高考中曲線切線問題的解法探究

徐詩佳

引例.（2022年新高考全國(guó)1卷第15題）

若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是_________.

解析：∵ y=（x+a）ex，∴ y′=（x+1+a）ex，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線的切線問題其實(shí)質(zhì)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其常規(guī)思路為：先設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于x0的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根（此處可作兩條切線等價(jià)轉(zhuǎn)化方程有兩解），求得a的取值范圍.

針對(duì)此題我們來進(jìn)一步探究求曲線y=f（x）的切線方程的類型及方法：

1. 求切線方程的方法：一點(diǎn)一方向可確定一條直線，在求切線時(shí)可考慮先求出切線的斜率（切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）與切點(diǎn)，在利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.

2. 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x0，因?yàn)閤0可“一點(diǎn)兩代”，代入到原函數(shù)，即可得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)f（x0），代入到導(dǎo)函數(shù)中可得到切線的斜率f′（x0）=k，從而一點(diǎn)一斜率，切線即可求. 所以在解切線問題時(shí)一定要盯住切點(diǎn)橫坐標(biāo)，千方百計(jì)地把它求解出來.

3. 求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)與斜率即可;另一類是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0），再考慮利用條件解出核心要素x0，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成第一類問題.

4. 在解析幾何中也學(xué)習(xí)了求切線的方法，即先設(shè)出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用？駐=0求出參數(shù)值進(jìn)而解出切線方程. 解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標(biāo)系下，所以兩個(gè)方法可以互通. 若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時(shí)可用解析的方法求解.

5. 在處理切線問題時(shí)要注意審清所給已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).“在某點(diǎn)處的切線”意味著該點(diǎn)即為切點(diǎn)，而“過某點(diǎn)的切線”則意味著該點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，有可能不是切點(diǎn). 如果該點(diǎn)恰好在曲線上那就需要進(jìn)行分類討論了.

下面我們通過幾道例題，從命題的多維度，多層次，多方法進(jìn)行分析與求解.

例1. 函數(shù)f（x）=ex（3x-2）在x=1處的切線方程為_________.

解析：∵ f（1）=e，∴ 切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e）.

f′（x）=3ex+（3x-2）ex=（3x+1）ex .

∴ f′（1）=4e，∴ 切線方程為：y-e=4e（x-1）？圯y=4ex-3e.

點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)已知時(shí)求切線方程是切線問題中較簡(jiǎn)單的一類問題，體會(huì)切點(diǎn)分別代入到函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中所起到的作用，體會(huì)切點(diǎn)橫坐標(biāo)在切線問題中的關(guān)鍵作用.

例2. 已知函數(shù)f（x）=lnx+2x，則：

（1）在曲線f（x）上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線4x-y-2=0平行？

（2）在曲線f（x）上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線x-y-3=0垂直？

不存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線與直線x-y-3=0垂直.

點(diǎn)評(píng)：（1）求切線的關(guān)鍵要素為切點(diǎn)，進(jìn)而若切點(diǎn)已知便直接使用，切線未知?jiǎng)t需先設(shè)再求. 兩直線平行，垂直關(guān)系與直線的斜率密切相關(guān)，進(jìn)而成為解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)鍵條件.

（2）在考慮函數(shù)問題時(shí)首先要找到函數(shù)的定義域.在解出自變量的值或范圍時(shí)也要驗(yàn)證其是否在定義域內(nèi).

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)