積累活動經(jīng)驗(yàn) 滲透數(shù)學(xué)思想

梁慧慧 徐爭 趙立新 楊光偉

【摘 要】 ?課題學(xué)習(xí)追求的目標(biāo)不僅是知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學(xué)生通過自主參與探究過程，感悟其中的數(shù)學(xué)思想，積累有效的活動經(jīng)驗(yàn).以“格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算”一課為例，學(xué)生在對格點(diǎn)多邊形的面積規(guī)律探究過程中，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、驗(yàn)證、建模等活動過程，積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，滲透化歸、函數(shù)、建模等數(shù)學(xué)思想，凸顯初中數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的育人價值.

【關(guān)鍵詞】 ?活動經(jīng)驗(yàn);數(shù)學(xué)思想;課題學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在實(shí)踐、探索、體驗(yàn)、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過程中感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展[1].史寧中提出數(shù)學(xué)教學(xué)中一方面需保持“雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核，另一方面又能創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，讓學(xué)生感悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，形成發(fā)展學(xué)科的核心素養(yǎng)[2].因此，基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)應(yīng)滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，成為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.

數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)是指將研究性學(xué)習(xí)的思想和方法體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程變成一種類似“科研”或“微科研”那樣的研究過程[3].作為初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容領(lǐng)域的重要呈現(xiàn)，課題學(xué)習(xí)的目的是讓學(xué)生通過自主探索和合作交流，解決一些綜合性問題，使得數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為一個課題研究的過程.因此，課題學(xué)習(xí)追求的目標(biāo)不僅是知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學(xué)生通過自主參與探究過程積累有效的活動經(jīng)驗(yàn)，感悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文通過課題學(xué)習(xí)——“格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算”的教學(xué)實(shí)踐，積極引導(dǎo)學(xué)生對格點(diǎn)多邊形的面積規(guī)律展開探索，在探索中學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，滲透數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的思維過程.

1 ?教學(xué)目標(biāo)

（1）了解格點(diǎn)多邊形的概念;

（2）在探索格點(diǎn)多邊形面積計(jì)算的方法中，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、驗(yàn)證、建模的活動過程;

（3）逐步掌握探索數(shù)學(xué)規(guī)律中的化歸、函數(shù)、建模等數(shù)學(xué)思想與方法，并豐富問題解決的活動經(jīng)驗(yàn).

2 ?教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：經(jīng)歷格點(diǎn)多邊形面積的探索過程，積累蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.

難點(diǎn)：格點(diǎn)多邊形面積計(jì)算公式的確認(rèn).

3 ?教學(xué)實(shí)施

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問題1 ?觀察圖1中不規(guī)則五邊形桌面，說說可以采用哪些方法求桌面的面積？

師生活動 ?不規(guī)則多邊形面積常借助方格紙計(jì)算，因此教師將不規(guī)則桌面進(jìn)行抽象，置于圖2的格點(diǎn)圖中，學(xué)生回答通過分割、添補(bǔ)、數(shù)格子等方法進(jìn)行面積計(jì)算，教師講解何為割補(bǔ)法.

教師 ?利用正方形網(wǎng)格除了數(shù)格子的方法外，還有沒有其他求解面積的方法？本節(jié)課我們一起探究正方形格點(diǎn)圖中多邊形面積的求解方法.

設(shè)計(jì)意圖 ?聯(lián)系生活實(shí)際創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)，希望學(xué)生以已有知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，展開豐富想象，以此培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，同時割補(bǔ)法的應(yīng)用滲透化歸思想.設(shè)置疑問“還有沒有其他求解面積的方法”，激發(fā)學(xué)生的求知欲，并明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).

3.2 探究新知，提煉方法

教師 ?如果一個多邊形的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯點(diǎn)）上，那么這樣的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.

師生活動 ?教師借助圖2中的格點(diǎn)五邊形進(jìn)行概念闡釋.

問題2 ?你能求出圖3中各格點(diǎn)多邊形的面積嗎？請?jiān)囈辉?

師生活動 ?學(xué)生獨(dú)立完成面積計(jì)算.

追問1 ?以圖3中（3）為例，你是如何求出該格點(diǎn)多邊形的面積的？

師生活動 ?學(xué)生起身回答“先找到底和高”.

追問2 ?底和高的大小是如何確定的？

師生活動 ?教師引導(dǎo)學(xué)生得出觀察格點(diǎn)多邊形上的格點(diǎn)數(shù)就可以知道格子數(shù)目，從而得出底與高.

