“數(shù)學思考”的教學：教什么、怎么教

摘? 要：數(shù)學教學中“教思考”是培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑，是實現(xiàn)課程育人目標的重要載體和落腳點. 數(shù)學課堂教學中必須教學生“數(shù)學思考”，即要將數(shù)學思考置于課的高度加以實施. 通過“平面向量的概念”的課例分析，提出“數(shù)學思考”的教學應該教章節(jié)體系建構的整體脈絡、教概念定理生成的來龍去脈、教數(shù)學思想方法的遷移應用. 為了更有效地開展“數(shù)學思考”的教學，教師還需要在以下三個方面做出努力：以教材研究豐富思考素材；以教師示范引領學生思考方向；以民主師生關系營造思考環(huán)境.

關鍵詞：數(shù)學思考；核心素養(yǎng)；大觀念；數(shù)學思想方法

一、引言

在我國全面深化課程改革的今天，學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展是亟待開展的重要議題. 數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學學科育人價值的集中體現(xiàn)，是學生通過數(shù)學學習逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，高中數(shù)學教學以發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì). 可見，數(shù)學教學的起點是有效的問題情境，目標則是把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)和內(nèi)涵，而數(shù)學思考在其中起著媒介的作用.《標準》進一步指出，數(shù)學教育的目標是培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界（以下統(tǒng)稱“三會”）.“三會”目標中的數(shù)學眼光、數(shù)學思維、數(shù)學語言與數(shù)學思考都有著緊密的聯(lián)系. 可以說，數(shù)學思考是落實數(shù)學核心素養(yǎng)培育、實現(xiàn)課程育人目標的重要載體和落腳點. 文獻［2］提出了在數(shù)學教學中教思考、教體驗、教表達（以下統(tǒng)稱“三教”）的教育理念. 其中，“教思考”放在“三教”的首位，足以看出它的價值與地位. 基于以上認識，為了充分發(fā)揮數(shù)學思考的教學與育人價值和功能，必須將數(shù)學思考置于課的高度加以實施，即在數(shù)學課堂教學中應該教學生“數(shù)學思考”. 近年來，筆者通過自身的教育教學，對“數(shù)學思考”的教學進行了不斷實踐. 現(xiàn)結合筆者開設的“平面向量的概念”一課來展示長期以來的實踐與思考.

二、教學課例

“平面向量的概念”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第二冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第六章的章節(jié)起始課. 向量理論具有深刻的數(shù)學內(nèi)涵和豐富的物理背景. 向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁. 平面向量是進一步學習和研究其他數(shù)學分支問題的基礎，在解決實際問題中發(fā)揮著重要的作用. 因此，本章的學習不僅可以幫助學生理解平面向量的概念、運算體系和結構，還可以引導學生利用平面向量的知識解決現(xiàn)實生活、數(shù)學和物理中的相關問題，進一步發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，促進學生“數(shù)學思考”能力的提升. 限于篇幅，以下課堂實錄舍去了例題分析部分.

師：看到“平面向量及其應用”這個新課題，你想提出哪些問題？

生1：什么是向量？

生2：為什么要學習向量？

生3：研究向量主要研究哪些基本內(nèi)容？

師：很好！同學們要養(yǎng)成一個好習慣，對于一個新的章節(jié)標題，學會提出一些問題. 剛才幾名同學說得非常好！我再補充兩點：但凡研究一個新的學科分支，我們還應該思考其與我們先前學過的內(nèi)容是否有關聯(lián)；科學研究都講究方法，我們還應該考慮可以利用哪些方法進行研究. 這樣就構成了五個基本問題.

師：在學習新課之前，大家是否關注過每冊教材中都設有“本冊導引”欄目，每一章前面都有一段話？我們不妨先來看看這兩部分內(nèi)容，能否從中獲得啟發(fā).

【設計意圖】平面向量有著極其豐富的實際背景，是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一，它是溝通幾何與代數(shù)的橋梁. 在“平面向量及其應用”中，學生將在了解向量實際背景的基礎上學習關于平面向量及其運算的一些基礎知識，用向量方法解決一些平面幾何問題和物理問題，探索三角形的邊長與角度之間的關系. 在這個過程中，學生可以感受到向量這一工具的強大力量.

生4：我注意到了本章將要研究的對象是平面向量及其應用.

生5：本章將要研究的內(nèi)容包括向量的實際背景、向量的運算和向量方法的應用三部分.

