新定義題的解題策略：邏輯加直觀，動靜卡邊界

【摘 要】 文章以2022年北京市中考數(shù)學(xué)卷壓軸題為例，分析新定義題的價值和試題結(jié)構(gòu).通過對該壓軸題的剖析和解答，總結(jié)出解答新定義題的一般解題策略：邏輯推理突出幾何直觀，動靜結(jié)合卡準(zhǔn)邊界位置.

【關(guān)鍵詞】 新定義題;解題策略;幾何直觀;邊界位置

新定義題是中考試卷中的一類特殊題型，一般是指在某種情境下借助新符號定義新運算新法則，或給某種數(shù)學(xué)變換關(guān)系定義新概念等.要求考生現(xiàn)場學(xué)習(xí)，解答新問題.考查考生的閱讀、理解和遷移能力.

而北京市中考數(shù)學(xué)卷從2012年到2022年的11道新定義題則不同于通常意義下的新定義題，試題的立意、結(jié)構(gòu)、綜合性和試題功能等均有很大不同.這類新定義題不僅考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等重要的數(shù)學(xué)學(xué)科能力，還考查包括學(xué)習(xí)能力、探究能力等更普適性、對學(xué)生未來的學(xué)習(xí)都非常重要的能力[1].

下面以2022年北京市中考數(shù)學(xué)卷壓軸題第28題為例，談?wù)勗擃愒囶}的一般解題策略.

1 新定義題及其結(jié)構(gòu)

2022年北京市中考數(shù)學(xué)卷延續(xù)了用新定義題壓軸的試卷結(jié)構(gòu)，試題如下：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點M（a，b），N.

對于點P給出如下定義：將點P向右（a≥0）或向左（a<0）平移a個單位長度，再向上（b≥0）或向下（b<0）平移b個單位長度，得到點P′，點P′關(guān)于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應(yīng)點”.

（1）如圖1，點M（1，1），點N在線段OM的延長線上.若點P（-2，0），點Q為點P的“對應(yīng)點”.

①在圖中畫出點Q;

②連接PQ，交線段ON于點T.求證：NT=12OM;

（2）⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點，點N在線段OM上，且ON=t（12

可以看出，這類新定義題屬于代數(shù)與幾何高度綜合題，試題包括題干（新概念的定義部分）和問題（理解和運用部分）.試題的命制均在平面直角坐標(biāo)系中進行，問題部分一般包括起始問題、臺階問題和綜合問題，具體結(jié)構(gòu)如下表1所示.

2 來自學(xué)生的反饋

新定義題備受命題者的青睞，學(xué)生對新定義題的態(tài)度如何呢？6月18日，筆者對我校畢業(yè)班學(xué)生進行了“關(guān)于新定義題我是這么看”的問卷調(diào)查.

第1題：你對新定義題（第28題）的態(tài)度（ ）.

A.非常喜歡 B.喜歡 C.談不到喜歡也不討厭D.不喜歡E.非常討厭

調(diào)查數(shù)據(jù)（圖2）表明，31%以上的學(xué)生表示不喜歡，甚至近10%的學(xué)生明確表示非常討厭這類題型，有超過79%的學(xué)生對新定義題沒有好感.第6道題的調(diào)查數(shù)據(jù)佐證了這個結(jié)果.

第6題：對于北京中考卷中的新定義題型，你認為（ ）.

A.繼續(xù)保留B.無所謂C.應(yīng)該廢棄

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，近30%的學(xué)生認為應(yīng)該廢棄新定義題，如圖3.進一步調(diào)查，支持“應(yīng)該廢棄”的前三條理由是：給我造成很大的心理壓力;浪費時間，也得不了幾分;不知道考啥知識.而這些理由的背后是學(xué)生們的一個共識——新定義題“一題一法，題無定法”.

因此，研究新定義題的一般解題策略有非常強的現(xiàn)實意義——想學(xué)生之所急，研學(xué)生之所需.

3 一般解題策略

美國數(shù)學(xué)家M·克萊因在《古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）》中論述：“數(shù)學(xué)的直觀，就是對概念、證明的直接把握.”德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在《直觀幾何》一書中認為：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述所研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解、記憶得到的結(jié)構(gòu).”

以上強調(diào)幾何直觀的學(xué)術(shù)觀點可以指導(dǎo)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)，也可以指導(dǎo)我們解答新定義問題：邏輯推理突出幾何直觀，動靜結(jié)合卡準(zhǔn)邊界位置.

3.1 用筆讀題三遍

解答新定義題的第一關(guān)是數(shù)學(xué)閱讀，這也是一道心理關(guān).在有限的時間內(nèi)和緊張的氛圍下要求考生閱讀三四百字的試題，“不僅包括對數(shù)學(xué)文字語言、符號語言、圖表語言的理解、記憶、認知等過程，還包括對材料的邏輯結(jié)構(gòu)進行分析、綜合、歸納、推理、猜想等一系列思維過程，（數(shù)學(xué)閱讀）是區(qū)別于一般閱讀的較為復(fù)雜的智力活動.”[2]其難度可見一斑.