教師 ?仔細(xì)觀察圖3中各圖形覆蓋格點(diǎn)的位置，一部分在多邊形的內(nèi)部，一部分在多邊形邊界上，因此我們將格點(diǎn)多邊形覆蓋的格點(diǎn)分為兩類，為邊界上的格點(diǎn)和內(nèi)部的格點(diǎn).

師生活動 ??教師和學(xué)生一起數(shù)出各格點(diǎn)多邊形邊界上格點(diǎn)數(shù)和內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)，結(jié)果如圖4.

S=1邊界上格點(diǎn)數(shù)4內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)0 ?S=1×3=3邊界上格點(diǎn)數(shù)4內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)2 ?S= 1[]2[SX）]×2×4=4邊界上格點(diǎn)數(shù)4內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)3 ??????S=2×4=8 ?邊界上格點(diǎn)數(shù)12 ?內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)3 ??S= 1[]2[SX）]×（1+2）×4=6 ?邊界上格點(diǎn)數(shù)8 ?內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)3

問題3 ?觀察并比較各格點(diǎn)多邊形的面積、邊界上格點(diǎn)數(shù)與內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師生活動 ?學(xué)生分組交流討論，得到結(jié)論：前3個圖形邊界上格點(diǎn)數(shù)相同，內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)不同，面積不同;后3個圖形，內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)相同，邊界上格點(diǎn)數(shù)不同，面積也不同.

追問1 ?因此可以猜想格點(diǎn)多邊形的面積與什么有關(guān)？

師生活動 ?學(xué)生回答“格點(diǎn)多邊形的面積與內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和邊界上格點(diǎn)數(shù)均有關(guān)”.

設(shè)計(jì)意圖 ?設(shè)置環(huán)環(huán)相扣的問題，引領(lǐng)學(xué)生的思維進(jìn)入有序思考的狀態(tài)，讓學(xué)生在觀察比較中自己去發(fā)現(xiàn)，體會格點(diǎn)多邊形面積與內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和邊界上格點(diǎn)數(shù)有著密切的關(guān)系，為下一步探究活動指明方向，同時也為接下來的探究中滲透“控制變量法”做鋪墊.

教師 ?接下來我們一起探究它們之間的數(shù)量關(guān)系.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)為a，邊界上格點(diǎn)數(shù)為b，現(xiàn)要研究三個變量之間的關(guān)系，目前還沒有此方面的經(jīng)驗(yàn)，但在學(xué)習(xí)函數(shù)時已經(jīng)研究了兩個變量之間的關(guān)系，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？

師生活動 ?學(xué)生思考無果，教師提出借鑒科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的方法——控制變量法，通過控制變量轉(zhuǎn)化為研究兩個變量間的關(guān)系.

教師 ?不妨令內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)a為定值，研究格點(diǎn)多邊形面積S與邊界上格點(diǎn)數(shù)b之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 ?學(xué)生習(xí)慣研究兩個變量之間的關(guān)系，探究三個變量之間的關(guān)系，對學(xué)生是一種新體驗(yàn)，為此借鑒科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的方法——控制變量法，轉(zhuǎn)化為研究兩個變量之間的關(guān)系，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.并用S，a，b三個字母分別表示面積、內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和邊界上格點(diǎn)數(shù)，滲透符號意識，引導(dǎo)學(xué)生用符號語言表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律，體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

活動一

教師 ?從最簡單的開始探究，令a=0，下表中①②③④都是滿足a=0的格點(diǎn)多邊形，請完成表格剩余部分.

師生活動 ?學(xué)生獨(dú)立完成表格剩余部分.

問題4 ?填完表格，為使規(guī)律更加直觀，我們借助直角坐標(biāo)系畫出S和b的函數(shù)圖象，先描點(diǎn)，再連線，如圖5，請同學(xué)們觀察這是哪一類函數(shù)？

師生活動 ?學(xué)生觀察這四個點(diǎn)均在同一直線上，可得S是b的一次函數(shù).

追問1 ?如何求S關(guān)于b的函數(shù)表達(dá)式？

師生活動 ?學(xué)生共同回答可以采用“待定系數(shù)法”，教師板書求解得到函數(shù)解析式S= 1 2 b-1（b≥3）.

追問2 ?為什么解析式中要求b≥3？

師生活動 ?學(xué)生起身回答“b為邊界上格點(diǎn)數(shù)，邊界上格點(diǎn)數(shù)最少要3個，因此b應(yīng)該為不小于3的正整數(shù)”.

設(shè)計(jì)意圖 ?設(shè)計(jì)活動一，畫若干個滿足a=0的格點(diǎn)多邊形，學(xué)生計(jì)算填表，處理數(shù)據(jù)，積累原初經(jīng)驗(yàn)，使得在活動二中自主探索S與b數(shù)量關(guān)系時有了方向與方法.其次，活動一是從最特殊的a=0的情況開始入手，把研究的問題簡單化，符合學(xué)生認(rèn)知要求.

