初中幾何題中面積法的巧妙運(yùn)用

袁會(huì)娟

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何問題是學(xué)生需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容.面積法是解決一些幾何問題的解題方法，對(duì)提高學(xué)生解題速度與準(zhǔn)確率具有重要作用.因此，本文將以幾何問題為例，從“利用面積的唯一性”、“利用面積的可加性”、“利用面積的可比性”三個(gè)方面講述面積法的巧妙運(yùn)用，期望能夠幫助學(xué)生提高自身的解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中幾何;面積法;解題能力

1 利用面積的唯一性解題

對(duì)于面積大家并不陌生.幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們對(duì)土地面積測(cè)量的需要.幾何學(xué)從一開始便與面積結(jié)下不解之緣.而且面積很早就成為人們認(rèn)識(shí)幾何圖形性質(zhì)和證明幾何定理的工具.因此，在遇到與幾何相關(guān)的問題中，教師們可以引導(dǎo)學(xué)生利用面積的唯一性進(jìn)行解題.

例1 如圖1所示，已知在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，求證CD=BE.

解析 在該例題中，教師們需要引導(dǎo)學(xué)生通過證明三角形全等的方式證明CD=BE.為了使得證明過程更加簡潔，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助面積法進(jìn)行解題.

證明 因?yàn)镾△ABC=12AB·CD，

S△ABC=12AC·BE，

所以AB·CD=AC·BE，

又因?yàn)锳B=AC，

所以CD=BE.

例2 如圖2所示，在Rt△ABC中，AD是BC上的高，AB=5，AC=12，求AD.

解析 例2與例1相似，如果借助三角形相似進(jìn)行解題就會(huì)使得整個(gè)解題過程較為復(fù)雜，如果使用面積法進(jìn)行解題就會(huì)使得過程變得很簡單.

解 在△ABC中，BC= AB2+AC2=13，

因?yàn)镾△ABC=12AB·AC=12BC·AD，

所以5×12=13×AD，

所以AD=6013.

在例1與例2的兩個(gè)幾何問題中，利用同一個(gè)圖形“面積的唯一性”解題，簡單、便捷，所以，數(shù)學(xué)教師可以在講解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)就向?qū)W生滲透面積法，促使學(xué)生在解題時(shí)應(yīng)用面積法進(jìn)行解題.

2 利用面積的可加性解題

平面幾何證明題的最大難處是輔助線的添加，而面積法的特點(diǎn)是把已知和未知量用面積公式及有關(guān)的性質(zhì)定理聯(lián)系起來，從而把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量關(guān)系，通過數(shù)量運(yùn)算來得到求證結(jié)果.

例3 如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，垂足分別為E、F、G，求證DE+DF=CG.

解析 在本例題中假如使用三角形全等進(jìn)行證明就會(huì)影響學(xué)生答題的效率.但是從面積方面進(jìn)行考慮，只要將AD進(jìn)行連接，使得△ABC分為兩個(gè)三角形△ABD和△ACD，這兩個(gè)三角形的面積表達(dá)式都容易求得.

證明 因?yàn)镾△ABC= S△ABD+ S△ACD，DE⊥ AB，DF⊥AC，CG⊥ AB.

所以12AB·CG=12AB·DE+12AC·DE，

因?yàn)锳B=AC，

所以CG=DE+DF.

例4 如圖4所示，在△ABC中，AB=AC=BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，求證DE+DF+DH為定值.

解析 本題若先探求定值，將點(diǎn)D取在A處，可以知道D到△ABC三邊的距離之和為AG，然后再證明DE+DF+DH=AG.如果用其他方法，很繁雜，若用面積法證明，則很簡單.

證明 作AG垂直BC于G，連接AD、BD、CD，

因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD，

DE⊥ AB，DF⊥AC，DH⊥BC，

所以12AB·DE+12AC·DF+12BC·DH=12BC·AG，

因?yàn)锳B=AC=BC，

所以DE+DF+DH=AG.

3 利用面積的可比性解題

我們都知道在有關(guān)三角形的幾何問題中等底等高的三角形面積相等，因此就會(huì)有三角形面積相等，等底必等高，等高必等底.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助面積的可比性進(jìn)行解題.

例5 如圖5所示，在平行四邊形ABCD中，AE和CF相交于G，且AE=CF，求證∠AGB=∠CGB.

解析 同樣的在該例題中，面積法可以實(shí)現(xiàn)高效解題的目的.

證明 連接BF、BE，過點(diǎn)B作BH⊥AE于H，BI⊥CF于I.

因?yàn)?2SABCD=S△AEB=S△BFC，

所以12AE·BH=12CF·BI，

因?yàn)锳E=CF，

所以BH=BI，

即點(diǎn)B在∠AGC的角平分線上，

所以∠AGB=∠CGB.

4 結(jié)語

綜上所述，面積法在幾何證明題中的應(yīng)用較為廣泛，教師們可以引導(dǎo)學(xué)生借助面積的唯一性、可加性和可比性進(jìn)行解題.這樣不僅能夠有效提高學(xué)生解題的效率，還能夠提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確率.