師：生4和生5說得非常好！從本冊導引不難明確以下幾個問題：本章的研究對象是平面向量；本章的研究內(nèi)容是平面向量的背景與概念、平面向量及其運算、平面向量的應用（幾何問題、物理問題）. 我們進一步來看本章開頭的一段話，看看能否有進一步的收獲.

生6：向量和數(shù)量有關系，數(shù)量只有大小沒有方向，而向量是既有大小又有方向的量. 物理中的很多量都是向量，如力、位移、速度和加速度等.

師：說得很好！其他同學還有別的想法嗎？

學生沉默，教師繼續(xù)引導.

師：同學們是否注意到了本章所采用的數(shù)學思想方法？

生7：有類比. 類比數(shù)的運算來研究向量的運算及其性質(zhì)，建立向量的運算體系.

師：實際上，大家有沒有注意到教材中有兩處提及了類比. 本冊導引第一段中，類比數(shù)量得出向量這個全新的概念，還有生7剛才所說的類比數(shù)量的運算來研究向量的運算性質(zhì)與體系. 除此以外，第二段中提到“向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁”，告訴我們向量是數(shù)形結合的重要模型，在研究過程中應該自覺使用數(shù)形結合的方法來研究向量. 因此，通過對本冊導引和章節(jié)開頭的起始語的學習，我們可以達成如下共識：本章的研究對象是平面向量（既有大小又有方向的量就是向量）；本章的研究內(nèi)容是向量的背景與概念、向量的運算性質(zhì)和運算體系、向量的應用；本章的研究方法是類比和數(shù)形結合等（不局限于此，但至少包含這些）.

師：希望同學們在以后學習新的章節(jié)時養(yǎng)成好的習慣，不斷提升自己理解教材的能力，優(yōu)化自己的學習方法，從而提升自己的閱讀素養(yǎng)與學科素養(yǎng).

師：同學們，物理中有很多量，如力、位移、速度和加速度等，它們有什么特征？

生8：它們既有大小又有方向.

師：力、位移、速度和加速度等有著各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它們的共同屬性. 我們知道，從一支筆、一棵樹、一本書中可以抽象出只有大小的數(shù)量“1”. 類似地，我們能對力、位移、速度和加速度這樣的量進行抽象形成一種新的概念，它就是我們今天將要學習的平面向量. 同學們，數(shù)學抽象是形成數(shù)學概念的一種非常重要的方式. 著名數(shù)學家約瑟夫·傅里葉曾說，數(shù)學能從事物的個性之中尋求事物的共性特征.

師：我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，而數(shù)量常常用數(shù)軸上的點表示，不同的點表示不同的數(shù)量. 作為既有大小又有方向的向量，什么樣的幾何形式既能體現(xiàn)長度又能體現(xiàn)方向呢？

生9：一條有方向的線段.

師：線段是如何表示的？

生9：可以用線段的端點表示，或者用小寫字母表示. 例如，線段AB，線段a.

師：如何表示有方向的線段呢？

我們規(guī)定一個順序，假設點A是起點，點B是終點，并將它記作[AB]，或者記為a. 線段AB的長度叫做有向線段[AB]的長度，記作[AB.]

師：結合學習實數(shù)的相關經(jīng)驗和已有的向量知識，利用類比的方法思考：哪些數(shù)比較特殊？哪些向量比較特殊？這些向量的特征是什么？

生10：比較特殊的數(shù)是0和1.

將長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，將長度為0的向量叫做零向量.

師：很好，我們一般用0表示零向量，用e表示單位向量. 在實數(shù)中有相等和相反數(shù)兩個基本概念，同學們能否給出向量的類似概念？

生11：將兩個大小相等、方向相同的向量叫做相等向量.

生12：將兩個大小相等但方向相反的向量叫做相反向量.

師：用類比的方法可以得到很多向量中的基本概念. 請大家思考：根據(jù)相等向量的概念，兩個向量相等的充要條件是它們的起點和終點分別重合嗎？

生13：不對，只要兩個向量的方向相同、大小相等就可以，不一定需要起點和終點分別重合.

師：由此可以看出，平面向量可以自由移動. 只要兩個向量的方向相同、大小相等，它們就表示同一個向量. 繼續(xù)思考：平面幾何中有平行的概念，能否給出向量的類似概念？

生14：方向相同或相反的兩個向量平行.