活動二

師生活動 ?學(xué)生分組探究a分別為1，2，3，4的格點(diǎn)多邊形中，S與b之間的數(shù)量關(guān)系.得到結(jié)果：

a=0時，S= 1 2 b-1;

a=1時，S= 1 2 b;

a=2時，S= 1 2 b+1;

a=3時，S= 1 2 b+2;

a=4時，S= 1 2 b+3.

問題5 ?觀察這些式子，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師生活動 ?教師引導(dǎo)學(xué)生從各式相同和不同之處兩個角度進(jìn)行回答.

追問1 ?因此我們可以猜想S和a，b之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

師生活動 ?學(xué)生通過不完全歸納得到S= 1 2 b+a-1.

設(shè)計(jì)意圖 ?有效的數(shù)學(xué)活動是學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)的保障，此環(huán)節(jié)是本節(jié)課的高潮.對于活動二，教師沒有提供圖形和表格，而是鼓勵學(xué)生利用在活動一中積累的經(jīng)驗(yàn)，分組開展探索活動，并通過組內(nèi)分配任務(wù)，讓所有學(xué)生參與進(jìn)來，學(xué)生在經(jīng)歷合作交流、觀察類比、分析歸納、猜想等過程中，發(fā)展邏輯思維能力，養(yǎng)成自主探究，善于總結(jié)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時滲透建模思想.

師生活動 ?教師分別用S= 1 2 b+a-1和割補(bǔ)法對圖2的格點(diǎn)五邊形進(jìn)行面積計(jì)算，從而驗(yàn)證學(xué)生猜想的正確性，并強(qiáng)調(diào)這是一個驗(yàn)證的過程并不是證明的過程.

教師 ?這個公式早在100年前就被奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)并證明，其稱之為“皮克定理”，“皮克定理”被譽(yù)為有史以來“最重要100個數(shù)學(xué)定理”之一.

設(shè)計(jì)意圖 ?波利亞曾說：“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，值得尊重，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度.在有些情況下，猜想比教會證明更重要.”[4]但如果只有猜想而無法驗(yàn)證，那只能是空想，然而由于本節(jié)課時間限制和學(xué)生知識的局限，課堂上難以用演繹推理證明其正確性，只能借助割補(bǔ)法對其進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)密而科學(xué)的思維習(xí)慣.

3.3 借助模型，應(yīng)用新知

（1） 兄弟兩人各得到一塊地來種梨樹，如圖6.哥哥說：弟弟的地要大，弟弟的地外面一圈可以種17棵樹，而我的地外面一圈只能種15棵樹.弟弟說：哥哥的地要大，哥哥的地里面可以種17棵樹，而我的只能種16棵樹.

（2） 請你計(jì)算圖7中格點(diǎn)△FGH的面積.并求△FGH的邊GF上的高.

設(shè)計(jì)意圖 ?讓學(xué)生在理解皮克定理的基礎(chǔ)上對實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題加以應(yīng)用，體驗(yàn)探究成果給我們帶來的方便，收獲成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

3.4 小結(jié)新課，梳理新知

學(xué)生暢所欲言，回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程與收獲，教師總結(jié)：

①一個實(shí)驗(yàn)探究過程：實(shí)驗(yàn)→猜想→歸納→驗(yàn)證→建模，該過程中還應(yīng)用了控制變量法.

②兩種面積計(jì)算方法：割補(bǔ)法、皮克定理.

③三種數(shù)學(xué)思想：化歸思想、函數(shù)思想、建模思想.

設(shè)計(jì)意圖 ?總結(jié)探究的過程與收獲的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生從更高的視角來看待問題探究，凸顯課題學(xué)習(xí)的價值.

3.5 思維拓展，推廣新知 ?????圖8

如圖8，每相鄰3個點(diǎn)構(gòu)成的三角形都是正三角形，且每個小正三角形的面積為1，這樣的圖叫正三角形格點(diǎn)圖.“皮克定理”在正三角形格點(diǎn)圖中成立嗎？若不成立，試用同樣的方法找一找格點(diǎn)多邊形的面積 S和多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)a、邊界上的格點(diǎn)數(shù)b 之間存在的數(shù)量關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 ?教師有意識地把一些拓展的問題留到課外，讓學(xué)生利用課堂中獲得的經(jīng)驗(yàn)，在類比中靈活運(yùn)用并推廣皮克定理，使課堂教學(xué)具有延伸性. ?4 ?課后思考

