感悟圖形本質(zhì)　提升思維能力

【摘 要】 對(duì)幾何試題的研究關(guān)鍵在于對(duì)圖形的分析，從一個(gè)條件作為突破口，挖掘基本圖形，自然聯(lián)想尋找解題思路，體會(huì)學(xué)生樸素的想法;嘗試對(duì)圖形不同視角的理解，有效整合圖形信息，以最大效益感受試題的價(jià)值，從而提升學(xué)生的思維能力，進(jìn)而發(fā)展解決問題的關(guān)鍵能力.

【關(guān)鍵詞】 基本圖形;自然聯(lián)想;旋轉(zhuǎn)

對(duì)中考數(shù)學(xué)試題的深度研究有助于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的落實(shí)，同時(shí)在分析問題和解決問題的過程中有利于喚醒基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，多角度對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和理解，從而加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，進(jìn)一步形成解決問題的策略，感受數(shù)學(xué)思想帶來的樂趣.2022年新疆中考試題第15題以正方形和旋轉(zhuǎn)作為命題背景，圖形熟悉且簡(jiǎn)潔，源于學(xué)生課堂所學(xué)，易于理解.而不同解法的發(fā)現(xiàn)是基于學(xué)生的認(rèn)知和已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生探究不同的解法有利于多角度認(rèn)識(shí)問題，自我剖析解決問題方法的優(yōu)劣，進(jìn)一步反思改進(jìn)，從而更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這也是解題教學(xué)帶給我們的提升.

（2022新疆）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心，將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交DC于點(diǎn)P，連接AC交EF于點(diǎn)Q，連接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，則BQ=.

1 關(guān)注基本圖形的思考

從復(fù)雜圖形中尋找到基本圖形是解決幾何問題的突破口.本題我們猜想點(diǎn)Q為FE的中點(diǎn)，如何想到？根據(jù)∠FBE=90°，∠FDE=90°，顯然可得F，B，E，D四點(diǎn)共圓，那么圓心是哪個(gè)點(diǎn)？結(jié)合圖形，圓心只能是點(diǎn)Q，又如何證明呢？同時(shí)，根據(jù)已知條件AF=CE，∠FAQ=45°，∠QCE=135°，∠AQF=∠CQE，可以想到“SSA”模型，如圖2.對(duì)于圖2的處理一般是采用“割補(bǔ)”兩種思路，將△AFQ進(jìn)行分割，得到△QCE的形狀，如圖3.或?qū)ⅰ鱍CE進(jìn)行增補(bǔ)，得到△AFQ的形狀，如圖4.這兩種思路都是固定其中一個(gè)三角形，改變另一個(gè)三角形，從而得到兩個(gè)全等三角形.基于對(duì)這個(gè)模型的再思考，也可以同時(shí)將△QCE進(jìn)行增補(bǔ)，將△AFQ進(jìn)行分割，得到兩個(gè)直角三角形，也可以得到兩個(gè)全等三角形，如圖5.

根據(jù)上述三個(gè)思路，我們很容易得到點(diǎn)Q為線段FE的中點(diǎn)，下面的求法中省去點(diǎn)Q為中點(diǎn)的證明.

以下是求BQ長(zhǎng)度的三種方法.

方法一 如圖3，過點(diǎn)F作FG∥BC，交AC于點(diǎn)G.設(shè)FG=AF=a，GQ=QC=2[KF）][]2[SX）]b，所以BC=a+b，F(xiàn)B=b.因?yàn)镻C∥FB，所以PC[]FB=CE[]EB.所以PC=ab[]2a+b.故DP=2a2+2ab+b2[]2a+b.因?yàn)锳Q·DP=（2[KF）]a+2[KF）][]2[SX）]b）·2a2+2ab+b2[]2a+b=32[KF）]，所以2a2+2ab+b2=6.在Rt△FBE中，∠FBE=90°，F(xiàn)E2=FB2+BE2=4a2+4ab+2b2.故BQ=1[]2FE=3[KF）].

評(píng)析 此解法中我們?cè)O(shè)FG=AF=a，GQ=QC=2[KF）][]2[SX）]b，巧設(shè)變量可以得到BC=a+b，F(xiàn)B=b，這樣便于計(jì)算AQ和DP的長(zhǎng)度，過程中看似復(fù)雜，實(shí)則得到2a2+2ab+b2=6這個(gè)整體，而FE2=4a2+4ab+2b2就讓結(jié)果變得簡(jiǎn)單，這種樸素且靈巧的解法值得學(xué)生們學(xué)習(xí)，更重要的是滲透了“設(shè)而不求”的思想.