師：說得很好！在描述平行向量時還需要注意兩個基本問題. 第一，向量是可以自由移動的，只要兩個向量方向相同或相反，就可以將這兩個向量平移到同一條直線上，因此平行向量也稱為共線向量，這與平面幾何中兩條直線平行有區(qū)別；第二，在眾多向量中，零向量比較特殊，根據(jù)研究的需要，我們約定零向量的方向是任意的，并且它與任意向量平行或共線.

教師展示例題，與學生一起交流，合作完成求解，限于篇幅，具體師生對話略.

例1? 判斷下列說法是否正確.

（1）若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；

（2）模相等的兩個平行向量是相等向量；

（3）長度相等的向量是相等向量；

（4）若[a∥b，b∥c，] 則[a∥c;]

（5）若[a>b]，則[a>b.]

例2? 已知點O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖1中所標出的向量中：

（1）試找出與[FE]共線的向量；

（2）確定與[FE]相等的向量；

（3）[OA]與[BC]相等嗎？

例3? 如圖2，以1 × 3方格紙中的格點為起點和終點的所有非零向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？

師：請同學們結合本節(jié)課所學習的內(nèi)容，思考并總結本節(jié)課的研究對象和研究內(nèi)容，以及用到的研究方法.

生15：我們學習了平面向量的基本概念、向量的表示方法，以及特殊的向量關系.

生16：我們學會了用類比思想研究向量問題.

師：同學們說得都很好. 最后給出本節(jié)課的三點總結. 第一，學會利用本冊導引和章節(jié)起始語建立每一章的學習框架；第二，培養(yǎng)自己利用數(shù)學思想方法研究數(shù)學問題的意識；第三，多總結、多思考，將數(shù)學的“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”.

三、“數(shù)學思考”應該教什么

1. 教章節(jié)體系建構的整體脈絡

在本節(jié)課的教學中，筆者并沒有開門見山地開展新授課的教學，而是帶領學生一起閱讀了教材中的本冊導言和本章前面的章節(jié)起始語. 章節(jié)起始內(nèi)容往往會揭示本章要研究的數(shù)學知識和知識的背景，會直截了當?shù)馗嬖V學生本章將要研究的主題和探討的數(shù)學知識，告訴我們“將要到哪里去”. 與此同時，章節(jié)起始內(nèi)容還能滲透學生在學習該章節(jié)知識的過程中所需要的數(shù)學思想方法，這有助于學生學習全章知識，提高學習效率. 因此，章節(jié)起始內(nèi)容是研究內(nèi)容和研究方法的融合，是可以為學生提供數(shù)學思考的絕佳素材. 同時，教師要將研究數(shù)學對象的一般套路教給學生. 例如，對于一個函數(shù)，如何開展其圖象與性質(zhì)的研究？如何研究向量的運算？章節(jié)體系建構的整體脈絡是數(shù)學思考教學的重要組成部分. 這些內(nèi)容有利于幫助學生形成學科的大概念，對于學生開展學習有著重要的價值與意義.

2. 教概念定理生成的來龍去脈

在接下來的教學中，筆者試圖通過教學引導學生形成學科大觀念：從特殊情境中提取事物的共性特征得到數(shù)學概念. 這種大觀念會伴隨學生學習數(shù)學的全過程，也勢必會對學生開展數(shù)學研究乃至科學研究提供重要的啟示與經(jīng)驗. 數(shù)學概念和數(shù)學定理是數(shù)學教學的核心環(huán)節(jié)，整個數(shù)學知識體系建立在概念和定理的基礎之上. 因篇幅問題，這些概念或定理在教材中用非常簡單的形式呈現(xiàn). 教師要引領學生參與概念產(chǎn)生和定理生成的完整歷程，體驗概念和定理引入、發(fā)展、歸納和提煉的過程. 在概念教學中，教師要引導學生明晰概念的生成路徑，明確概念中的關鍵及適用條件、厘清概念的內(nèi)涵與外延；在定理教學中，教師要引導學生自己發(fā)現(xiàn)定理、厘清定理的使用條件與結論、研究定理的證明方法和途徑、明確定理的運用范圍.

3. 教數(shù)學思想方法的遷移應用

數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，是數(shù)學的靈魂. 數(shù)學離不開數(shù)學思想方法，數(shù)學的教學更離不開數(shù)學思想方法的教學. 本節(jié)課中，通過與學生一起研讀章節(jié)起始內(nèi)容，筆者帶領學生挖掘了本章的重要數(shù)學思想方法——類比和數(shù)形結合，隨后不斷強化類比的數(shù)學思想方法，即類比數(shù)量中的兩個特殊數(shù)得到向量中的兩個特殊向量、類比實數(shù)中相等與相反數(shù)兩個基本概念得到特殊的向量關系. 在得出平行向量這個概念后，筆者提醒學生在類比過程中可能產(chǎn)生異化，需要我們理性甄別與辨析. 通過解釋并示范各種數(shù)學思想方法應用的實例，進一步幫助學生獲得利用數(shù)學思想方法研究問題的理性認識，有利于數(shù)學思想方法在其他情境中的遷移，并且可以研究和解決其他一系列新的問題.