4.1 立足探究過程，積累基本經(jīng)驗(yàn)

杜威指出：“所做的事情、動作和感受（或經(jīng)歷）的密切關(guān)系就形成了我們所謂的經(jīng)驗(yàn).”經(jīng)驗(yàn)的獲得是需要在“親身體驗(yàn)”中“領(lǐng)悟”與“轉(zhuǎn)化”的，因此，課堂中教師留給學(xué)生足夠的時間和空間，讓學(xué)生充分經(jīng)歷皮克定理的形成過程.本節(jié)課教師從生活情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)求解格點(diǎn)多邊形的面積，并利用格點(diǎn)圖探尋新方法，幫助學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo);問題2和問題3的設(shè)計(jì)使得學(xué)生初步獲得研究格點(diǎn)多邊形面積的基本經(jīng)驗(yàn)：格點(diǎn)多邊形的面積與邊界上格點(diǎn)數(shù)和內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)均有關(guān);為達(dá)成既定教學(xué)目標(biāo)，教師重點(diǎn)設(shè)計(jì)活動一和活動二，學(xué)生在活動一中獲得原初經(jīng)驗(yàn)，在活動二中，經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)，經(jīng)歷列表、畫圖、分析數(shù)據(jù)、尋找規(guī)律，獲得了 S，a，b 三者之間特殊關(guān)系的直接經(jīng)驗(yàn)，最后驗(yàn)證猜想發(fā)現(xiàn)“皮克定理”.同時在探究中積累了理性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)：“在解決多個變量的問題中采用變量控制法這一科學(xué)方法”，真正體現(xiàn)了學(xué)生從“已有經(jīng)驗(yàn)到直接經(jīng)驗(yàn)再過渡到理性經(jīng)驗(yàn)”的經(jīng)驗(yàn)獲得過程.

4.2 基于課題學(xué)習(xí)，滲透數(shù)學(xué)思想

米山國藏曾說“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益”，這就啟示我們數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，課堂教學(xué)在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識建構(gòu)的過程中，需注意數(shù)學(xué)思想的滲透.課題學(xué)習(xí)作為一種實(shí)踐性、綜合性、開放性和探究性的學(xué)習(xí)方式，是滲透數(shù)學(xué)思想、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的良好載體.本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了平行四邊形之后的一個課題學(xué)習(xí)，流程設(shè)計(jì)為“實(shí)驗(yàn)—猜想—?dú)w納—驗(yàn)證—建?！?在講授割補(bǔ)法和數(shù)學(xué)歸納法時，學(xué)生在教師引導(dǎo)下，逐步領(lǐng)會化歸的數(shù)學(xué)思想，而在整個探究過程中還充分體現(xiàn)了函數(shù)和建模以及從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.因此，在教學(xué)中，教師要通過有意識的問題設(shè)計(jì)以及恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)實(shí)踐與引導(dǎo)，讓學(xué)生感受和體悟潛藏在“課題學(xué)習(xí)”中的數(shù)學(xué)思想.

4.3 注重能力提升，發(fā)展核心素養(yǎng)

當(dāng)前“知識教學(xué)”逐步發(fā)展為“能力教學(xué)”，現(xiàn)如今已進(jìn)入“學(xué)生核心素養(yǎng)與學(xué)科教學(xué)融合”的新階段，把發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)作為課程的基本目標(biāo)，而課堂是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的主陣地.本節(jié)課利用割補(bǔ)法和皮克定理計(jì)算格點(diǎn)多邊形的面積，發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力.在分析對格點(diǎn)多邊形面積產(chǎn)生的影響因素中，需要學(xué)生數(shù)格點(diǎn)，求底與高（或長與寬），培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).從得出內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和邊界上格點(diǎn)數(shù)均會對面積產(chǎn)生影響，再確定每一個因素對面積產(chǎn)生影響的大小，每一步都經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理，盡管未對結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明，但整個過程都合情推理，充分體現(xiàn)并發(fā)展了學(xué)生的推理能力.從具體的圖形面積逐步推導(dǎo)出皮克定理，再應(yīng)用皮克定理解決現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)問題，就是一個建模的過程，發(fā)展了學(xué)生的抽象能力、模型觀念和應(yīng)用意識.

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：86.

[2] 史寧中.推進(jìn)基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)改革[J].中小學(xué)管理，2016（02）：19-21.

[3] 張思明，白永瀟.數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的實(shí)踐與探索[M].北京：高等教育出版社，2003：13-14.

[4] 王曉靜.讓“數(shù)學(xué)猜想”貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生命線[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（05）：70-72.