方法二 如圖4，過點(diǎn)E作EG∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.因?yàn)镈P∥AB，所以∠DPE=∠AFQ.因?yàn)椤螰AQ=∠DEP=45°，所以△FAQ∽△PED.所以AQ[]ED=FQ[]PD.即AQ·DP=FQ·ED=BQ·2[KF）]BQ，所以BQ=3[KF）].

評(píng)析 在此解法中根據(jù)△FAQ≌△EGQ，偶然發(fā)現(xiàn)△EGQ∽△PED，這樣必然得到△FAQ∽△PED，或者直接發(fā)現(xiàn)△FAQ∽△PED.因此AQ·DP與BQ的關(guān)系顯而易見，結(jié)果易得.

方法三 如圖5，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC，垂足分別為點(diǎn)H，G.設(shè)FG=AG=CH=HE=x，GQ=HQ=y，所以AC=2y.故BC=2[KF）]y.因?yàn)镻C∥FB，所以PC[]FB=CE[]EB.所以PC=2[KF）]x（y-x）[]x+y[SX）].故DP=2[KF）]（x2+y2）[]x+y[SX）].因?yàn)锳Q·DP=（x+y）·2[KF）]（x2+y2）[]x+y[SX）]=2（x2+y2）=32[KF）]，所以BQ=FQ=x2+y2=3.

評(píng)析 巧設(shè)變量，整體代換，思路與方法一致.

解題過程中要關(guān)注基本圖形的自然聯(lián)想和思考，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，基本思想方法的提煉，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生需要不斷去嘗試、體驗(yàn)和實(shí)踐，將熟悉問題的解題經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成未知問題的解決策略，提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

2 關(guān)注已知條件的聯(lián)想

羅增儒教授曾說過：當(dāng)大家分析每一道題目的思路時(shí)，都是針對(duì)解題難點(diǎn)來講解的，應(yīng)該明確指出，該題到底一共有幾個(gè)難點(diǎn)、分別在什么地方、各用什么方法來突破，方法的實(shí)質(zhì)是什么、從中可以獲得什么解題啟示或教學(xué)啟示.作為本題而言，條件AQ·DP=32是試題的難點(diǎn)之一，在什么情境下會(huì)出現(xiàn)兩者的乘積？一般而言，三角形相似得比例容易出現(xiàn)，因此要尋找含有AQ和DP的兩個(gè)三角形相似來突破難點(diǎn).本質(zhì)是尋找兩個(gè)三角形相似，此刻需要關(guān)注圖形的直觀，容易發(fā)現(xiàn)方法二中的△FAQ∽△PED;也不難發(fā)現(xiàn)△BAQ∽△PFD，如圖6方法四.

方法四 如圖6，易得點(diǎn)Q是FE的中點(diǎn)，所以∠QFB=∠QBF=∠FPD.

因?yàn)椤螧AQ=∠PFD=45°，所以△BAQ∽△PFD.

所以AQ[]FD=BQ[]PD.即AQ·DP=FD·BQ.

因?yàn)锳Q·DP=32，所以FD·BQ=2[]2[SX）]FE·1[]2FE=32.

故FE=23，則BQ=3.

評(píng)析：此法的關(guān)鍵在于對(duì)AQ·DP的分析，一次相似解決問題，解題過程通俗易懂.

從基本圖形的角度思考知道試題的條件∠FDE=∠FBE=90°，所以F，B，E，D四點(diǎn)在以FE為直徑的圓上，并可以斷定點(diǎn)Q為圓心.在前面分析中，沒有繼續(xù)進(jìn)行是因?yàn)辄c(diǎn)Q是圓心的說理要更難一些，而“SSA”對(duì)于學(xué)生應(yīng)該更熟悉.如果建立圓的背景，我們也容易發(fā)現(xiàn)很多相似三角形，此時(shí)不妨設(shè)其中一個(gè)角，試圖算出AQ和DP，利用方法五問題容易求解，而方法一中“算”的想法和方法五是一致的.

方法五 如圖7，連接DQ，以FE為直徑構(gòu)造圓.過點(diǎn)Q作QG⊥AB，垂足為G.

因?yàn)椤螰DE=∠FBE=90°，所以F，B，E，D四點(diǎn)在以FE為直徑的圓上.

因?yàn)镈Q=BQ，所以B，D關(guān)于直徑對(duì)稱.因?yàn)锽D垂直平分AC因?yàn)锽，D關(guān)于AC對(duì)稱，BQ=QD，所以點(diǎn)Q為圓心.設(shè)∠BFQ=α，F(xiàn)G=x，則∠DPQ=α，

所以FQ=DQ=x[]cosα，GQ=xtanα.

故DP=x[]sinαcosα，AQ=2xtanα.

因?yàn)锳Q·DP=32[KF）]，所以x[]sinαcosα·2xtanα=2[KF）]（x[]cosα）2=32.

