3，且BC=4.假如以點(diǎn)D、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求解線段BF的長(zhǎng)度.

解析 在該例題中，已經(jīng)給出了以點(diǎn)D、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，但是題中并沒(méi)有說(shuō)明頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，不能簡(jiǎn)單認(rèn)為△DFC∽△ABC.在這一問(wèn)題中，教師們需要引導(dǎo)學(xué)生全面思考這兩個(gè)三角形之間所有相似的情況.已知，該圖形通過(guò)折疊可以得到BF=DF，因此，假如△DFC∽△ABC，那么可以得到DFAB=CFBC，進(jìn)而得到BF3=4-BF4，即BF=127;假如△FDC∽△ABC，那么就可以得到DFAB=FCAC，從而得到BF3=4-BF3，即BF=2.因此，可以說(shuō)例1的答案為BF的長(zhǎng)度是2或127.

2 求解角的度數(shù)問(wèn)題中利用相似三角形

除去求解線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，平面幾何的內(nèi)容中讓學(xué)生經(jīng)常求解的內(nèi)容包括角的度數(shù)等問(wèn)題.對(duì)于一些簡(jiǎn)單的角的度數(shù)求解問(wèn)題中，學(xué)生們可以通過(guò)代數(shù)的方法進(jìn)行求解.但是對(duì)于一些復(fù)雜的求解問(wèn)題，教師們就可以引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的特性對(duì)角的度數(shù)進(jìn)行求解.在例2這一經(jīng)典例題的求解中就很好地運(yùn)用了相似三角形的特性.

例2 如圖2所示，是三個(gè)并列的且邊長(zhǎng)相等的正方形，請(qǐng)?jiān)囍f(shuō)明圖形中∠1+∠2+∠3=90°.

解析 已知圖2中是三個(gè)相等的正方形并列而成的長(zhǎng)方形，通過(guò)正方形的性質(zhì)可以知道∠1=45°，因此，在這個(gè)問(wèn)題中需要學(xué)生們對(duì)∠2+∠3這兒的角度進(jìn)行求解.只要能夠證明∠2+∠3=45°，那么∠1+∠2+∠3=90°就成立.因?yàn)椤?為EBC的外角，所以可以得到∠2+∠4=45°，因此需要證明∠3=∠4就可以將問(wèn)題求證.要想證明∠3=∠4就需要證明△BCE∽△BED.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生們可以借助代數(shù)的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.

假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，那么就可以得到BC=1，BD=2，

根據(jù)勾股定理可以得到EB= 2.

因?yàn)锽EBC= 21= 2，BDBE=2 2= 2，因此可以得到BEBC=BDBE.

又因?yàn)椤螮BC=∠DBE，所以可以證明△BED∽△BCE，從而得到∠3=∠4.

因此，由于四邊形ABFE為正方形，

所以可以得到∠2+∠3=∠2+∠4=45°=∠1=45°，

即∠1+∠2+∠3=90°得證.

3 求解線段比例問(wèn)題中利用相似三角形

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師們需要重視學(xué)生解題思路的培養(yǎng).相似三角形的特性在平面幾何的問(wèn)題中有著較高的應(yīng)用效率，對(duì)于求解線段比例的問(wèn)題也同樣可以利用相似三角形的特性對(duì)其進(jìn)行求解.在例3這一例題中就很巧妙地利用相似三角形對(duì)線段成比例的問(wèn)題進(jìn)行了解答.

例3 如圖3所示，在△ABC中AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且DF⊥AC于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)囍f(shuō)明AE·AB=AF·AC.

解析 圖形中符合直角三角形斜邊上的高的基本圖形有兩個(gè)，因此，教師們需要引導(dǎo)學(xué)生們能夠聯(lián)想到利用直角三角形的相似判定對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答.

從題目已知AD⊥BC，因此可以直接得到∠ADB=90°，

又因?yàn)镈E⊥AB，所以可以得到△ADE∽△ABD，

進(jìn)一步得到AEAD=ADAB，即AE·AB=AD2.

同理，通過(guò)證明可以得到AFAD=ADAC，即AF·AC=AD2.

因此，可以得到AF·AC=AD2=AE·AB，

使得AE·AB=AF·AC得證.

4 證明線段相等問(wèn)題中利用相似三角形

線段長(zhǎng)度問(wèn)題可以借助相似三角形的方法進(jìn)行求解，那么同樣的對(duì)線段相等的證明題中，也可以利用相似三角形進(jìn)行求證.相似三角形的特性對(duì)于線段長(zhǎng)度、比例、相等的求解具有重要作用.

例4 如圖4所示，點(diǎn)F為菱形ABCD的邊AB延長(zhǎng)的一點(diǎn)，連接CF、DF，已知E為DF與BC的交點(diǎn)，且EG∥CD交CF于點(diǎn)G.試證明EG與EB相等.

解析 在這一例題的求解過(guò)程中，教師們首先需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目中所給出的已知條件進(jìn)行分析，從而根據(jù)題目中給出的線段平行關(guān)系進(jìn)行分析，從而找出圖中存在的相似三角形.在這一問(wèn)題中，如果直接尋找全等三角形的方式是無(wú)法將題目進(jìn)行求證的.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是一個(gè)菱形，所以可以得到EB∥AD，

所以可以得到△FBE∽△FAD，

因此通過(guò)相似三角形可以得到EBAD=FEFD.

由題意已知EG∥CD交CF于點(diǎn)G，

所以可以得到△FGE∽△FCD，

所以EGCD=FEFD，EBAD=EGCD.

又因?yàn)锳D=CD，

所以EB=EG.

總而言之，在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，教師們需要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生解題思路的培養(yǎng).學(xué)生解題思路的培養(yǎng)對(duì)其解題能力的提高具有重要作用.因此，在初中數(shù)學(xué)平面幾何的解題過(guò)程中，教師們可以讓學(xué)生養(yǎng)成借助相似三角形特性思路，對(duì)題目進(jìn)行解答.