常言道，書讀百遍其義自見.因此，我們建議學(xué)生平時養(yǎng)成“用筆讀題三遍”的習(xí)慣.

第一遍，通讀題干，初步了解題目涉及的幾何元素和大致的幾何變換過程.比如，點M，N，點P平移得到P′，點P′關(guān)于點N對稱得到點Q，等.

第二遍，研讀新定義，用筆圈點關(guān)鍵信息，弄清幾何元素如何變換，怎樣建立什么關(guān)系，新概念的含義和記號等.比如，點P平移得P′，點P在哪兒，和日常所學(xué)的平移含義相同嗎？平移的方向和大小受誰制約？點P′關(guān)于點N對稱得到點Q，點N在哪兒？誰和誰是“對應(yīng)點”？此題“對應(yīng)點”有什么具體含義？等等.需要考生反復(fù)閱讀，這個過程最好畫畫草圖，如圖4，建立幾何直觀，使新定義可視化.

第三遍，跳讀題干，厘清幾何變換關(guān)系，明確幾何變換過程，整體上明晰新定義的幾何模型.比如，給定點P，根據(jù)點M平移得點P′，點P′關(guān)于給定的點N對稱得點Q，稱點Q為點P的“對應(yīng)點”.此時，可以提煉出新定義的關(guān)系圖（如圖5）.

3.2 試做起始問題

起始問題是對新概念的具體辨析和直接應(yīng)用，引導(dǎo)考生把抽象的新概念和變換關(guān)系具體操作一遍，促進對新定義的理解，建立幾何直觀模型.

問題（1）以如圖和坐標(biāo)的形式給出點M（1，1）和P（-2，0），至于點N的坐標(biāo)是不是（2，2），所給圖形雖然有網(wǎng)格襯托，但并沒有說明點N在格點（當(dāng)然，格點也需要定義）上，所以，考生可以認為N（2，2），這樣更方便畫出P′（-1，1），Q（5，3），完成起始問題（1）①，如圖6.

事實上，起始問題的命制目的應(yīng)該不是描點畫圖，而是有尺規(guī)作圖的味道，當(dāng)然，此題無需尺規(guī)作圖.（近幾年的北京中考卷都有一道尺規(guī)作圖題（第20題），而今年換成了證明三角形內(nèi)角和定理（第20題）.命題人是不是想借此彌補尺規(guī)作圖呢？）

根據(jù)題意，PP′∥OM，且PP′=OM，P′，N，Q三點共線，且P′N=NQ.題中蘊含平行四邊形PP′MO和線段P′Q的中點N.這為解答臺階問題做好了準(zhǔn)備.

3.3 解答臺階問題

臺階問題是對起始問題的橫向拓展或縱向拓展，也是為探究最后的綜合問題做好鋪墊，起到登堂入室的臺階作用.因此，解答臺階問題不能為了解題而解答，而應(yīng)該是在解答的過程中思考并提煉一些方法和結(jié)論，總結(jié)基本活動經(jīng)驗，進而在綜合問題中遷移運用.

臺階問題（1）②在起始問題①的基礎(chǔ)上繼續(xù)構(gòu)圖和探討，如圖7，根據(jù)題意又構(gòu)造出△PP′Q及其一條中位線NT.

如何證明PP′∥OM呢？可以根據(jù)平移的性質(zhì)，幾何直觀得到PP′∥OM;更嚴(yán)謹?shù)耐评韯t過點P′，M作x軸的垂線，構(gòu)造分別以PP′和OM為斜邊、以1為直角邊長度的等腰直角三角形，由兩三角形全等得同位角∠P′PO=∠MOx，判定PP′∥OM，且PP′=OM，進而得PP′∥ON.

由對稱變換知N是線段P′Q的中點，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實知T是線段PQ的中點，即線段NT是△PP′Q的一條中位線，所以NT=12PP′=12OM.

根據(jù)對臺階問題的解答，我們更加清楚了點P只要不在直線OM上，“對應(yīng)點”模型中N，T分別是線段P′Q，PQ的中點，包括NT=12OM等都沒有變化.還有，我們進一步明確了尋找“對應(yīng)點”Q的過程，M是主動點，P′是從動點，而“對應(yīng)點”Q又是受點N影響的從動點.

整個解答過程，分析的基本方法是按照題意有序構(gòu)造幾何關(guān)系，探究的基本依據(jù)是平移變換、對稱變換和平行線分線段成比例.我們帶著這些基本活動經(jīng)驗解答綜合問題.

3.4 攻克綜合問題

綜合問題的命制通常是對臺階問題的一般化，讓一些元素動起來（點M在⊙O上動，點N在線段OM上動，點P的位置也不確定了），增加了很多“不確定”因素.

此時，需要考生調(diào)整一下疲勞的身心，伸伸懶腰，做個深呼吸，靜下心來再次集中精力對綜合問題“用筆讀題三遍”，明確哪些幾何元素或關(guān)系變化了，哪些沒有變化，能否和臺階問題關(guān)聯(lián)上，等等.好在綜合問題一般都是要求直接寫出答案，需要嚴(yán)謹?shù)臄?shù)學(xué)推理，但不需要規(guī)范的步驟書寫，此時，動靜結(jié)合卡邊界就至關(guān)重要.

