三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積關(guān)系的探索

林展祝

【摘? 要】本文著重研究三角形面積與其頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用，其關(guān)系為：S△ABC=|xy+xy+

xy-xy-xy-xy|，其中x、x、x分別表示△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo);y、y、y分別表示三個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】三角形頂點(diǎn)坐標(biāo);三角形面積;面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系探究;公式應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常遇到三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積關(guān)系的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題種類(lèi)多，解法復(fù)雜多樣，給學(xué)生帶來(lái)了很多的困難，學(xué)生甚至無(wú)從下手。由此引發(fā)了筆者對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的興趣，通過(guò)不斷的探索，得到如下的結(jié)論：在△ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（x，y），

B（x，y），C（x，y），△ABC的面積記為S△ABC，則有

S△ABC=|xy+xy+xy-xy-xy-xy|。

一、公式的探索

（一）存在兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不相同的情況

不妨設(shè)x≠x，且直線(xiàn)AB的解析式為：y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），則

kx

+b=y

kx

+b=y解得：

k=

b=

所以直線(xiàn)AB的解析式為：y=x+。

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D（圖1），則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，把x=x代入y=x+

中，求得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，）。

CD=|y-yD|=||

①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上（不與A、B重合），不妨設(shè)A點(diǎn)在CD左側(cè)，B點(diǎn)在CD的右側(cè)，如圖2所示，則

S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·（xD-xA）+CD·（xB-xD）

=CD·（xD-xA+xB-xD）=CD·（xB-xA）

=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|

②點(diǎn)D與A（或B）重合（不妨設(shè)D與A重合），如圖3所示，則AC=|y-y|。

S△ABC=AC·|x-x|=|y-y|·|x-x|=|xy-

xy-xy+xy|=|xy+xy-xy-xyA|

此時(shí)x=x，把x=x代入S△ABC=|xyB+xyC+xCy-

xyC-xy-xCyB|中，

得S△ABC=|xyB+xyC+xAy-xyC-xy-xyB|=

|xyC+xAy-xyC-xy|

所以，當(dāng)點(diǎn)D與A（或B）重合時(shí)，△ABC的面積仍滿(mǎn)足：

S△ABC=|xyB+xyC+xAy-xyC-xy-xCyB|。

③點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖4所示，則

S△ABC=S△BCD-S△ACD=CD·（xB-xD）-CD·（xA-xD）

=CD·（xB-xD-xA+xD）=CD·（xB-xA）

=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|

④點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖5所示，則

S△ABC=S△ACD-S△BCD=CD·（xD-xA）-CD·（xD-xB）

=CD·（xD-xA-xD+xB）=CD·（xB-xA）

=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|

由此得知：當(dāng)有兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相同時(shí)，△ABC的面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為：

S△ABC=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|。

（二）存在兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同的情況

不妨設(shè)x=x，如圖6所示，則

AB=|y-yB|，S△ABC=AB·|xC-xA|=|y-yB|·|xC-xA|

=|xCy-xAy-xCyB+xAyB|

=|xyB+xyA-xByA-xyB|

把x=x代入S△ABC=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|中，得到S△ABC=|xyB+xCy-xy-xCyB|，由此得知：當(dāng)有兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同時(shí)仍然滿(mǎn)足：S△ABC=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|。

由上述兩種情況可知，當(dāng)△ABC的三個(gè)頂坐標(biāo)為A（x，y），B（x，y），C（x，y）時(shí)，面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為：S△ABC=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|.

二、公式的應(yīng)用

從以上探索過(guò)程得知：△ABC中，點(diǎn)A表示三角形的第一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)B表示第二個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)C表示第三個(gè)頂點(diǎn)。但是也可以將其中任意的一個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)成第一個(gè)頂點(diǎn)，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別當(dāng)成第二個(gè)頂點(diǎn)及第三個(gè)頂點(diǎn)，并將它們的坐標(biāo)代入上述公式中，就可求三角形的面積。

例1：已知在△ABC中，A（-2，3）、B（3，2）、C（2，-4），求△ABC的面積。

解析：把三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述公式中，可得

S△ABC=|-2×2+3×（-4）+2×3-（-2）（-4）-3×3-2×2|

=。

例2：已知A（1，3）、B（4，2），點(diǎn)P在直線(xiàn)y=2x-3上，且△PAB的面積為8，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解析：因?yàn)辄c(diǎn)P在直線(xiàn)y=2x-3上，所以設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，2m-3）。由上述的面積與坐標(biāo)關(guān)系公式可得： S△PAB=|1×2+4×（2m-3）+m×3-1×（2m-3）-4×3-m×2|，化簡(jiǎn)得：S△PAB=|7m-19|，又S△PAB=8，可得|7m-19|=8。

解得：m1=5，m2=，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，7）或（，-）。

例3：如圖7所示，直線(xiàn)y=6x、y=x分別與雙曲線(xiàn)y=在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，若S△OAB=8，求k的值。

解析：因?yàn)锳點(diǎn)在直線(xiàn)y=6x上，B點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上，所以設(shè)A（a，6a）（a>0），B（b，b）（b>0），頂點(diǎn)O（0，0），

利用上述面積公式： S△ABC=|xyB+xBy+xy-xAyC-xByA-xCyB|可得

S△OAB=|a×b+b×0+0×6a-a×0-b×6a-0×b|=

|ab-6ab|=|-ab|=ab

所以ab=8，從而得ab=3，又因?yàn)閗=6a2=b2，所以b=3a;由此得ab=3

b=3a，解得a=1

b=3，所以k=6a2=6。

例4：如圖8所示，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC=2AB，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，且AE=3EC，

點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為3，求k的值。

解析：如圖9所示，設(shè)A（m，）（m>0，k>0），過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，則AB=m，OB=，OD=OB=，AF=，OC=2AB=2m，F(xiàn)C=OC=m，由△AFC∽△EGC可得EG=，GC=FC=m，所以O(shè)G=。

故D（0，），E（，），然后把A（m，）、D（0，）、E（，）代入上述公式可得：

S△ADE=|m·+0·+·-m·-0·-·|=|+--|=.由題意得：=3，所以k=。

通過(guò)以上對(duì)三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積關(guān)系的探究，我們得出三角形面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式：S△ABC=|xyB+xBy+xy-xAyC-xByA-xCyB|。將此關(guān)系式運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐，既能讓學(xué)生得到實(shí)踐探索經(jīng)驗(yàn)，又得到有效實(shí)用的結(jié)論。

利用上述結(jié)論分析問(wèn)題，思路清晰，既簡(jiǎn)單又方便，減少學(xué)生在較復(fù)雜的問(wèn)題中產(chǎn)生的畏懼心理及負(fù)擔(dān)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，具有很高的實(shí)用

價(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

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