因此BQ=FQ=x[]cosα=3.

3 關(guān)注試題結(jié)論的拓展

對(duì)于試題的分析一定要講清楚怎么想，為什么這樣想兩個(gè)問題.前面的解法中我們已經(jīng)從多個(gè)角度分析問題，以及為什么這樣想的問題.正如傅種孫先生所言：知其然，知其所以然，何由以知其所以然，這是在解題教學(xué)中需要一以貫之的理念.同時(shí)，就本題而言，在正方形的背景下，對(duì)于正方形的元素“邊長(zhǎng)”的探究也是值得思考的，因此，正方形的邊長(zhǎng)的求解是我們解題的延續(xù).

思考1 如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心，將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交DC于點(diǎn)P，連接AC交EF于點(diǎn)Q，連接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，則AB的取值范圍是？

思路1 因?yàn)锽Q=3[KF）]，所以FE=23[KF）].當(dāng)F點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，DF最小，故FE最小，因此邊長(zhǎng)最大;當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，DF最大，故FE最大，因此邊長(zhǎng)最小.所以3[KF）]≤AB<6[KF）].

思路2 設(shè)AD=x，AF=y，故BF=x-y，BE=x+y.

在Rt△FBE中，∠FBE=90°，F(xiàn)E2=BF2+EB2，所以（23[KF）]）2=（x+y）2+（x-y）2.

因此x2+y2=6.因?yàn)?思考2 如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心，將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交DC于點(diǎn)P，連接AC交EF于點(diǎn)Q，連接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，∠BFE=α，則AB的長(zhǎng)度為？

思路 根據(jù)方法五可得AB=AG+GB=xtanα+x，而FQcosα=x=3[KF）]cosα，因此AB=3[KF）]cosαtanα+3cosα=3（sinα+cosα）.根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)也可以求得思考1中AB的取值范圍.

4 關(guān)注試題教學(xué)的價(jià)值

4.1 注重分解與重組

一個(gè)復(fù)雜的圖形往往是由很多個(gè)基本圖形組合而成，在本題中體現(xiàn)的尤為明顯.教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘基本圖形，借助直觀想象素養(yǎng)轉(zhuǎn)化題目中的信息，如本題中點(diǎn)Q的發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)對(duì)基本模型的識(shí)別和驗(yàn)證.關(guān)注條件的自然聯(lián)想，如本題中AQ·DP的思考，引導(dǎo)相似三角形的尋找，本題中對(duì)角為直角的四邊形的處理，讓四點(diǎn)共圓助力求解.因此，注重條件的分解與重組，有助于降低思考難度;加強(qiáng)對(duì)圖形的分解與重組，有利于識(shí)別模型，而模型源于直觀，成于推理.我們應(yīng)著眼于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，重視對(duì)目標(biāo)的分析，對(duì)隱藏條件的挖掘，對(duì)圖形特征的觀察，明確解題思路，構(gòu)建模型，也要注重對(duì)問題的再挖掘，如邊長(zhǎng)的求解，讓解題過程變得更完整.

4.2 注重反思和提煉

在解題教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生不斷地進(jìn)行最近聯(lián)想，也要鼓勵(lì)學(xué)生不斷培養(yǎng)反思的意識(shí).如本題假設(shè)點(diǎn)Q為中點(diǎn)后如何轉(zhuǎn)換AQ·DP=32[KF）]，借助于相似和直接計(jì)算兩種方式突破已知條件.如何能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q是中點(diǎn)？對(duì)于△AFQ和△QCE的觀察，教師要給學(xué)生足夠時(shí)間去喚醒已有的模型，放手讓學(xué)生自主探究，適時(shí)幫助學(xué)生明確探究方向，尋找探究路徑，滲透“割補(bǔ)”的數(shù)學(xué)方法.關(guān)注結(jié)論倒回去思考，由AQ·DP聯(lián)想AQ[]FD=BQ[]PD和AQ[]ED=FQ[]PD，進(jìn)一步倒逼兩種類型的三角形相似，在這個(gè)過程中，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果[1].

以數(shù)學(xué)試題為素材，探究解法為載體，挖掘圖形本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升反思能力，力求達(dá)到做一題，會(huì)一類，通一片，讓學(xué)生從解題中理解數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué).

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：6.

作者簡(jiǎn)介

王強(qiáng)（1987—），男，江蘇南京人，碩士，中學(xué)高級(jí)教師;伊犁州優(yōu)秀援疆教師，伊寧市優(yōu)秀教師，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市秦淮區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人;榮獲江蘇省初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng).

基金項(xiàng)目 江蘇省教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“數(shù)學(xué)評(píng)優(yōu)課磨課活動(dòng)的典型機(jī)制與文化特色研究”（C-b/2021/01/22）.