第一步，明確“不確定”，分析特殊情況，試著畫畫圖.

為方便畫圖，減少不必要的不確定因素的干擾，我們不妨把沒有限制的元素取特殊但又不失一般性的位置，比如點P（-3，0），此時可以考慮點N的兩個特殊位置.

因為ON=t（12

第二步，動靜結(jié)合，卡準(zhǔn)邊界，確定最值位置.

我們已經(jīng)通過有序的推理和構(gòu)造把“對應(yīng)點”模型以及相關(guān)關(guān)系直觀化了.連接PQ交半徑OM于點S，當(dāng)點M在⊙O上運動時，從動點P′和Q分別在⊙P，⊙R上運動，在動態(tài)分析中卡準(zhǔn)點Q與點P和點R共線時的邊界狀態(tài)，此時PQ取得最值（最值對應(yīng)的位置往往都是唯一的），所以（PQ）max-（PQ）min=PR+RQ-（PR-RQ）=2RQ.或者也可以考慮△PRQ三邊的關(guān)系和邊界位置得到不等式PR-RQ≤PQ≤PR+RQ，即（PQ）max-（PQ）min=2RQ.

第三步，利用好臺階問題，借步作答，準(zhǔn)確運算.

如何求⊙R（實線圓）的半徑呢？如果考生掌握梯形中位線的知識，求解非常快捷：RQ+PP′=2ON，RQ=2t-1.不用梯形中位線，兩次利用三角形中位線推導(dǎo)也不復(fù)雜：在△QPP′中，NS=12PP′=12，則OS=ON-NS=t-12.在△PRQ中，RQ=2OS=2t-1，所以（PQ）max-（PQ）min=2RQ=4t-2.

至此，針對于考試算是解答完畢.但對于該題還有很多問題可以繼續(xù)思考，包括作為解答題如何嚴(yán)謹、規(guī)范的書寫解題步驟，除了上述PP′∥OM的嚴(yán)格證明，還有點P′和點Q的軌跡為什么是圓？點P的位置一般化時對⊙R有何影響？又為什么對試題的結(jié)果沒有影響？還有什么解答思路？該題蘊含的思想方法能否一般化，等等.

4 結(jié)束語

東北師大史寧中教授多次強調(diào)：在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是通過觀察最先猜出來的，而不是“證”出來的，數(shù)學(xué)學(xué)科中，對于結(jié)果的預(yù)測和對于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀.新頒發(fā)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》認為“幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”，要養(yǎng)成“運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣”.《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》則要求學(xué)生能夠在各種情境（熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的）通過幾何直觀提出問題、分析問題、解決問題，并能直觀表達，體會幾何直觀的作用和意義.可見，幾何直觀是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，當(dāng)然也是解答數(shù)學(xué)問題（尤其是新定義問題）的首要意識.

最后，我們用流程圖的形式直觀表達解答新定義問題的一般策略，如圖9.

解答新定義題的總策略是緊扣新概念，聯(lián)系老知識，運用常規(guī)方法，在邏輯推理下突出幾何直觀（邏輯加直觀），在可變幾何元素的動態(tài)變化中尋找邊界位置（動靜卡邊界）.

具體操作：（1）用筆讀題三遍，畫出新定義（幾何元素間的變化過程和建立的關(guān)系）;

（2）比葫蘆畫瓢，回答起始問題.回顧新定義，直觀化理解新概念;

（3）重視臺階問題，總結(jié)新定義背景下的思想方法和新結(jié)論，搭建腳手架;

（4）現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，動靜結(jié)合，逐層拆解分析，運用新方法新結(jié)論攻克綜合問題.

我們常說“無圓不幾何”，對于北京市中考卷新定義題則有“無圓不新定義”的解題經(jīng)驗，最后的綜合問題一般落腳點都是圓或圓弧.這也是上述調(diào)查中最后一題學(xué)生回答使用頻率最高的詞語.

參考文獻

[1]頓繼安.問題變式視角下數(shù)學(xué)新定義型綜合題的設(shè)問路徑——以2020年北京市中高考數(shù)學(xué)題為例[J].基礎(chǔ)教育課程，2020（08）：101-107.

[2]任子朝，陳昂，趙軒.加強數(shù)學(xué)閱讀能力考查，展現(xiàn)邏輯思維功底[J].數(shù)學(xué)通報，2018（06）：8-13.

[3]王亮亮.重現(xiàn)命制過程剖析思路變化——以2012年北京市壓軸題為例[J].數(shù)學(xué)通報，2014（03）：48-51.

[4]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[5]中華人民共和國教育部.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者簡介

史嘉（1980—），男，安徽亳州人，中學(xué)高級教師;獲第七屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課展示活動一等獎，主持并完成省級教育科學(xué)規(guī)劃課題兩項;發(fā)表文章多篇.