四、“數(shù)學思考”應該怎樣教

“平面向量的概念”的教學取得了較好的效果. 已有實踐與研究深化了筆者對數(shù)學思考教學的認識，為進一步開展數(shù)學思考的教學指明了方向. 為了更好地開展數(shù)學思考的教學，教師還需要在以下幾個方面做出努力.

1. 以教材研究豐富思考素材

數(shù)學有兩種不同的形態(tài). 張奠宙教授曾指出，數(shù)學教學的目標之一是要把數(shù)學知識的學術形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài). 教師的一桶水要成為學生的一杯水，不能只是簡單地“倒”出來，而是要有一個轉(zhuǎn)化的過程. 教師是課程的實施者，在知識形態(tài)轉(zhuǎn)化的過程中起著重要作用. 教師對《標準》和教材的理解與研究在很大程度上會對他們的教學實踐產(chǎn)生影響. 因此，教師必須在理解《標準》和教材的基礎上充分挖掘可供學生開展數(shù)學思考的素材，將其納入教學設計之中并在課堂教學中加以實踐. 例如，章節(jié)起始內(nèi)容是筆者在認真研讀《標準》和教材后挖掘的可供學生開展數(shù)學思考的素材. 只要做一個有心人，從《標準》和教材的每一處（如《標準》提供的實施案例、教材的旁白和例題的研究范式等）都可以挖掘出對發(fā)展學生數(shù)學思考有益的素材.

2. 以教師示范引領學生思考方向

讓學生在課堂上像數(shù)學家那樣發(fā)現(xiàn)定理，這當然是好的學習方式. 但是這種課不能上太多. 因為費時間，而學生的學習時間是有限的. 從實際出發(fā)，方法上的“模仿”仍將是數(shù)學學科學習的一種主要方式. 著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾在《數(shù)學教育再探》中提出“行動的范例”的概念. 他指出，一種行動以另一種行動作為范例，可能會引起類似的行動. 因此，在開展數(shù)學思考的教學時，教師要適時給予學生積極的引導和示范，給學生提供正確的數(shù)學思考的方向與機會. 而學生則可以通過引導和示范逐步自主積累數(shù)學思考的活動經(jīng)驗，這些都能促成數(shù)學思考教學的有效實施. 同時，這些經(jīng)驗也將為學生日后自主開展數(shù)學思考和數(shù)學研究奠定基礎.

3. 以民主師生關系營造思考環(huán)境

開放性是實施數(shù)學思考教學的一個重要特征. 數(shù)學思考是誰的思考？很顯然，是學生的思考. 因此，教師必須營造一個開放的課堂教學體系，給學生創(chuàng)造寬松、和諧和民主的心理氛圍，尊重學生的自主權和主動權，以有利于學生開展數(shù)學思考. 教師要給予學生冷靜思考和充分表達的機會. 一方面，體現(xiàn)在教師不能控制課堂教學過程和限制學生思考的方向與角度，而應該調(diào)控課堂教學的各個環(huán)節(jié)，只有開放的目標和開放的內(nèi)容才能讓學生產(chǎn)生開放的思維和開放的心態(tài)，從而保證數(shù)學思考活動的有效開展；另一方面，體現(xiàn)在要讓學生主動進行數(shù)學交流，真正給予學生“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的機會. 教師要把精力放在鼓勵學生積極參與和主動交流上，民主的師生關系、開放的思考環(huán)境會促進學生思維的多角度發(fā)散，進一步提升數(shù)學思考教學活動的有效性.

參考文獻：

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［6］張奠宙. 數(shù)學教育研究導引［M］. 南京：江蘇教育出版社，1994.

［7］弗賴登塔爾. 數(shù)學教育再探：在中國的講學［M］. 劉意竹，楊剛，等譯. 上海：上海教育出版社，1999.

收稿日期：2022-09-26

作者簡介：何睦（1988— ），男，博士研究生，中小學一級教師，主要從事數(shù)學教育教學研究.